Вейерштрасса достаточное

Достаточное условие равномерной сходимости (признак Вейерштрасса) если для всех х [а, Ь] где с — общий член [c.102]

Достаточное условие равномерной сходимости признак Вейерштрасса) если для всех х е. [а, Ь] имеем (х) < С , п = О, 1, где С — общий член сходящегося числового ряда, то ряд (4.15) сходится на [а, Ь] равномерно. [c.99]

В некоторых случаях выполнение достаточных условий определяется знаком величины (П2.42) при 6V> О функция К(д ) сообщает функционалу (П2.33) минимум, а при SV<0 максимум. В других случаях требуются более сложные исследования на основе достаточного условия К.Вейерштрасса. [c.272]

На последнем заседании Академии г. Фукс прочитал свою работу, которая, кажется, замечательно хороша. Я ее не читала, так как она еще не появилась в печати, но я познакомилась с нею частью по рассказам Кронекера и частью по рассказу самого Фукса. Представьте себе, что Фуксу удалось найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы нелинейное дифференциальное уравнение обладало основным свойством линейных уравнений, именно чтобы критические точки его интегралов не зависели от начальных данных. Не правда ли, что это замечательно Особенно замечательно то, что Фукс никому никогда не рассказывал об этой работе, и еще за несколько дней до заседания он говорил, что сделает свое сообщение против желания. Странный человек этот Фукс. Теперь ясно, что Вейерштрасс прав и что в Фуксе гораздо больше материала , чем можно было предполагать. .. [c.21]

Теперь, если Вы позволите, я расскажу Вам о работах, которые меня занимают. Прошлою осенью я начала работу об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных, которые встречаются в оптике в вопросе о преломлении света в кристаллической среде. Это исследование уже достаточно продвинулось вперед, когда я возымела слабость отвлечься работою над другим вопросом, который вертелся у меня в голове почти с самого начала моих математических занятий и о котором я одно время думала, что другие исследователи опередили меня. Он касается решения общего случая задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки при помощи абелевых функций. Вейерштрасс как-то предлагал мне заняться этой задачей, но тогда все мои попытки оказались бес- [c.23]

Допустим, что функции Г(х), (х, //) аналитичны. Тогда каждый из членов итерационной последовательности (5) будет аналитической функцией параметра /X. Отсюда по теореме Вейерштрасса о сходимости последовательности аналитических функций [11] следует, что и предельная функция ж (//) аналитична (см. также [6], [10]). Таким образом, сходимость итерационного процесса достаточна для сходимости ряда (4). [c.409]

Обозначим через С (У") класс функций, аналитических в области С К . Множество М С V назовем ключевым (или множеством единственности) для класса если любая аналитическая функция, равная нулю на М, тождественно обращается в нуль всюду в V. Таким образом, если аналитические функции совпадают на М, то они совпадают на всем V. Например, множество точек интервала Д С К является ключевым для класса С (Д) в том и только в том случае, когда оно имеет предельную точку внутри Д. Достаточность этого условия очевидна, необходимость вытекает из теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении. Отметим, что если М — множество единственности для класса функций СР У) (О р оо), то М плотно в V. [c.179]

Условия Вейерштрасса и Лежандра (достаточные условия экстремума). [c.672]

Доказательство. По предложению 4.1.15 достаточно показать, что временные средние каждой функции из плотного множества непрерывных функций равномерно сходятся к константе. По теореме Вейерштрасса тригонометрические полиномы образуют плотное множество в пространстве всех непрерывных функций в равномерной топологии. Кроме того, равномерная сходимость к константе — линейное свойство если функции 1р и ф обладают этим свойством, то оно также выполнено для функции а(р Ьф, где а и Ь — постоянные числа. Таким образом, достаточно проверить равномерную сходимость для любой полной системы функций, например для набора функций Хт(х) = е . При тфО получаем Хт( а ) = = [c.156]

Если, в частности, разложение ф (ж, I, ц) по степеням жир, будет сходиться для всех действительных значений 1, то ряд (21) сходится для любых сколь угодно больших значений если только выбрано достаточно малым. Чем меньше выбрано и, тем в общем больше область для I, в которой (21) сходится. Но мы не можем заключить, что ряд (21) сходится также и для < = оо. Сходимость, по терминологии Вейерштрасса, будет условной, если радиус сходимости по р зависит от I (или, точнее, от Т). [c.413]

Доказательство теоремы 3.2 основано на теореме Больцано - Вейерштрасса, в которой утверждается, что метрическое пространство компактно в том и только том случае, когда каждая бесконечная последовательность точек пространства содержит сходящуюся подпоследовательность. (Задача 3-(1.) Следовательно, достаточно показать, что любая последовательность голоморфных отображений 5 Т таких, что /п К) С К, содержит сходящуюся подпоследовательность. [c.47]

Разумеется, для окончательного исследования ( зункционала на экстремум необходимо использовать достаточные условия, однако составление функции Вейерштрасса для нашей задачи приводит к большим трудностям. [c.158]

Динамические соотношения на скачке служат для определения постоянных Из линейных уравнений (5 ) = 0, ((/ ( ) = О, >2 находим Постоянные / остаются произвольными и должны задаваться так, чтобы функции ,Ь> были аналитическими при л-б(0,Ж ]. Тогда применение мажорантных оценок типа Вейерштрасса-Ковалевской показьюает, что разложения (2.40) будут также представлять собой анапитические функции в области [ - < г, (0,я-,], где > О -достаточно малое число. Априорное задание функций, fgn однозначно влияет на распределение плотности = p s , л) и скорости скольжения о =и з ,л) вдоль границы = 0. Далее берем / =0,=0, > 2. Итоговое выражение плотности жидкости р = р + 1 1])71 + J2 7[ +... содержит произвольную постоянную / , которая входит сомножителем в коэффициенты ряда подходящт й выбор этой константы дает возможность указать распределение плотности по частицам, при котором разность плотностей жидкости в любых двух точках потока меньше наперед заданного числа с, е (0,1). Этим обеспечивается правомерность приближения Буссинеска, для которого справедливы исходные уравнения (2.39). Во втором приближении поперечная скорость жидкости и вязкие напряжения на линии сильного разрыва представляются в виде [c.65]

Трактат об устойчивости заданного состояния движения... Э. Рауса появился в 1877 г. В нем изложено в общем виде составление дифференциальных уравнений возмущенного движения, т. е. уравнений для отклонений координат системы от их значений, соответствующих заданному состоянию движения. Эти отклонения, в трактовке Рауса, вызываются мгновенными возмущениями (по сути это возмущения начальных данных). В первую очередь, как орудие исследования возмущенного движения, рассматривается метод линеаризации (теория малых колебаний). Раус переоткрывает результаты Вейерштрасса и Сомова и дает критерий для суждения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Определение устойчивости у Рауса остается в достаточной мере расплывчатым. Оно связано с понятием малости возмущений, а малы те величины, для которых возможно найти такое число, численно большее, чем каждая из них, и такое, что квадратом его можно пренебречь . Как выражается Раус, это число есть стан- [c.121]

Вот, дорогой г. Миттаг-Леффлер, каковы мои личные чувства. Но я обязана сообщить Вам следующее г. Вейерштрасс, насколько он может судить о положении вещей в Швеции, не считает возможным, чтобы Стокгольмский университет допустил женщину в число своих профессоров. Более того, он опасается, что если Вы будете слишком настаивать на подобных нововведениях, то это может повредить Вашему собственному положению, так как, по его словам, имеется достаточное число лиц недоброжелательных и желающих повредить Вам хотя бы из зависти. Разумеется все, что я здесь пишу Вам, предназначено только для Вас, и я прошу хранить это в строгой тайне. Но с моей стороны было бы слишком эгоистично не сообщить Вам этих слов нашего дорогого учителя. Вы можете себе представить, насколько я была бы огорчена, если бы в конце концов только повредила Вам — который всегда проявлял ко мне столько внимания и готовности услужить мне и к которому я чувствую столь искреннюю дружбу. В виду этого я думаю, что, пожалуй, было бы более осмотрительным не предпринимать в данный момент никаких попыток и во всяком случае выжидать полного окончания работ, которыми я сейчас занята. Если мне удастся закончить их настолько же успешно, насколько я надеюсь и желаю этого, то во всяком случае это будет поддержкою в намеченной мною цели. Пока же прошу Вас не только не предпринимать никаких попыток, но и не слишком много говорить об этом прежде, чем Вы не убедитесь, что можете вполне рассчитывать на лиц, которые Вас окружают и от которых в значительной степени зависит сделать Ваше пребывание в Стокгольме приятным. .. [c.12]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Вейерштрасс полагает, что следует выбрать тему по возможности ограниченную, но и очень точную. По его мнению, достаточно было бы потребовать полного интегрирования какой-нибудь группы дифференциальных уравнений, например, группы, которой удовлетворяет гипер-геометрическая функция. При этом следует требовать полного решения вопроса, т. е. выражения двух переменных (связанных дифференциальным уравнением (В. Г.)) в однозначных во всей плоскости функциях третьей переменной. Вейерштрасс не думает, чтобы фуксовые функции были наиболее подходящими для интегрирования дифференциальных уравнений, если порядок последних превосходит второй. [c.18]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Найдя экстремаль, необходимо исследовать, дает ли она действительно экстремум и что именно — максимум или минимум. В диферен-циалыюм исчислении для решения аналогичной задачи исследуется знак- второй производной в В. и. прежде математики (Якоби) шли путем изучения второй вариации (второй производной по а при а = 0). Но Вейерштрасс показал, что т. о. мы еще не получаем достаточных условий экстремума он дал теорию, основанную на непосредственном сравнении и [c.183]

Оператор (I+Bo)" ограничен, (I-l-Bo) (B—Во)—вполне непрерывен в /2°(0<сг<1) и при достаточно малых т) сколь угодно мал по норме. Тогда, если В(т)) и t(ri) аналитичны в окрестности точки TjsO, то, с учетом теоремы А, признака равномерной сходимости Вейерштрасса [11] и оценок (3.4.20), (3.4.21), из (3.5.2) вытекает аналитичность Р(т)) в окрестности точки т) = 0. Таким образом, требуется доказать аналитичность В(т)), 1(т)), определяемых соотношениями (3.4.10), (3.4.11). [c.132]

Второй метод заключается в использовании ряда параметров (множителей) Лагранжа и решении задачи как задачи типа Майера. Этот метод непосредственно дает ряд дополнительных дифференциальных уравнений и конечных условий. Связи между экстремалями различных типов обычно определяются с помощью так называемых угловых условий Вейерштрасса—Эрдманна. Если при этом остаются еще какие-либо сомнения в правильности синтеза оптимальной траектории, то они обычно устраняются, как это будет показано на примерах, путем применения сильного вариационного критерия Вейерштрасса. Обычно достоверность максимума или минимума исследуемых характеристик достаточно ясно определяется физической интуицией, поэтому это дополнительное и достаточно трудное доказательство оказывается излишним. В частных случаях, исследованных в работе [4], это доказательство носит элементарный характер. [c.747]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...