Маркова теорема

Маркова теорема 1 — 329 Мартеновские печи — Размеры 5 — 54 Маршруты технологические обработки валов 5 — 496—499 [c.436]

Рисса — Маркова теорема 79 [c.419]

Теорема Маркова. Пусть лГ], Хз,. .., Хп — независимые случайные величины с математическими ожиданиями Ох, Оь л и дисперсиями = 1, = 31 I = Л1 которые таковы, что при га — оо [c.329]

Теорема Маркова. Пусть х, ха,. . . , Хп — независимые случайные величины [c.329]

Максвелла—Бетти теорема 77 Малых перемещений теория 49, 117 Маркеров и ячеек метод 436 Маркова принцип 323, 333 Материал жесткопластический 332 [c.533]

Это объясняется тем, что, согласно закону больших чисе.ч в его простой форме — в первом случае и согласно обобщенной предельной теореме Ляпунова (которая, как уже говорилось, применима к рассматриваемой схеме) — во втором,— пределы частостей переходов из фиксированной области в некоторую другую заданную область равны пределам частости переходов, ]гри которых система, попавшая в фиксированную область, перешла в нее из заданной области (понятно, что это заключение может быть сделано не только по отношению к областям, состоящим из группы ячеек, но и по отношению к самим ячейкам). Это свойство, называемое обычно симметрией флюктуаций относительно прошедшего и будущего или обратимостью флюктуаций, показывает, в частности, что всякая неравновесная область с подавляющей вероятностью происходит из той более равновесной области, в которую она с подавляющей вероятностью переходит. Это свойство основано лишь на зависимостях, характеризующих цепи Маркова. [c.142]

Простой проверкой можно убедиться в том, что оценка (13) не совпадает с оценкой (12) в случае, когда система уравнений является переопределенной. Поэтому оценка (13) не является в общем случае эффективной, так как на основании теоремы Маркова только оценки по методу наименьших квадратов, характеризующиеся минимальными оценками, являются эффективными. Однако метод наименьших квадратов без учета весов измерений будет эффективным только при равноточных измерениях. [c.213]

Так же, как при доказательстве теоремы 2, из предложения 3 вытекает, что нри малых к > О функционал фь имеет минимум во внутренности множества Z. Этот минимум соответствует периодической траектории энергии к, близкой к цепочке N гомоклинических траекторий. В пределе ТУ ос получаются хаотические траектории, соответствующие заданной траектории jk kez топологической цепи Маркова. [c.158]

Наконец, строгая линейность отображений на компонентах пересечения не является необходимой. Например, любое С -малое возмущение отображения, описанного выше, по-прежнему дает инвариантное множество, на котором оно топологически эквивалентно топологической цепи Маркова — это специальный случай теоремы 18.2.1 (о структурной устойчивости). Более общие достаточные условия существования нелинейной подковы будут установлены в 6.5 (см. определение 6.5.2 и теорему 6.5,5). Глубокий пример применения нелинейных подков в общей структурной теории гладких динамических систем — теорема Д.5.9 из добавления и ее следствия. [c.96]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Построение стохастической матрицы П из О — 1-матрицы А посредством равенства (4.4.5) может выглядеть несколько загадочным, но на самом деле оно имеет естественную интерпретацию. Мера — не что иное, как асимптотическое распределение периодических орбит топологической цепи Маркова сг . Чтобы показать это, вернемся к обсуждению из п. 1.9 в, в ходе которого мы выяснили, что число различных периодических орбит периода п в базисном 0-цилиндре С равно диагональному элементу матрицы А". Из теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 следует, что где д и V определяются равенствами (4.4.3) и (4.4.4). Таким образом, доля числа периодических точек периода п, содержащихся в С°, в силу (4.4.2) равна [c.186]

Понимание комбинаторики отображений отрезка, которым мы обладаем к настоящему моменту, позволяет получить нижние границы энтропии отображения отрезка, когда известно, что присутствуют определенные периодические точки. Мы будем использовать предложение 3.2.5, а также информацию относительно графа Маркова, которую дает лемма 15.3.3. Связь между формулировками этих утверждений обеспечивает теорема 15.1.9. [c.506]

Доказательство. Будем считать, что период р минимален, и рассмотрим отображение / =/ . Заметим, что по лемме 15.3.3 граф Маркова / относительно разбиения, индуцированного периодической орбитой, содержит подграф (15.3.1). По теореме 15.1.9 и теореме Перрона — Фробениуса 1.9.11 достаточно показать, что энтропия (15.3.1) равна наибольшему корню многочлена х — 2х — 1. Таким образом, мы должны вычислить характеристический многочлен марковской матрицы, ассоциированной с (15.3.1), т. е. нам нужна формула для нахождения наибольшего собственного значения (п х п)-матрицы [c.506]

Предположим далее, что р нечетно, и рассмотрим стандартное отображение /j, (см. определение 15.1.13) с графом Маркова (15.3.1) (построенное по правилу (15.3.2)). Тогда по построению отображение обладает точкой периода р. Не существует ни одной точки меньшего периода (кроме 1), потому что все циклы нечетной длины, меньшей чем р, в (15.3.1) включают только 7, и, следовательно, обязаны своим существованием этой неподвижной точке отображения /j,. По теореме 15.1.9, упражнению 15.1.1 и вариационному принципу 4.5.3 выполнено равенство top(/) = [c.508]

Теорема 16.1.1. Если/ [О, I]— [О, I], то любое локально максимальное гиперболическое отталкивающее множество А топологически сопряжено топологической цепи Маркова. [c.522]

Другое непосредственное применение теоремы о семействах е-траекто-рий — конструкция марковской аппроксимации, согласно которой компактное локально максимальное гиперболическое множество является фактором топологической цепи Маркова. [c.573]

Используя результаты упражнения 1.9.9, докажите, что неблуждающее множество NW([c.582]

Предложение 18.7.7. Если А — компактное локально максимальное гиперболическое множество отображения /, то топологическая цепь Маркова ст , полученная в результате кодирования из теоремы 18.7.4, топологически транзитивна (соответственно перемешивающая), если / д топологически транзитивно (соответственно перемешивающее). [c.597]

Вариационный принцип (теорема 4.5.3) говорит нам, что топологическая энтропия равна верхней грани метрических энтропий. Мы знаем также, что для разделяющих отображений эта верхняя грань достигается (теорема 4.5.4). Таким образом, естественно попытаться исследовать эти специальные меры, энтропия которых максимальна. Для линейного растягивающего отображения окр ности и топологического сдвига Бернулли меры максимальной энтропии определялись очевидным образом, а для гиперболических автоморфизмов тора мы установили, что мера Лебега обладает максимальной энтропией (4.4.7). В предложении 4.4.2 мы показали, что специальная марковская мера /X[j, так называемая мера Перри, обладает максимальной энтропией для любой топологической цепи Маркова. Кроме того, упражнение 4.4.2 позволяет утверждать, что эту меру можно рассматривать как предельное распределение периодических орбит. То же, очевидно, верно для меры Лебега в случае линейного растягивающего отображения. Теперь мы покажем, что при наличии свойства спецификации [c.616]

При таких предположениях теорема Маркова устанавливает, что [c.136]

Доказательство теоремы Маркова. [c.137]

Теорема Маркова, в связи с основными теоремами о математических ожиданиях статистических величин, дает возможность установить одно весьма общее предложение Статистического Исчисления, которое можно назвать за коном средних чисел Чебышева-Маркова. Пусть [c.138]

Для доказательства этого положения воспользуемся теоремой Маркова (538). [c.140]

Магнитострикционные датчики 434 Ма клорена формула 142 Максвелла—Кремоны диаграмма 421 Мальтийские механизмы — см. Механизмы мальтийские Мантисса логарифма 77 Маркова теорема 329 Масса — Соотношение между единицами различных систе.м 393 Масса тела — Вычисление интегрированием 191 [c.576]

Мантисса логарифма 77 Маркова теорема 329 Масса тела — Вычисление интегрировя нием 191 [c.554]

Непрерывные отображения отрезка представляют собой идеальный объект для разработки структурной теории, основанной на идее кодирования и полусопряжения с топологаческими цепями Маркова. Теорема о промежуточном значении позволяет нам получить всю необходимую информацию из информации о том, каким образом отрезки содержатся в образах других отрезков. Этот подход дает очень точные результаты относительно топологической энтропии, роста числа периодических орбит, присутствия орбит различных периодов и структуры отображений с нулевой топологической энтропией. Позднее мы опишем технику, близкую к кодированию, которая выведет нас за рамки топологических цепей Маркова и обеспечит достаточную совокупность моделей для описания кусочно монотонных отображений с точностью до почти обратимого полусопряжения. [c.492]

Количественные характеристики, связанные с теоремами Бернулли и Пуассона (опирающиеся на неравенства Чебыщева, леммы Маркова и др.), обычно не используются в практических расчётах, так как получаемые посредством них значения вероятностей (не меньше р) и количества испытаний (больше N) имеют излишние для практических целей запасы неравенств. [c.290]

Теоремы Чебышева и Маркова относятся к среднему арифметическому значению суммы наблюдённых значений независимых случайных величин и к среднему арифметическому значению суммы их сргдних значений (математических ожиданий) ([54], стр. 146 [56], стр. 386 [5й], стр. 10U). [c.290]

Распределение по закону Гаусса было впервые подробно исследовано в конце XVIII и начале XIX века Гауссом применительно к ошибкам наблюдений и Лапласом при рассмотрении предельных распределений при повторении испытаний. Однако исчерпывающее теоретико-вероятностное обоснование этого распределения было получено позднее в работах русских ученых П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова, установивших условия возникновения распределения по закону Гаусса. Завершением этих работ явилась предельная теорема Ляпунова о распределении суммы независимых случайных слагаемых. С. Н. Бернштейном эта теорема обобщена на сумму слабо зависимых случайных слагаемых. [c.80]

В исследование оптимальности Н. к. м. внёс вклад А. А, Марков, к-рый в 1900 доказал след, утверждение (теорема Гаусса — Маркова) среди всех линейных несмещённых оценок минимальными дисперсиями Кц обладает оценка (3), т. е. оценка Н. к. м. [c.238]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

В математической статистике принято пользоваться несмещенными, состоятельными эффективными оценками. а основании теоремы Маркова значения Чь П2> —. Л", полученные по методу наименьших квадратов, характеризуются минимальными оценками, т. е. являются эффективными. Используя метод наименьших квадратов, можно перейти от переопределенной системы линейных уравнений вида (38) с размерностями матриц [О] (тХя), Р (гаХ1) и а (тХ1), где т — число датчиков, в которых замеряются напряжения, в л — число неизвестных внутренних силовых факторов, к определенной системе [c.211]

Теорема 3 может быть уточнена. Оказывается, что отображение Пуанкаре системы на инвариантном подмножестве в полусопряже-но топологической цепи Маркова произвольного порядка. Конструкция состоит в следующем. [c.156]

Метод кодирования, который мы впервые использовали в доказательстве топологической сопряженности произвольного растягивающего отображения окружности с линейным отображением той же степени (теорема 2.4.6). Мы применяли этот метод еще три раза в полулокальной ситуации в пп. 2.5 б, 2.5 в, при построении топологического сопряжения полного 2-сдвига с квадратичным отображением и отображением подковы на их инвариантных подмножествах и, наконец, в п. 2.5 г когда мы установили наличие полусопряженности топологической цепи Маркова с автоморфизмом тора. Этот метод очень эффективен в применениях к глобальным и полулокальным гиперболическим проблемам, т. е. к случаям, когда близлежащие орбиты расходятся с экспоненциальной скоростью, как это имеет место в упомянутых примерах (см. гл. 6, особенно определения 6.4.1 и 6.4.2). Одна из главных особенностей этого метода — его непосредственный характер. В частности, он не требует рассмотрения вспомогательного пространства кандидатов в сопряжения. С другой стороны, этот метод применим только к проблеме топологической (но не гладкой) сопряженности и полусопряженности. Метод особенно эффективен в ситуации малых размерностей, где он нередко работает без предположений гиперболичности (см. 14.5, 14.6, 15.4). [c.103]

Теорема 18.2.5. Любое компактное локально максимальное гиперболическое множество Л диффеоморфизма / является фактором топологической цепи Маркова. Кроме того, для любого е > О можно выбрать А таким, что образы базисных цилиндров = П С, под действием полусопряжения к —>М имеют диаметр, меньисий чем е, Кор(< л) < Kpif ) + е- [c.573]

Пусть Л — такое же множество, как в предыдущем упражнении. Докажите, что любое замкнутое локально максимальное подмножество множества Л является образом некоторой 71-кратиой топологической цепи Маркова (рассматриваемой как подсистема сдвига 02)-(Сравните с теоремой 16.1.1.) [c.584]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Доказательство. Выберем малое число 6 >О, такое число е, как в теореме 18.1.3, такое 7 < e , что d f(x),f(y)) < е/2 при < (х, у) < 7, и 7-плотное подмножество Р = Я),. Рдг-i гиперболического множества Л. Заметим, что il(P) = ш б d(f p ),Ри,. )< — топологическая цепь Маркова. Для каждой е-орбиты из ЩР) существует единственная точка /3(ш)бЛ, которая (5-приблнжает е-орбиту a(w) = Pu. iez- отмечалось в доказательстве теоремы 18.2.5, отображение сюръективно и непрерывно. Продолжим [ , ] на е-орбиты, полагая [c.594]

Установив понятия и теоремы осносительно вероятностей, статистических величин и математических ожиданий, мы можей перейти к доказательству основной теоремы Статистического Исчисления-— теоремы Маркова/ и выведу закона средних чисел Чебышева-Маркова. [c.136]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...