Линии — Кривизна Семейство

Плоскости Ь п N являются ортогональными плоскостями, и соответственно главные направления в точке М ортогональны. На поверхности 5 (рис. 9.2) проведем сетку семейств кривых 1 и аг таких, что эти кривые в каждой точке имеют касательные, совпадающие с главными направлениями. Такие кривые называют линиями главной кривизны поверхности. Семейства кривых 1 и аг, являющиеся линиями главных кривизн, примем за координатные линии. Эти криволинейные координатные линии являются ортогональными. [c.232]

Следовательно, при движении вдоль линий скольжения одного семейства радиусы кривизны линий скольжения второго семейства изменяются в узловых точках на величины пройденных расстояний (вторая теорема Генки). [c.269]

Будем передвигаться вдоль некоторой линии скольжения тогда радиусы кривизны линий скольжения другого семейства в точках пересечения изменяются на пройденные расстояния (вторая теорема Генки). [c.141]

Теорема Генки показывает, что радиус кривизны линий скольжения р при движении в сторону их вогнутости уменьшается. Если пластическое состояние прости-достаточно далеко, то радиус кривизны линий р должен обратиться в нуль, что отвечает пересечению эвольвенты ОР с линией скольжения АО. При этом линия семейства р имеет в точке О острие. Кроме того, из построения (фиг. 58) ясно, что в точке О бесконечно близкие линии скольжения АО, А О сходятся. Точка О принадлежит огибающей линий скольжения семейства а. Таким образом, огибающая линий скольжения одного семейства есть геометрическое место точек возврата линий скольжения второго семейства. [c.142]

Если производные компонентов напряжения испытывают разрывы при переходе через линию скольжения например, через некоторую линию Р), то кривизна линий скольжения второго семейства (а) разрывна вдоль линии р. [c.143]

Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого семейства, имеют одинаковую длину (рис. 56). Рассмотрим линии скольжения AAi и BBi, Ясно, что эти линии имеют одну и ту же эволюту, которая является геометрическим местом центров кривизны кривой н огибающей семейства нормалей к кривой. Исходную кривую можно построить путем разматывания нити с эволюты. Тогда при вычерчивании кривой BBi нить будет на отрезок А В короче, чем при вычерчивании кривой AAi, Остановимся на полях скольжения, характеризующих простые напряженные состояния. Поле напряжений, в котором одно семейство линий скольжения (например, а) состоит из прямых линий (рие. 57, а), называют простыми. Вдоль прямой линии скольжения величины ф, а следовательно, параметры Т) и компоненты напряжений Оу постоянны. Частным случаем простого поля напряжений является центрированное поле линий скольжения, образованное пучком прямых и концентрическими окружностями (рис. 57, б) [102]. [c.163]

Радиусы кривизны линий скольжения изменяются на величину расстояний, пройденных по линиям скольжения другого семейства. [c.192]

Два пересевающихся семейства линий на поверхности образуют сеть линий. Среди бесконечного множества различных сетей линий имеются некоторые, обладающие важными свойствами. К числу таких сетей относятся сети сопряженных линий, сети ортогональных линий, сеть линий главных кривизн. Любая система координатных линий представляет собой сеть линий. Уравнения теории оболочек получаются наиболее "простыми, если в качестве координатных линий на срединной поверхности принята сеть линий главных кривизн. Координаты а , соответствующие сети линий главных кривизн, называются главными координатами. Поясним понятия сеть сопряженных линий, ( еть ортогональных линий и сеть линий главных кривизн. [c.31]

Нетрудно видеть, что точка Р , образованная пересечением касательных к линиям скольжения первого семейства в точках Ли и Л12, представляет собой центр кривизны линии скольжения второго семейства в точке Ли, а точка Qi, полученная пересечением касательных к линиям скольжения первого семейства в точках Л21 и Л22, является центром кривизны линии скольжения второго семейства, но уже в точке Л21. Аналогичным образом, точки Р2 и Q2 будут центрами кривизны линии скольжения первого семейства в точках Ли и Л12. [c.217]

Аналогичным образом, обозначая через + dRl радиус кривизны линии скольжения первого семейства в точке Л12, найдем [c.218]

Отсюда сразу же следует, что при движении вдоль фиксированной линии скольжения одного семейства радиусы кривизны линий скольжения другого семейства изменяются на пройденные расстояния (вторая теорема Г. Генки). [c.218]

Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого семейства, имеют одинаковую длину. В самом деле, рассмотрим линии скольжения АА, ВВ. Эволюта (геометрическое место центров кривизны) какой-либо кривой является огибающей семейства нормалей к кривой. Очевидно, что линии скольжения АА и ВВ имеют одну и ту же эволюту Э. Как известно, исходная кривая может быть построена путем разматывания нити с эволюты. Но тогда при вычерчивании кривой ВВ нить будет короче на отрезок АВ, чем при вычерчивании кривой АА. [c.141]

Найдем зависимость между кривизной линии аЬ в точке о и производными от функций а и по направлению характеристик второго семейства в точках характеристики ос. Длину дуги произвольной характеристики второго семейства, отсчитываемую вниз по потоку от точки пересечения этой характеристики с линией ос, обозначим через i. Производную по i вдоль характеристики второго семейства будем обозначать символом d/dl. [c.58]

Свойство 2. При плоском и осесимметричном сверхзвуковом обтекании тела увеличение радиуса кривизны образующей аЬ тела в точке а приводит к увеличению радиуса кривизны S b линии ударной волны се в точке с, если точки а и с соединены характеристикой первого семейства. [c.62]

Если высшая пара (рис. 62) заменяется цепью, показанной ва фиг. 10и табл. 6, то звено 3 входит в кинематическую пару Oi со звеном 1. Звенья 4 я 5 входят в пары А ж В со звеном 2. При присоединении необходимо удовлетворять условию, чтобы точки Oi и <9а, являющиеся мгновенным центром вращения Рз звена <3 относительно звена 2, были бы центрами кривизны кривых, образующих высшую пару. Аналогичные условия должны быть и в случае замены высшей пары любыми сложными открытыми или замкнутыми цепями. Если один из элементов высшей пары является прямой линией, одна из вращательных пар переходит в пару поступательную (см. рис. 61, 6). Высшая центроидная пара V класса в плоских механизмах третьего семейства представляет собой две перекатывающиеся без скольжения друг по другу кривые 1 ж 2 (рис. 63) и может быть всегда заменена вращательной парой V класса, ось которой проходит через мгновенный центр вращения Pi . [c.241]

Касательные к линиям кривизны имеют главные направления индикатрисы Дюпена. Следовательно, линии кривизны одного семейства ортогональны к линиям кривизны другого семейства. [c.220]

В предыдущем разделе было описано решение путем последовательных приближений упрошенных уравнений осредненного осесимметричного движения газа, записанных в естественной системе координат, причем в каждом приближении необходимо было исправлять (перестраивать) оба семейства координатных линий и определять их кривизны. [c.319]

Теорема Прандтля. Касательные к двум бесконечно близким линиям скольжения (например, и Р2) точках пересечения их с дугами второго семейства (например, г) пересекаются в центрах кривизны этих дуг (рис. 115, в). При непрерывном перемещении точек касания вдоль pj, Ра центры кривизны образуют их эвольвенту (теорема Прандтля). [c.269]

Два семейства кривых, касательные к которым в каждой точке поверхности сопряжены, образуют сопряженную сеть кривых на поверхности. Кривые на поверхности, касательные к которым везде совпадают с главными направлениями, называются линиями кривизны. [c.19]

Пусть поверхность имеет хотя бы одно действительное семейство асимптотических линий (для этого гауссова кривизна поверхности должна быть [c.20]

На поверхности положительной гауссовой кривизны (К > 0) асимптотические линии мнимы. При /С < О существует два действительных семейства асимптотических линий, а при К = О существует одно действительное (двойное) семейство асимптотических линий. Отсюда вытекает, что тип статических безмоментных уравнений зависит от знака гауссовой кривизны срединной поверхности. Для оболочек положительной кривизны это будет эллиптическая система, для оболочек отрицательной кривизны — гиперболическая и для оболочек нулевой кривизны — параболическая. [c.105]

Второе семейство линий кривизны Oi параллельно а и отсекает на прямолинейных образующих рав ные отрезки. [c.16]

Как отмечалось ранее, торсовую поверхность можно сконструировать, если заданы по одной линии кривизны каждого семейства (см. рис. 1.2), причем угол оо между нормалью то к поверхности и бинормалью Ьо кривой а считается заданным, В любой другой точке М кривой линии кривизны угол а определяется по формуле (1.21). Образованную этим способом торсовую поверхность можно задать векторным параметрическим уравнением [44] [c.36]

При технических расчетах обычно пренебрегают как раствором петель частных циклов, так и кривизной образующих их линий, и заменяют семейство петель частных циклов прямыми, например прямой fg (см. рис. 16), называемых прямыми возврата. Тангенс угла наклона этой прямой к оси абсцисс называется коэффициентом возврата в- Отсюда kg — А В АН — = tg р. Значение kg всегда больще реверсивной проницаемости ц, rev — = tg а, но обычно эта разница очень мала и часто принимают kg— Цг rev-Значение kg входит в расчетные формулы всех постоянных магнитов, испытывающих в процессе работы (или в условиях сборки) воздействие внешнего магнитного поля или изменение внешней магнитной проводимости. [c.17]

Сетка линий сколъж ия а, Р обладает рядом простых свойств, существенно облегчающих решение конкретных задач. В частности, угол, который составляют две линии скольжения одного и того же семейства, в точках, где они пересекаются с линиями скольжения другого семейства, не меняется при движении вдоль этих тсиний (первая теорема Генки), а также уменьшение радиусов кривизны линий скольжения одного семейства при перемещении по линии скольжения другого семейства равно пройденному пути (вторая теорема Генки). [c.108]

Если измерить радиусы кривизны линий скольжения одного семейства (например, Vi = onst) в точках пересечения последних с линиями другого семейства (i 2 = onst), то, пспользуя свойство 2), можно показать, что указанные радиусы кривизны возрастают или уменьшаются на величину длины дуг, измеренных по линиям другого семейства (Генки, Прандтль). [c.614]

Таким образом центры кривизны дуг линий скольжения одного семейства образуют эвольвенту для данной линии скольжения другого семейства, которую они пересекают. Это положение называют теоремой Прадтля. [c.191]

Если теперь поворачивать рассматриваемую плоскость вокруг луча, то кривая С, а следовательно, и радиус кривизны будут изменяться непрерывным образо.м. При повороте плоскости на 180 величина радиуса кривизны пройдет через свои максимальное и минимальное значения. С помощью простых геометрических рассуждений можпо показать ), что две плоскости, в которых лежат максимальный и минимальный радиусы кривизны, взаимно перпендикулярны. Эти плоскости называются главными плоскостя.чи ) для точки Р, а соответствующие радиусы — главными радиусами кривизны. Кривые на поверхности 5, касающиеся во всех своих точках главных плоскостей, образуют два взаимно ортогональных семейства кривых, называемых линия.чи кривизны. [c.168]

Обозначая через 7 ) + радиус кривизны линии скольжения второго семейства в точке Л21 и принимая во внимание, что угол AгiQlA22 равен ф,,, будем иметь [c.218]

Очевидно, что сумма длин дуги Л11Л21 и радиуса кривизны A2lQ линии скольжения второго семейства в точке Л21 равна радиусу кривизны Ац линии скольжения того же второго семейства в точке Ли. Следовательно, точки Р и лежат на одной и той же эвольвенте первой линии скольжения, проходящей через [c.218]

Определение 6. Пусть в задаче сверхзвукового обтекания одного жесткого контура рассматривается ударная волна. Касательная к ударной волне образует положительный угол а с направлением вектора скорости набегающего потока, но этот угол меньше того, при котором скорость за ударной волной равна скорости звука. Пусть, далее, из произвольной точки М контура проведена характеристика первого семейства до пересечения с ударной волной в точке N. Функция а = aт tgy, где у = ь х) определяет линию ударной волны, принадлежит классу Е, если кривизна линии у = ь х) в каждой точке N не меньше, чем ее значение, отвечающее кривизне контура в точке М равной -оо. [c.63]

Обсуждение обобщенных краевых эффектов мы начнем со случая, когда кривизна срединной поверхности отрицательна, и выберем криволинейные координаты так, чтобы то семейство асимптотических линий, к которому принадлежит интересующий нас контур, совпало с линиями o j = onst. [c.149]

К двухкратному решению задачи Коши сводится вопрос и в случае, когда кривизна оболочки неположительна. Если кривизна равна нулю, то рассуждения становятся элементарными. Они проведены в 15.17—15.19 и показали, что для оболочки нулевой кривизны обсуждаемая здесь полная краевая задача безмоментной теории всегда имеет решение, конечно, если края неасимптотические. Если кривизна оболочки отрицательна, то обе упоминав-щиеся выше задачи Коши должны решаться для систем гиперболического типа. Это значит, что их решение будет существовать в двухсвязной области при любой, достаточно гладкой нагрузке. Исключение может иметь место только тогда, когда в области G будут содержаться некоторые особые точки срединной поверхности, например, точки, через которые проходят две асимптотические линии одного семейства. [c.268]

L — оператор, характеристики которого совпадают с асимптотическими линиями срединной поверхности, а тип определяется знаком гауссовой кривизны К если /С > 0. то L — эллиптический оператор с двумя двухкратными комплексно-сопряженными семействами мнимых характеристик, если К< 0,то L — гиперболический оператор с двумя двухкратными семействами действительных характеристик, если К — О, то L — параболический оператор с одним четырехкратным семейством действительных характеристик (в рассуждениях, етно-сящихся к L, надо полагать г = 2 при ф О и г — 4 при К = 0). [c.498]

Таким образом, единственную торсовую поверхность можно сконструировать, если заданы по одной линии кривизны (прямая и кривая) каждого семейства. Надример, чтобы сконструировать торсовую поверхность с заданной линией кривизны а, представленной уравнениями [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...