Статистический ансамбль микроканонический

Статистическая закономерность (закономерность поведения ансамбля), хотя и является уже иным типом каузальной связи, чем динамическая, но в то же время является ближайшей к ней по своему характеру, поскольку в основе ее лежит наложение реальных движений огромного количества дискретных частиц, входящих в статистический ансамбль. То, что это—иной тип каузальной связи для ансамбля, видно уже из необходимости ввести понятие о микроканоническом распределении и вероятности. То, что этот тип близок к динамическому, видно, во-первых, из того, что возможность рассмотрения такого ансамбля основана на экспериментально подтвержденном представлении о механическом однородном и независимом (на длине свободного пробега) движении каждой из частиц, входящих в ансамбль, и, во-вторых, из того, что описание поведения физических классических ансамблей осуществляется в статистической механике гамильтоновыми уравнениями с помощью тех же по форме и существу функций, которые применяются в классической механике. [c.873]

Представление об ансамблях равновесной статистической механики (микроканоническом, каноническом, большом каноническом) было введено Гиббсом в его знаменитой книге [c.167]

Экстремальность микроканонического ансамбля. Рассмотрим статистический ансамбль замкнутых энергетически изолированных систем с постоянными объемом V и числом частиц N. Предполагается, что все системы имеют одинаковую энергию Е с точностью до АЕ Е. Такой ансамбль представляет макроскопическое состояние с заданными внешними параметрами Е, N иУ. [c.53]

Рассмотрим флуктуации в статистических ансамблях Гиббса. Наиболее просто вычислить флуктуации тех величин, от которых явно зависит функция распределения или статистический оператор. Начнем с флуктуаций энергии Е = H q p) в классическом каноническом ансамбле. Это позволит нам понять связь между каноническим и микроканоническим ансамблями. [c.68]

Излагаемые ниже соображения основаны на том факте, что гидродинамические переменные а (г) соответствуют полу макроскопическим величинам, поскольку обрезающее волновое число Ajq было выбрано таким образом, чтобы пространственная ячейка с размерами / I/Ajq содержала большое число частиц. Тогда каждую из таких ячеек можно рассматривать как малую, но макроскопическую подсистему, взаимодействующую с другими ячейками через свои границы. Согласно общему принципу термодинамической эквивалентности статистических ансамблей (см. раздел 1.3.10 первого тома), можно считать, что энтропия S a) микроканонического ансамбля, определяемого условиями а г) = ft (r), является таким же функционалом от а (г) , как и энтропия Si a) локально-равновесного большого канонического ансамбля от (fl (r)) , если соответствующее фазовое распределение Qi q,p a) удовлетворяет условиям [c.229]

АНСАМБЛИ В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Микроканонический ансамбль [c.210]

Микроканонический ансамбль. Статистический ансамбль, определяемый принципом равной вероятности микроскопических состояний, или, более точно, распределением вероятности вида (1.11а) или (1.116), называется микроканоническим ансамблем, а распределение — микроканоническим распределением. Таким образом, микроканонический ансамбль описывает изолированную систему, которая достигла состояния теплового равновесия. [c.19]

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ, совокупность очень большого числа одинаковых физ. систем многих ч-ц ( копий данной системы), находящихся в одинаковых макроскопич. состояниях при этом микроскопич. состояния системы могут различаться, но совокупность их обязательно должна отвечать заданным значениям макроскопич. параметров, определяющих её макроскопич. состояние. Примеры С. а. энергетически изолированные системы при заданном значении полной энергии микроканонический ансамбль Гиббса), системы в контакте с термостатом заданной темп-ры [канонический ансамбль Гиббса), системы в контакте с термостатом и резервуаром ч-ц Гиббса большой канонический ансамбль). С. а.— понятие статистической физики, позволяющее применять к решению физ. задач методы теории вероятностей. [c.722]

Следовательно, выбирая плотность D как функцию одного из интегралов движения, мы можем гарантировать статистическое равновесие, так как скобка Пуассона [D, Н] будет тогда обращаться в нуль. Поэтому для консервативных систем плотность D может быть любой функцией энергии, так как при этом обязательно будет выполняться условие равновесия. Выбор этой функции определяет характеристики рассматриваемого ансамбля систем. В случае, например, известного микроканонического ансамбля плотность D постоянна для всех систем, имеющих заданную энергию, и равна нулю для других систем. [c.296]

Пример несостоятельности микроканонического распределения дается материальной точкой, подверженной действию тяжести и вынужденной оставаться на вертикальном круге. Случай нарушения получается, когда энергия как раз достаточна для того, чтобы материальная точка достигла наивысшей точки круга. Заметим, что трудность обусловлена самой природой случая и совершенно не зависима от математических формул. Природа рассматриваемой трудности станет сразу ясной, если мы попытаемся распределить конечное число материальных точек с этим частным значением энергии сколь возможно близко к статистическому равновесию или если мы зададимся вопросом, какова вероятность того, что выбранная наудачу из ансамбля точка с таким значением энергии найдется в какой-либо заданной части круга [c.122]

Традиционный способ вывода равновесных распределений основан на постулате Гиббса о равновероятности всех доступных динамических состояний изолированной системы [39]. Этот постулат определяет так называемый микроканонический ансамбль и соответствующее микроканоническое распределение. Распределения Гиббса, описывающие статистическое равновесие при других внешних условиях, выводится затем из микроканонического распределения. Эта схема изложена во многих книгах по равновесной статистической механике, но, к сожалению, ее невозможно обобщить на неравновесные состояния. По этой причине мы рассмотрим другой способ построения равновесных распределений Гиббса, основанный на теории информации. Все эти распределения будут выведены из условия максимума информационной энтропии при дополнительных условиях, определяющих равновесный ансамбль. Мы покажем, что в равновесном случае максимум информационной энтропии совпадает с энтропией Гиббса и может быть отождествлен с термодинамической энтропией. Преимущество такого подхода перед традиционным заключается прежде всего в том, что он допускает интересные обобщения на неравновесные системы, и мы будем часто им пользоваться. [c.53]

Хотя условие (7.17) допускает целую область значений Е- и Е , которыми могут обладать члены микроканонического ансамбля, в случае очень большого числа частиц, согласно результату (7.21), почти все члены ансамбля имеют энергии (Ej, Е . Это обстоятельство является решающим для успешного построения статистической механики как теории вещества. [c.165]

Как было показано в гл. 8, 1, канонический ансамбль может быть выведен из микроканонического ансамбля, однако его можно получить и непосредственно. Если не стремиться к большой строгости, то вывод оказывается очень простым. Рассмотрим ансамбль М систем такой, что средняя по всем системам энергия равна данному числу 1У. Найдем наиболее вероятное распределение систем по энергиям в предельном случае Ж->-оо. По определению ансамбля, системы не взаимодействуют друг с другом, могут рассматриваться раздельно и являются, следовательно, вполне различимыми. Таким образом, наша задача математически тождественна задаче о наиболее вероятном распределении в классическом идеальном газе. Как мы знаем, решением является распределение Максвелла — Больцмана значение энергии Е встречается среди систем с относительной вероятностью где р определяется средней энергией С/. Такой ансамбль является каноническим ансамблем. Очевидно, что эти рассуждения в равной мере справедливы и в классической, и в квантовой статистической механике. [c.229]

В статистической механике рассматриваемая система описывается микроканоническим ансамблем, оператор плотности которого в энергетическом представлении выражается следущим образом [c.41]

Следует объяснить, почему плотность условной вероятности Р х I х, х) была определена в соответствии с (33) для стационарного, или, используя терминологию статистической механики, для равновесного ансамбля. Легко показать [9], что для систем, рассматриваемых в статистической механике, в нестационарном ансамбле, в котором величина X лежит между д о и д о + dxo при = О и случайна для всех других моментов времени (с тем ограничением, что полная энергия всех членов ансамбля остается неизменной), первая функция распределения W х, t) совпадает с функцией распределения условной вероятности Р (д о х, t) [см. (33)], определяемой для микроканонического ансамбля. Следовательно, соотношение (34) означает, что функция распределения W х, t) для такого нестационарного ансамбля стремится к функции распределения W (д ) для стационарного (.равновесного ) ансамбля. [c.311]

Обсудим теперь вопрос, в какой степени результаты, полученные в предыдущем параграфе, могут быть применены к статистической механике процессов, зависящих от времени. Обычно при обосновании статистической механики равновесных явлений, постулируют, что для изолированных механических систем с заданной энергией рассматриваемые динамические функции являются эргодическими. Этот постулат означает, что среднее по времени от динамических функций почти для всех начальных условий равно их среднему по поверхности постоянной энергии (по микроканоническому ансамблю). Мы обсудим здесь вопрос о том, можно ли построить на этой же основе теорию необратимых процессов. Процессы x(t), рассматриваемые в статистической механике (т. е. зависимость от времени динамических переменных J ), являются эргодическими в смысле, указанном в 3, если символ Ж, используемый в 2 и 3. считать обозначением среднего по микроканоническому ансамблю. Кроме того, они являются стационарными в силу стационарности микроканонического ансамбля. Далее, можно предполагать, что для обычных типов гамильтонианов эти процессы удовлетворяют самому слабому требованию относительно непрерывности, т. е. являются непрерывными в среднем. Это эквивалентно предположению, что процессы являются непрерывными в том смысле, что их корреляционные функции всюду непрерывны. Таким образом, если бы нам удалось [c.313]

Рассмотрим сначала весьма большую изолированную систему и (мы можем назвать ее вселенной ). Она статистически описывается микроканоническим ансамблем, соответствующим энергии Еи. Обратимся теперь к системе, являющейся малой подсистемой по отношению к U эта малая подсистема S взаимодействует с внешним лшром W, т. е. со своим дополнением (фиг. 4.3.1). [c.134]

Итак, в соответствии с термодинамической эквивалентностью статистических ансамблей, энтропию микроканонического ансамбля в (1.3.125) можно заменить энтропией обобщенного канонического распределения Гиббса (1.3.130), которое описывает состояние с заданными значениями флуктуаций Аа . Считая флуктуации малыми, мы можем разложить S a N V) по отклонениям Аа- = а- — (fljeq- С учетом равенств (1.3.132) запишем [c.73]

Вид функции статистического распределения задается аксиомой, постулатом статистической физики, имеющим свое оправдание в том, что все следствия из него подтверждаются экспериментально. При этом различают два подхода. При первом рассматривается ансамбль, состоящий из одинаковых систем с равными энергиями, т. е. рассматривается вероятность различных состояний замкнутой системы, находящейся в равновесии. Ансамбль в этом случае называют микрока-ноническим и распределение — микроканоническим. При втором подходе рассматривается ансамбль из квазинезависимых подсистем замкнутой системы, находящейся в состоянии равновесия. Члены ансамбля различаются и по энергии, т. е. изучаются вероятности микросостояний квазинезависимой подсистемы при разных энергиях. Ансамбль в этом случае называют каноническим и распределение — каноническим. [c.41]

Функционал энтропии. Папомним, что функционал энтропии S a) был определен через статистический вес W a) микроканонического ансамбля в котором базисные динамические переменные а г) имеют фиксированные значения а (г). Это определение неудобно для конкретных приложений теории, поскольку вычислить статистический вес W(а) из (9.1.14) очень трудно или вообще невозможно. Мы получим для функционала энтропии другое выражение, которое позволяет использовать в теории гидродинамических флуктуаций локальные уравнения состояния. [c.229]

В литературе по статистической механике ([11,331 и т. д.) можно найти пространные обоснования уравнений (3.3) и (3.4). Можно найти также принадлежащее Гиббсу доказательство того факта, что каноническое распределение (3.4) лишь слабо отличается от микроканонического распределения, определяемого ансамблем, все системы которого имеют одинаковую энергию П. Другими словами, фазовые точки ансамбля, распределенного согласно (3.4), остаются практически сконцентрированными внутри непосредственной окрестности одной поверхности энергии. На первый взгляд это утверждение представляется несогласующпмся с тем фактом, что, в силу (3.4), вероятность монотонно возрастает при пересечении поверхности энергии в направлении убывающих значений Н. На самом деле между этими двумя утверждениями нет противоречия. Рассмотрим семейство эквидистантных поверхностей энергии, разделяющих фазовое пространство на слои. Перемещаясь от слоя к слою, мы находим, что фазовая плотность меняется монотонно. Поскольку объем последовательных слоев изменяется в противоположном [c.34]

Подсчитаем сначала статистический вес всего ансамбля систем Г = е , где 5 — энтропия любой из систем, исходя из микроканонического распределения с кронекеровской Д-функцией [c.99]

Автор называет функциями состояний (partition fun tion) величины Q, Q, 3, т. е. статистический вес для микроканонического ансамбля и статистические суммы для канонического и большого канонического ансамблей Гнббса. В русской литературе обычно избегают употребления термина функции состояний в этом смысле, но мы оставили его в переводе, так как не существует эквивалентного русского термина, объедн-няющего величины 2, Q н S. — Прим. ред. [c.37]

Подойдем теперь к вопросу с другой точки зрения и в качестве основной величины выберем 2 ( ). Здесь мы не интересуемся статистическим рассмотрением механических состояний системы наша цель — выяснить поведение макроскопических переменных. Это статистика совсем иного типа ), не использующая явно механических величин и понятий, хотя в специальных случаях мы можем представить ее и в такой более привычной форме. Основная проблема состоит в следующем если производится измерение температуры, то физические условия, необходимые для реализации микроканонического ансамбля, не сохраняются вследствие обмена энергией между системой и термометром. Возникает вопрос как правильно описывать систему в том случае, когда температура вводится в качестве независимой переменной Мы постулируем, что в указанных условиях система описывается образом функции 2 ( ) при преобразовании Лапласа — Стильтьеса ). [c.41]

В статистической механике для изучения поведения системы рассматривается представляющий ансамбль систем. Для вековой (aged) системы (т. е. для адиабатически изолированной системы, которая стремится достичь состояния статистического равновесия) с энергией, лежащей между Е и Е- -йЕ, этот ансамбль является микроканоническим ансамблем и описывается следующей плотностью вероятности [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...