Ансамбль канонический и микроканонически

Канонический и микроканонический ансамбли 49 [c.49]

Канонический и микроканонический ансамбли 51 [c.51]

Рассмотрим флуктуации в статистических ансамблях Гиббса. Наиболее просто вычислить флуктуации тех величин, от которых явно зависит функция распределения или статистический оператор. Начнем с флуктуаций энергии Е = H q p) в классическом каноническом ансамбле. Это позволит нам понять связь между каноническим и микроканоническим ансамблями. [c.68]

Последний член пренебрежимо мал при N— -00. В этом предельном случае соотношение А —и — Т8 является точным. Соотношение (8.23) показывает, что энтропия, определенная в каноническом и микроканоническом ансамблях, отличается на члены порядка 1пЛ/. [c.180]

Хотя канонический и микроканонический ансамбли дают эквивалентные результаты, можно утверждать, что канонический ансамбль в принципе лучше соответствует физической ситуации. На опыте мы никогда не имеем дела с полностью изолированной системой и никогда не измеряем непосредственно полную энергию макроскопической системы. Обычно мы сталкиваемся со случаем, когда задана температура системы — параметр, легко поддающийся контролю во время эксперимента. [c.181]

Сравнение метода канонических собраний с методом микроканонических. Канонический ансамбль состоит из большого числа N систем одной и той же природы, которые можно рассматривать как копии одной из них, находящихся в различных состояниях. Но эти собрания отличаются от тех, которые мы уже рассматривали, значительно большей общностью предположений о состояниях, в которых могут находиться системы, составляющие одно из собраний. Действительно, мы не введем ограничения, что системы обладают определенной энергией. Изображающие точки вместо того, чтобы находиться в тонком слое около поверхности данной энергии в многомерном пространстве, распределены по всей фазовой протяженности S. Это распределение будет обладать определенной плотностью /э, выбранной таким образом, что состояние собрания всех систем стационарно, т. е. что несмотря на непрерывное движение изображающих точек, плотность остается все время той же в определенной точке пространства Е. Величина р должна, таким образом, быть функцией всех q и />, в которую время явным образом не входит. Основываясь на теореме Лиувилля, легко видеть, какова должна быть природа этой функции q и р. [c.47]

С другой стороны, исходя из микроканонического ансамбля, можно разработать методы исследования, которые находят более непосредственные применения и которые могут быть четко связаны с макроскопической физикой. Поэтому мы перейдем теперь к рассмотрению таких методов, не развивая далее теорию микро-канонических ансамблей. [c.133]

С практической точки зрения весьма важно то обстоятельство, что мы можем записать каноническую матрицу плотности в произвольном представлении (для микроканонического ансамбля это невозможно в силу его сингулярной природы). В самом деле, чтобы выч слить рт В виде (4.3.17) либо Z в виде (4.3.16), необходимо знать собственные значения гамильтониана, т. е. решить уравнение Шредингера для S, что практически неосуществимо для нетривиальных систем. Напротив, если исходить из выражений (4.3.18) и (4.3.19), то можно выбрать в качестве базиса любой подходящий набор ортонормированных функций, вычислить матричные элементы гамильтониана Й для зтого базиса (что всегда осуществимо), а затем воспользоваться каким-либо удобным методом приближенных вычислений. Одно это уже дает представление [c.140]

Употребление формул, относящихся к каноническому ансамблю и содержащих, как в предыдущих главах, e ds вместо dpi... dQn, сводится к рассмотрению ансамбля, разделенного на бесконечно большое число микроканонических элементов. [c.120]

Для того, чтобы оценить вышеприведенные рассуждения, нужно понять, что различия энергии, встречающиеся в каноническом ансамбле фаз первого тела, не рассматриваются здесь как исчезающие величины. Для уточнения этих представлений мы должны вообразить,. что обладаем достаточной тонкостью восприятия, чтобы эти различия казались нам большими.При этом различие между той частью отих фаз, которая принадлежит одному микроканоническому ансамблю всей системы, и той частью, которая принадлежит другому ансамблю, все же окажется незаметным при достаточном возрастании величины ванны. [c.181]

Так как средняя энергия U = (Н) и, соответственно, теплоемкость Су являются экстенсивными величинами, т. е. они пропорциональны числу частиц N, относительная флуктуация энергии л/ Н ) — (Н) /(Н) имеет порядок l/VTV. Таким образом, флуктуации энергии чрезвычайно малы для макроскопических систем с 1. В этом смысле канонический ансамбль практически не отличается от микроканонического ансамбля, в котором флуктуации энергии отсутствуют. [c.68]

Теперь воспользуемся тем, что микроканонический и канонический ансамбли термодинамически эквивалентны друг другу. В данном случае это означает, что энтропия микроканонического ансамбля S H) N V) практически равна энтропии канонического ансамбля S T, N, V), если средняя энергия U = (Я) и температура связаны термодинамическим уравнением состояния U = U T N V). Тогда с учетом термодинамических соотношений [c.70]

Излагаемые ниже соображения основаны на том факте, что гидродинамические переменные а (г) соответствуют полу макроскопическим величинам, поскольку обрезающее волновое число Ajq было выбрано таким образом, чтобы пространственная ячейка с размерами / I/Ajq содержала большое число частиц. Тогда каждую из таких ячеек можно рассматривать как малую, но макроскопическую подсистему, взаимодействующую с другими ячейками через свои границы. Согласно общему принципу термодинамической эквивалентности статистических ансамблей (см. раздел 1.3.10 первого тома), можно считать, что энтропия S a) микроканонического ансамбля, определяемого условиями а г) = ft (r), является таким же функционалом от а (г) , как и энтропия Si a) локально-равновесного большого канонического ансамбля от (fl (r)) , если соответствующее фазовое распределение Qi q,p a) удовлетворяет условиям [c.229]

Для макроскопической системы (Я) — N и Су М. Следовательно, (8.14) есть нормальная флуктуация. При Ы- -оо почти все системы ансамбля имеют энергию (Я), которая равна внутренней энергии. Поэтому канонический ансамбль эквивалентен микроканоническому ансамблю. [c.178]

При выводе канонического ансамбля из микроканонического ансамбля в гл. 8 ми практически не обращались к классической механике. Этот вывод применим и в квантовой механике, за исключением [c.210]

Как было показано в гл. 8, 1, канонический ансамбль может быть выведен из микроканонического ансамбля, однако его можно получить и непосредственно. Если не стремиться к большой строгости, то вывод оказывается очень простым. Рассмотрим ансамбль М систем такой, что средняя по всем системам энергия равна данному числу 1У. Найдем наиболее вероятное распределение систем по энергиям в предельном случае Ж->-оо. По определению ансамбля, системы не взаимодействуют друг с другом, могут рассматриваться раздельно и являются, следовательно, вполне различимыми. Таким образом, наша задача математически тождественна задаче о наиболее вероятном распределении в классическом идеальном газе. Как мы знаем, решением является распределение Максвелла — Больцмана значение энергии Е встречается среди систем с относительной вероятностью где р определяется средней энергией С/. Такой ансамбль является каноническим ансамблем. Очевидно, что эти рассуждения в равной мере справедливы и в классической, и в квантовой статистической механике. [c.229]

Нам остается еще в методе Дарвина—Фаулера получить само каноническое распределение Гиббса. Сделаем это наиболее естественным и прямым способом зафиксируем общее для всего ансамбля микроканоническое распределение по состояниям всех других систем (несколько другой подход — см. задачу 13). Для этого прежде всего выпишем микроканоническое распределение, определяющее вероятность обнаружить ансамбль в состоянии п = П), П2,..., п. , где п, — микроскопическое состояние -й системы, [c.96]

Уравнение (4.74) можно получить [20], если на основе канонического ансамбля вводить температурный аналог микроканонического ансамбля. Этот вопрос уже обсуждался в 2, а. Аналогично можно интерпретировать и другие величины. Мы не будем обсуждать этот вопрос подробнее, так как основной момент вывода остается тем же самым. [c.92]

Задача 12. Используя представление о каноническом ансамбле и полагая, что изолированная равновесная система подчинена микроканоническому распределению Гиббса, получить каноническое его распределение. [c.373]

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ, совокупность очень большого числа одинаковых физ. систем многих ч-ц ( копий данной системы), находящихся в одинаковых макроскопич. состояниях при этом микроскопич. состояния системы могут различаться, но совокупность их обязательно должна отвечать заданным значениям макроскопич. параметров, определяющих её макроскопич. состояние. Примеры С. а. энергетически изолированные системы при заданном значении полной энергии микроканонический ансамбль Гиббса), системы в контакте с термостатом заданной темп-ры [канонический ансамбль Гиббса), системы в контакте с термостатом и резервуаром ч-ц Гиббса большой канонический ансамбль). С. а.— понятие статистической физики, позволяющее применять к решению физ. задач методы теории вероятностей. [c.722]

Вид функции статистического распределения задается аксиомой, постулатом статистической физики, имеющим свое оправдание в том, что все следствия из него подтверждаются экспериментально. При этом различают два подхода. При первом рассматривается ансамбль, состоящий из одинаковых систем с равными энергиями, т. е. рассматривается вероятность различных состояний замкнутой системы, находящейся в равновесии. Ансамбль в этом случае называют микрока-ноническим и распределение — микроканоническим. При втором подходе рассматривается ансамбль из квазинезависимых подсистем замкнутой системы, находящейся в состоянии равновесия. Члены ансамбля различаются и по энергии, т. е. изучаются вероятности микросостояний квазинезависимой подсистемы при разных энергиях. Ансамбль в этом случае называют каноническим и распределение — каноническим. [c.41]

Автор называет функциями состояний (partition fun tion) величины Q, Q, 3, т. е. статистический вес для микроканонического ансамбля и статистические суммы для канонического и большого канонического ансамблей Гнббса. В русской литературе обычно избегают употребления термина функции состояний в этом смысле, но мы оставили его в переводе, так как не существует эквивалентного русского термина, объедн-няющего величины 2, Q н S. — Прим. ред. [c.37]

Когда мы хотим представить себе все возможные состояния, принимаемые данной системой, мы можем поступать различным образом. Можно, например, представить себе большое число, ансамбль систем, которые суть, так сказать, копии системы, с которой мы имеем дело они представляют в один и тот же момент времени все состояния этой системы, которые мы должны и желаем принимать во внимание. Эти состояния могут обладать наибольшей общностью, иметь, например, всевозможные значения энергии, как это имеет место в канонических собраниях Гиббса, или быть менее общими, как микрокано-нические собрания Гиббса, эквивалентные эргодическим собраниям Больцмана. В этих последних о всех системах предполагается, что они обладают одной и той же энергией, значение которой задано. Можно также обратить внимание на ансамбль, образованный последовательностью во времени состояний, принимаемых системой. Этим, среди других, занимался Эйнштейн. Тут мы будем пользоваться методом, связанным с микроканоническими собраниями, а в следующей лекции сообщим кое-какие соображения о других способах рассмотрения. [c.22]

Так как любой канонический ансамбль систем можно рассматривать как состоящий из микроканонических ансамблей, то если какие-либо величины миг имеют одни и те же средние значения в каждом микроканоническом ансамбле, то они будут иметь те же значения в каждом каноническом ансамбле. Чтобы подвести формально под это правило уравнение (380), мы можем заметить, что левая его сторона, являющаяся функцией з, имеет постоянное значение в микроканоническом ансамбле и, следовательно, тождественна со СВ01Ш средним значением. Мы получим таким образом общее уравнение [c.123]

Если это условие строго выполнено, обе части не будут влиять друг на друга, и ансамбль, образованный микроканоническим распределением целого, является слишком произвольным понятием для того, чтобы представлять действительный интерес. Основной интерес уравнений, которые мы должны получить, относится к случаям, в которых условие выполнено приближенно. Однако, для целей теоретического исследования з добпее, разумеется, считать эти условия абсолютными. Ср. главу IV, стр. 44 и дальше, где сходное условие рассматривается в связи с каноническими ансамблями. [c.124]

Ансамбль систем, распределенный по фазам, является меиее простым и элементарным понятием, нежели отдельная система. Но, рассматривая вместо отдельных систем соответствующие ансамбли, мы можем избежать неудобств, связанных с необходимостью учета исключений, образуемых частными случаями интегральных уравнений движения, так как эти случаи просто исчезают, когда предметом изучения является вместо системы ансамбль. Это в особенности справедлино, когда ансамбль распределен, как в случае, который мы назвали каноническим, по некоторому фазовому объему. В меньшей степени это справедливо для микроканонического ансамбля, который не занимает никакого конечного фазового объема (в том смысле, в каком мы употребляем этот термин), хотя его удобно рассматривать как предельный случай ансамбля, занимающего конечный фазовый объем, так как мы таким образом выигрываем для предмета некоторую часть аналитической простоты, присущей теории ансамблей, занимающих истинный фазовый объем. [c.143]

В этом отношении достойно упоминания, что среднее как по микроканоническому, так и по каноническому ансамблю значение кинетической энергии, разделенное на половину числа степеней свободы, равно e fV, или среднему значению этого выражения, и что это истинно не только по отношению ко всей системе, распределенной микроканонически или канонически, но также для любой ее части, несмотря на то, что соответствующая теорема о температуре едва ли принадлежит эмпирической термодинамике, поскольку ни (внутренняя) кинетическая энергия тела, ни число его степе-пеней свободы сразу не являются непосредственно доступными нашему восприятию, и мы встречаемся с серьезнейшими затруднениями при попытке применить эту теорему к теории газов, за исключением простейшего случая—именно, случая газов, известных как одноатомные. [c.170]

Поэтому, в случае бесконечно большой ванны увеличение энергии одного из микроканонических ансамблей на 2Д оказывает исчезающее воздействие на распределение энергии по фазам первого содержащегося в ней тела. Но 2Де больше средней разности энергии между микро аноническими ансамблями. Распределение по энергии этих фаз, следовательно, одинаково в различных микроканонических ансамблях и должно потому быть каноническим, так же как и распределение ансамбля, который они образуют, будучи взятыми вместе ). [c.181]

Рассмотрим теперь важный для приложений случай, когда динамические переменные соответствуют полу макроскопическим величинам ). Тогда можно воспользоваться термодинамической эквивалентностью ансамблей и считать, что энтропия S ai , N,V) микроканонического ансамбля является такой же функцией от а-, как энтропия 5( (аЛ, А , К) канонического ансамбля от а-) при условии, что а-) = а-. Это предположение фактически лежит в основе так называемой квазитермодинами-ческой теории флуктуаций впервые развитой Эйнштейном [76], который исходил из интуитивных соображений. [c.72]

К тому же выводу, что и в п. а и б, можно притти даже без детального математического рассмотрения, исходя из факта существования распределения Гиббса для каждой из малых частей системы, если не делать слишком искусственных предположений о динамических свойствах системы. Как известно, каноническое распределение Гиббса, с одной стороны, описывает относительную длительность состояний малых частей системы за достаточно длинный по сравнению со временем релаксации промежуток времени (временной ансамбль), а с другой стороны, описывает вероятностный закон распределения состояний любой из малых частей системы в определенный момент времени, взятый по истечении времени релаксации (любой из малых частей системы, но не всех частей одновременно, так как распределения частей по энергиям не независимы). Известно также, что микроканоническое распределение для системы в целом приводит к каноническому распределению для ее малых частей. [c.31]

Рассмотрим сначала временной ансамбль s системы в целом (происходящий из какой-нибудь области начальных состояний). Этот ансамбль определит, очевидно временные ансамбли всех частей системы. Будем предполагать, что порождаемые им временные ансамбли малых частей гиббсовы. Тогда определяем мая ансамблем s вероятность осуществления таких состояний системы в целом, при которых энергия г-й части = г заключена в любых данных пределах, равна вероятности тех же состояний, определяемой микроканоническим ансамблем М). Иначе говоря, если рассматривать как координату в фазовом пространстве целой системы, то плотность вероятности микро-канонического ансамбля и ансамбля s должны быть одинаковыми функциями координаты т. е., говоря точнее, если обозначить через тМ(г ) меру той части микроканонического ансамбля, которая соответствует состояниям с энергией г-й части, меньшей чем а через ni.s z ) — соответствующую [c.31]

В формуле (8.6) вследствие наличия экспонеициального множителя существенной областью интегрирования является тонкий слой, соответствующий энергии Е, и потому по аналогии с микроканоническим ансамблем можио говорить об объеме в фазовом пространстве, занимаемом каноническим ансамблем. — Прим. ред, [c.176]

В литературе по статистической механике ([11,331 и т. д.) можно найти пространные обоснования уравнений (3.3) и (3.4). Можно найти также принадлежащее Гиббсу доказательство того факта, что каноническое распределение (3.4) лишь слабо отличается от микроканонического распределения, определяемого ансамблем, все системы которого имеют одинаковую энергию П. Другими словами, фазовые точки ансамбля, распределенного согласно (3.4), остаются практически сконцентрированными внутри непосредственной окрестности одной поверхности энергии. На первый взгляд это утверждение представляется несогласующпмся с тем фактом, что, в силу (3.4), вероятность монотонно возрастает при пересечении поверхности энергии в направлении убывающих значений Н. На самом деле между этими двумя утверждениями нет противоречия. Рассмотрим семейство эквидистантных поверхностей энергии, разделяющих фазовое пространство на слои. Перемещаясь от слоя к слою, мы находим, что фазовая плотность меняется монотонно. Поскольку объем последовательных слоев изменяется в противоположном [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...