Перманентные вращения твердого тела

Примерз. Найти возможные случаи установившегося (перманентного) вращения твердого тела около неподвижной точки О при действии на тело только силы тяжести. [c.157]

Мы знаем, что в этом случае для твердого тела возможны перманентные вращения (с произвольной постоянной угловой скоростью) вокруг каждой из трех главных осей инерции х, у, г если введем, как обычно, проекции р, q, г угловой скорости о), то перманентные вращения твердого тела определятся равенствами [c.94]

Исключая теперь эти два случая равновесия, т. е. предполагая фО, заметим, как это следует из уравнения (37), что необходимое условие для того, чтобы (й = VX давало угловую Р скорость перманентного вращения твердого тела, заключается в том, чтобы [c.106]

Заметим, что возникновение асимптотической устойчивости по части переменных характерно и для твердых тел с полостями, содержащими сильно вязкую жидкость [Румянцев, 1967]. Кроме того, асимптотическая устойчивость по части переменных при отсутствии активных внешних диссипативных сил является существенной особенностью задачи устойчивости перманентных вращений твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости [Карапетян, 1981 Марке-ев, 1992] см. раздел 1.1.4. [c.22]

Доказать устойчивость перманентных вращений твердого тела в случае Эйлера около наибольшей и наименьшей осей эллипсоида инерции [А < В <С). [c.285]

Используя теорему П. Г. Четаева, доказать неустойчивость перманентного вращения твердого тела в случае Эйлера около средней оси эллипсоида инерции [Л < В < С). [c.285]

Следствие 6.7.2. Главные оси инерции служат перманентными (постоянными) осями вращения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. 6.3). [c.471]

Определенные только что равномерные вращения твердого тела, закрепленного в своей точке О (и находящегося под действием активных сил с результирующим моментом относительно О, равным нулю), так же как и соответствующие оси вращения (главные оси инерции относительно точки О), называются соответственно перманентными вращениями и перманентными осями. [c.89]

Перманентные вращения тяжелого тела, закрепленного в одной из его точек. То обстоятельство, что мы не мОжем найти общий интеграл уравнений движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной из его точек, не исключает, конечно, возможности найти какие-нибудь частные их решения. Даже не вводя каких-либо ограничительных предположений о материальной структуре твердого тела, можно показать, как при помощи совсем элементарных средств удается выявить класс частных решений уравнений (34), (35), зависящий от одной произвольной постоянной. [c.104]

Метод Четаева был применен для получения функции Ляпунова и при исследовании других случаев движения твердого тела. Для теории гироскопов имеет значение проведенное этим методом самим Четаевым исследование устойчивости вертикального волчка с учетом массы колец его карданова подвеса при вертикальной оси внешнего кольца. В. В. Румянцев исследовал устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг вертикальной оси при различных допущениях, в том числе и для волчка Ковалевской. На основе метода Четаева дано новое доказательство устойчивости регулярной прецессии волчка Лагранжа. Тем же методом пользовались при исследовании устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне. [c.135]

В частном случае, когда ось вращения проходит через вершину эллипсоида инерции, твердое тело совершает постоянное вращение около главной оси инерции твердого тела, сохраняющей неизменное положение в пространстве. Такая ось называется постоянной, или перманентной, осью вращения твердого тела. [c.416]

Приведенные рисунки иллюстрируют аналогию между движением трех вихрей и динамикой твердого тела. Сравнивая рис. 3 а (в случае равных интенсивностей) с фазовым портретом задачи Эйлера—Пуансо (см., например, [12]), можно связать коллинеарные конфигурации (лежащие на прямой L = 0) с неустойчивыми перманентными движениями твердого тела вокруг средней оси эллипсоида инерции, томсоновские решения (при которых L/G = 1) — с вращениями вокруг большой (малой) оси эллипсоида инерции. Особые точки системы, которые соответствуют периодическим решениям задачи двух вихрей (два из трех вихрей всегда слиты в одной точке, а их интенсивности складываются), лежащие на прямой L = О, можно связать с устойчивыми перманентными вращениями вокруг малой (большой) оси эллипсоида инерции. При прохождении системой коллинеарного положения (три [c.51]

Перманентное вращение. Посмотрим, имеются ли между бесконечно разнообразными движениями по Пуансо, возможными для твердого тела, закрепленного в точке О, равномерные вращения. Это равносильно вопросу возможно ли удовлетворить уравнениям Эйлера (5 ) или эквивалентному векторному уравнению (18 ). полагая ш равным постоянному вектору в теле (а следовательно, также и в пространстве т. I, гл. IV, п. 11) Но а таком, случае в силу [c.88]

Центробежные моменты инерции (моменты девиации). Остановимся на только что отмеченном обстоятельстве если прямая а, проходящая через точку О, не является перманентной осью вращения, а начальная угловая скорость совпадает с ней по направлению, то ось мгновенного вращения при движении тела по инерции будет смещаться тотчас же после начала движения из своего начального положения а. Чтобы несколько выяснить причины этого явления, посмотрим, нельзя ли добавить (к возможным внешним активным силам с результирующим моментом относительно точки О, равным нулю) новую силу, которая препятствовала бы оси а перемещаться и вынуждала бы твердое тело перманентно вращаться вокруг нее с заданной начальной угловой скоростью. [c.90]

Мы предполагаем здесь исследовать на основе критериев, установленных в 4 гл. IV, устойчивость или неустойчивость перманентных вращений, которые, как мы видели в предыдущем параграфе, возможны для всякого твердого тела, закрепленного в одной из своих точек О, относительно которой результирующий момент внешних активных сил постоянно равен нулю заметим также, что все, что мы скажем в этом случае, можно будет непосредственно повторить и в применении к перманентным вращениям относительно осей, проходящих через центр тяжести свободного твердого тела, находящегося под действием внешних сил, результирующий момент которых относительно центра тяжести постоянно равен нулю. [c.94]

Случай тела с гироскопической структурой. Предыдущие результаты получены в предположении, что три главных момента инерции относительно точки О неравны между собой поэтому нужно отдельно рассмотреть случай, когда некоторые из моментов инерции совпадают. Однако бесполезно останавливаться на предположении Л = В = С (эллипсоид инерции, сводящийся к шару), при котором, как мы знаем, все возможные движения твердого тела сводятся к перманентным вращениям, так что устойчивость каждого из них очевидна. [c.97]

Заметим, кстати, что если при движении тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, остается постоянным в теле момент АГ, то постоянной (в теле) будет в силу соотношения между w и АГ и угловая скорость в а так как она будет тогда неизменной и в пространстве, то мы опять приходим к перманентным вращениям, которые поэтому можно определить как такие движения, в которых сохраняется постоянным внутри тела результирующий момент АГ количеств движения. [c.105]

О перманентных вращениях тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. Т.45. Вып.5. С.808-814. [c.283]

Условия существования алгебраических интегралов уравнений Кирхгофа изучал Р. Лиувилль, который опубликовал в докладах Парижской Академии наук некоторые необходимые условия [245] (кстати, как и в гамильтониане (12.3) при Ъij 7 О, г 7 ), пообещав в последующих работах привести соответствующие интегралы степени более второй. Однако этих публикаций не последовало. В недавних исследованиях алгебраической интегрируемости заранее предполагалось, что все матрицы А, В, С являются диагональными [155]. В работах [98, 27] относительно аналогичной интегрируемости уравнений Кирхгофа предполагается, что матрица А определяется матрицей инерции I реального твердого тела А = 1 , а все моменты инерции являются различными. Только в этом случае существуют неустойчивые периодические решения (перманентные вращения) и сепаратрисы к ним, играющие ключевую роль в соответствующих доказательствах. [c.347]

Устойчивость по Ляпунову рассматриваемого движения тела была исследована В. В. Румянцевым (Румянцев В. В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела.—ПММ, 1956, т. XX, вып. 1, с. 51—56). (Прим. перев.) [c.192]

Устойчивость перманентных вращений свободного твердого тела [c.25]

Следовательно, жесткие вращения возможны только вокруг главных осей инерции —они родственны перманентным вращениям абсолютно твердого тела в случае Эйлера (см. гл. VI). Однако имеется и существенное различие, которое состоит в том, что абсолютно твердое тело может вращаться (в действительном движении) относительно любой оси, тогда как система свободных точек может вращаться с сохранением конфигурации только вокруг главных осей инерции. Здесь не имеет смысла постановка вопроса об устойчивости перманентных вращений неизменной конфигурации. В задаче п точек прежде всего возникает вопрос об устойчивости самой конфигурации [c.481]

Пример. В качестве примера решения задачи об устойчивости движения путем надлежащего выбора функции Ляпунова V рассмотрим задачу об устойчивости перманентных вращений твердого тела, движущегося по инерции относительно неподвижной точки. В гл. V было показано, что уравргения движения по инерции тела с неподвижной точкой можно записать так [c.234]

П о ж а р и ц к и й Г. К., Об устойчивости перманентных вращений твердого тела с закрепленной точкой, находящегося в ньютоновском центральном поле сил. Прикладная математика и механика, 1959, т. ХХП1, вып. 4, 722—793. [c.414]

В настоящем добавлении кратко обсуждаются динамические системы в приведенных фазовых пространствах и их связь с инвариантными многообразиями в исходном фазовом пространстве. Все эти вопросы исследовались еще Якоби и Пуанкаре ( исключение узла в задаче многих тел, понижение порядка в системах с симметрией, перманентные вращения твердого тела и т. п.). Подробное изложение в современной терминологии имеется в статьях С м е й л С. Топология и механика // УМН.— 1972.— Т. 27, № 2.— С. 78—133 (1пуеп11опе8 Ма1Ьеша11сае.— 1970.— V. 10, № 4.— Р. 305-331 1970.— V. 11, № 1.- Р. 45-64) М а р с-д е н Дж., Вейнстейн А. Редукция симплектических много- [c.337]

И. Малые колебания тела около перманентного движения, представляющего собой чистое верчение. Чистым верчением (ср. т. I, гл. XIII, п. 29) называют всякое вращение твердого тела, опирающегося на поверхность, вокруг общей нормали к поверхности а твердого тела и к поверхности опоры. [c.233]

Если, в еще более чаогном случае, эллипсоид инерции сводится к шару, то перманентными осями будут все прямые, выходящие из неподвижной точки в этом предположении всякое движение по инерции твердого тела будет равномерным вращением, как это следует из предыдущего и как- это уже было подтверждено в п. 8 на осно- вании дифференциальных уравнений движения. [c.90]

Выберем на конусе Штауде образующую q, ориентированную по юдному из своих направлений и имеющую относительно твердого тела направляющие косинусы fg) Tfa и предположим, что она совпадает (также и по стороне) с нисходящей вертикалью, проходящей через точку О. По предположению, направляющие косинусы fa, Ys Удовлетворяют уравнению (39 ), и все сводится к тому, чтобы убедиться, можно ли при соблюдении условия (39 ) определить, по крайней мере, одно действительное значение v, которое удовлетворяло бы уравнению (37). Это векторное соотношение, после проектирования на подвижные оси, дает три линейных уравнения относительно (уравнения Эйлера перманентного вращения тяжелого твердого тела) [c.109]

Поэтому заключаем, что всякая образующая конуса Штауде для твердого тела является осью равномерного вращения, если только надлежащая сторона этой образующей совпадает с нисходящей вертикалью-, при этом абсолютная величина угловой скорости (v( определяется однозначно, а направление вращения остается произвольным (обратимые перманентные вращения). Только для прямой, проходящей через центр тяжести соответственно двум случаям [c.110]

Предыдущим оправдывается название перманентных осей вращения, которое дают в случае твердого тела, закрепленного в одной точке, образующим конуса Штауде, включая, как соответствующие предельным случаям, главные оси инерции и прямую i), проходящую через центр тяжести. [c.111]

Линия пересечения конуса вертикальной линии со сферой будет иметь кратную точку в Н1 и точку возврата в точке, представляющей слияние точек Н2, Н . Движение твердого тела, при котором конус вертикальной линии имеет указанный вид, было исследовано Б. К. Млодзеевским, который показал, что в рассматриваемом случае все элементы, характеризующие движение тела, выражаются алгебраическими рациональными функциями времени. Положение вертикали, проходящей через точку возврата, соответствует перманентной оси вращения. Вращение это относительно изменения постоянных 1 и Н будет, вообще говоря, неустойчиво. Анализ Млодзеевского показывает, что при движении по рассматриваемому конусу вертикальной линии вертикаль ОН приближается к положению перманентной оси, но достигает этого положения только по прошествии бесконечно большого времени. Такое же обстоятельство имеет место для случая слияния точек Н2 и Н4. [c.111]

Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических движений тела в трехмерном пространстве. Пусть h = U1 — максимальное критическое значение интеграла энергии. При h > U1 область возможных движений совпадает со всей S0 3). На любом римаповом S0 3) существует по крайней мере три различных замкнутых геодезических [52]. Им соответствуют шесть различных периодических движений твердого тела (некоторые из них могут быть перманентными вращениями). При остальных некритических h область В имеет края. Если, например, тело вращается в ньютоновском поле сил (классическое приближение, см. 4 гл. III), то каждая связная компонента области возможных движений согласно [55, 56] диффеоморфна х [О, 1] (Т — двумерный тор) или X В" S — окружность, а В" — двумерный диск). В первом случае граница дВ состоит из двух связных многообразий, диффеоморфпых Т , и, следовательно, по теореме 3 существует, по крайней мере, одно либрационное периодическое [c.143]

Следует заметить, что уравнения Эйлера (6.1) и вывод об устойчивости справедливы для абсолютно твердого и абсолютно свободного тела. Уже на заре космической эры было замечено, что стабилизация при помощи перманентных вращений требует осторожного подхода. Так, запущенный в 1958 году спутник Эксплорер-1 , стабилизированный вращением вокруг оси с наименьшим моментом [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...