Элементы матричной алгебры

Для расчета напряженного состояния рабочего колеса радиально-осевой гидротурбины на электронной вычислительной машине был применен метод, основанный на использовании элементов матричной алгебры [4], как наиболее удобный для программирования. [c.88]

Элементы матричной алгебры [c.14]

Квадратная матрица размерностью (тХп), диагональные элементы которых равны 1, а остальные О, называется е д и н и ч и о й матрицей обозначается [Е] или 1. Они играют в матричной алгебре роль числа 1 в обычной алгебре. [c.180]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Один из возможных подходов к решению таких задач состоял в представлении системы в виде соединения дискретных конструкционных элементов, в результате чего получаются системы уравнений, которые удобно рассматривать с помощью операций матричной алгебры [2]. [c.82]

От читателя не требуется какой-либо дополнительной подготовки сверх обычной вузовской программы в объеме первых трех курсов. Необходимым условием усвоения материала является уверенное владение простейшим аппаратом матричной алгебры, язык которой используется на протяжении всей книги. Хотя пособие адресовано в первую очередь студентам авиационных институтов, оно может быть использовано для учебных целей и в других технических вузах, а также для самостоятельного изучения основ метода конечных элементов. [c.8]

В приложения вынесены описания и тексты используемых подпрограмм вычисления коэффициентов квадратурных формул, элементарных операций матричной алгебры, метода конечных элементов и численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. [c.4]

Общее решение задач теории упругости сводится к последовательности вычислительных процедур матричной алгебры, которые подходящим образом могут быть запрограммированы для реализации на вычислительной машине. Как и другие численные методы, метод конечных элементов сводится к решению больших систем уравнений с многими неизвестными. Для этого разработаны многочисленные алгоритмы (прямые или итерационные методы вычислений). [c.138]

Для получения нового элемента к любым графическим элементам, представленным в матричной форме, можно применить матрицу преобразований соответственно правилам матричной алгебры. В машинной графике применяется несколько стандартных преобразований. Рассмотрим три из них [c.155]

Для получения нового элемента можно применить к точке или линии (либо к какому-то другому графическому элементу), представленным в матричной форме, матрицу преобразований соответственно правилам матричной алгебры. [c.133]

Наряду с гл. 3 и 4 настоящая глава является во всех отношениях вводной при изложении основ метода конечных элементов. Здесь и в гл. 3 встречаются определения, обозначения и операции, которые более детально обсуждаются в курсе матричного анализа фермовых конструкций. Предполагается, что читатель знаком с этим предметом. (Имеется в виду, что читатель знаком с обозначениями и основными операциями матричной алгебры.) Тем не менее в этой и следующей главах излагаются все основополагающие аспекты анализа поведения конструкций с помощью матричных методов, имеющих отношение к развиваемому здесь методу конечных элементов. Изложение этих же вопросов читатель найдет в [2.1—2.4], однако в этих работах он встретит мало численных примеров. Символы и операции матричной алгебры будут определяться там, где они встречаются впервые. [c.35]

Введенная выше алгебра либо совпадает с либо составляет ее правильную часть й сг йп, т. е. является подалгеброй полной матричной алгебры. Ниже изучаются главным образом алгебры, элементами которых являются матрицы или матричные алгебры. [c.46]

Пример 1.2. Рассмотрим полную матричную алгебру из примера 1.1. Совокупность элементов (строка матрицы общего элемента) ... [c.48]

Единственными элементами центра полной матричной алгебры являются матрицы, кратные единичной, т, е. Л. , а 6 К. Действительно, если предположить, что существует матрица % = перестановочная с любым элемен- [c.48]

Теорема 1.18. Если полупростая матричная алгебра й ранга п раскладывается в прямую сумму т простые алгебр й = йх 4-+ 4-. .. 4- то ее элементы неособым преобразованием 8 [c.54]

Основные соотношения метода конечных элементов записываются в матричном виде с привлечением ряда операций матричной алгебры. Ниже приводятся сведения, необходимые для понимания дальнейшего изложения. [c.14]

Широкое применение нашел метод крупных частиц [3]. Метод конечных элементов используется при решении ряда задач аэрогидродинамики.- К преимуществам метода можно отнести то, то с его помощью граничные условия вычисляются автоматически. При решении сложных задач построение и изменение сеток является трудоемким. При алгоритмизации задачи используется достаточно сложная матричная алгебра, что обусловливает трудности лри построении алгоритмов. [c.126]

Наиб, важными примерами ГЛ являются Г, GL (п, R) всех невырожденных (обратимых) га х матриц с веществ, элементами и Г. GL ( , С) всех невырожденных пх матриц с комплексными элементами. Координатами в этих Г. могут служить сами матричные элементы. Поэтому GL(n, К) —это веществ. ГЛ размерности п , а GL n, С)—комплексная ГЛ размерности п (к-рую можно рассматривать как веществ. ГЛ размерности 2п ). Алгеброй Ли группы GL (п, R) [соответственно GL (п. С)] является пространство всех пхп матриц с веществ, (соответственно комплексными) элементами. Она обозначается через (п, R) [соответственно 1 (и, С)1. [c.543]

Понятие Л. а. возникло в связи с изучением групп Ли, т. к. элементы группы Ли можно представлять в виде экспонент от элементов Л. а. (см. Группа). Если группа Ли реализована как группа матриц, то соответствующая ей Л. а. также является матричной. Это значит, что каждый элемент алгебры является матрицей, а операция коммутирования определяется как обычный коммутатор [XY = XY—YX. [c.583]

Общие определения. Базис рассмотренных в 1.5 неприводимых представлений полупростых алгебр Ли задавался своим старшим (младшим) элементом, из которого остальные элементы базиса получаются применением понижающих (повышающих) операторов, построенных из корневых векторов, с последующим выделением линейно-независимых взаимно ортогональных компонент. В принятых ранее обозначениях матричные элементы конечных преобразований группы О записываются в виде а Т ( ) > или <а 6>, где групповой элемент берется в соответствующем представлении. Для дальнейших приложений нам потребуются матричные элементы между старшими базисными бра- и кет-векторами, т. е. [c.67]

Выражение старших векторов через матрицу присоединенного представления. Старшие векторы неприводимых представлений могут быть представлены в виде алгебраических функций от определенных матричных элементов присоединенного представления ap = Sp( ag 3g ), где И 3 — корневые векторы соответствующей алгебры. [c.68]

Из рассмотренных примеров алгебр 2-го ранга вытекает общая схема построения скалярной пары произвольного 1-го представления размерности /V/ алгебры . Производные произвольного порядка волновой функции /-го представления линейным образом выражаются через /V матричных элементов группового элемента д, взятого между базисными векторами представления <л него старшим вектором, < />. При этом коэффициентами пропорциональности являются однородные (по степени производных) полиномы от неизвестных р/, входящие в выражение для многокомпонентной пары (1.3). Таким образом, все матричные элементы п д 1 могут быть выражены в виде линейной комбинации волновой функции и ее производных вплоть до N1—1)-го порядка включительно (как по отношению к дифференцированию по 24-, так и по 2 ). [c.199]

В шредингеровском представлении волновые функции являются матричными элементами основной непрерывной серии унитарных представлений некомпактных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли, взятыми между состояниями с определенными квантовыми числами (обобщенными векторами Уиттекера). В тр же время наличие гамильтонова формализма для рассматриваемых систем (V. 3.1) позволяет, как и в классическом случае (см. V. 3), применить обычные методы теории возмущений. При этом первый член в гамильтониане (III. 2.14) играет роль свободной части, тогда как второй, снабженный множителем л, описывает взаимодействие в системе с постоянной X. В полной аналогии с классическим рассмотрением ряды теории возмущений также оказываются конечными полиномами по X и воспроизводят точное решение соответствующей системы. Используемые построения существенным образом основываются на теории представлений алгебр и групп Ли и для одномерного случая окончательные результаты формулируются полностью в их терминах. [c.229]

Определитель матрицы [С] раиен шести объемам тетрачдра. Элементы матричной алгебры, необходимые при использовании правила Крамера, изложены, например, в книге Зенкевича [5]. [c.41]

В книге изложены новые методы расчета сооружений, механизмов, узлов и деталей комплексных буровых установок с использованием матричной алгебры, теории графов и ЭЦВМ приведены машинные расчеты механических трансмиссий и их элементов, методы расчета нагрузок на вышки буровых установок, а также расчет усилий в стержнях вышек и оснований, статически неопределимых балок с одно- и двусторонними связями, круглых и кольцевых пластиц и цилиндрических оболочек. Для всех методов расчета даны подробные алгоритмы, блок-схемы и программы. [c.150]

В приведенной выше программе, основанной на матричном методе расчета, в отличие от эталонного языка АЛГОЛ-60, не имеющего матричных обозначений, применены для матричных операций элементы АЛЬФА-системы программирования [14] (выделены курсивом) векторы и матрицы обозначаются с помощью индексных скобок с пропущенными индексами матричные операции сложения, умножения и обращения записаны, как для скалярных величин. Программа в приведенном виде предназначена для ЭЦВ]И с АЛЬФА-траслятором, например типа БЭСМ-4 или М-220. При использовании ЭЦВМ с другими трансляторами должны быть применены соответствующие им операции либо стандартные программы матричной алгебры. [c.101]

Многие сложные двулучепреломляющие оптические системы, такие, как широкоугольные электрооптические модуляторы [1], светофильтры Лио [2—5] и светофильтры Шольца [6, 7], используют прохождение света через последовательность поляризаторов и фазовых пластинок. Действие каждого такого элемента (поляризатора или фазовой пластинки) на состояние поляризации распространяющегося света нетрудно рассчитать и без применения матричной алгебры. Однако, в случае когда оптическая система состоит из многих таких элементов, каждый из которых ориентирован под разным азимутальным углом, расчет всей оптической системы оказывается весьма сложным. Существенно упростить его позволяет лишь применение определенного систематического подхода. Исчисление Джонса, предложенное Р. Джонсом в 1940 г. [8], представляет собой мощный матричный метод, в котором состояние поляризации задается двухкомпонентным вектором (см. разд. 3.4), а каждый оптический элемент описывается матрицей 2x2. Общая матрица полной системы получается перемножением всех таких матриц, а состояние поляризации распространяющегося света вычисляется как произведение вектора, определяющего поляризацию входного пучка, на общую матрицу. Сначала в данной главе мы изложим математический формализм матричного метода Джонса, а затем используем его для расчета некоторых двулучепреломляющих фильтров. [c.132]

Для записи матрицы М любого анизотропного элемента в новой системе координат, оси которой повернуты относительно старых осей на угол 0, достаточно выполнить известную из матричной алгебры операциюM =S(—0)MS(0). Здесь 5(0)—матрица поворота, имеющая такой же вид, как матрица вращателя плоскости поляризации (п. 4 табл. 9, верхние знаки у sin0). [c.87]

Следовательно, коэффициенты стандартизированного уравнения регрессии (7.28) О/ определяются решением системы уравнений (7.34). Процесс нахождения, коэффициентов уравнения регрессии удобно выполнять, используя приемы матричной алгебры. При этом соотношения между Гух1 и Я определяются корреляционной матрицей, элементам которой являются коэффициенты при [c.329]

Чтобы получить выражение для т-го элемента столбца (то = 1,2,3,4) в левой части, необходимо по правилам матричной алгебры элементы крайнего столбца в правой части последовательно умножить на соответственные по номерам элементы т-й строки матрицы и результаты сложить. Для примера читатель иожет получить из (8.26) выражение (8.25). [c.41]

Определение 1.3. Матричную алгебру назовем вполне приводимой, если существует постоянная неособая матрица 5, которая одновременно приводит все базисные элементы Лхг -ч алгебры ранга h к квазидиагональному виду [c.46]

Теорема 1.12. Нолупростая матричная алгебра с элементами в виде матриц п-го порядка допускает представление матрицами к-го порядка, к <2 п, тогда и только тогда, когда главная единица 0. представимая матрицей п-го порядка, имеет ранг к. [c.52]

Таким образом, газовый тракт без разветвлений моделируется набором простейших элементов — цилиндрических участков и местных сопротивлений. Разбиение на участки производится так, что отклонения параметров потока на выходе /-Г0 участка равняются отклонениям тех же параметров на входе следующего, (/+1)-го участка. Для определения матрицы всего тракта, состоящего из п участков, используется формула перемножения матриц типа формулы (2.8.16). В ЧИСЛО участков необходи ю включать и крайние элементы тракта. Уравнения этих элементов записываются в форме шестиполюсников, в которых учитываются граничные условия (см. разд. 6.2). В этом случае полученное матричное уравнение образует замкнутую систему алгебраических уравнений, описывающих частотные характеристики газового тракта. Если тракт имеет разветвление, то, используя аппарат матричной алгебры, несложно построить его математическую модель в частотной области. [c.236]

Для определения алгебры Ли пользуются матричной реа.тнзацпей (линейным представлением) Г. пусть каждый элемент g группы G представляет собой матрицу (или, что то же, линейный оператор в конечномерной линейном пространстве). Элемент g характеризуется набором числовых параметров (координат на Г.), g = = g(x , х"). Условимся выбирать эти параметры так, чтобы единице Г. соответствовали нулевые значения параметров, e = g(0,. .., 0). Тогда и н ф и н и т е-зймальным оператором (генератором) Г. G наз. производная от ф-ции g по одному из параметров, взятая в единице Г. = [c.543]

Экспоненциальное отображение алгебры Ли в ГЛ G определяют так ехр X — я (1), где г ( )—однопараметрич. подгруппа, соответствующая элементу X. Для матричных ГЛ отображение ехр сов- [c.543]

Поэтому удобен т. в. инфинитезимальный ire д х од, когда исследование П. г. сводят к исследова-йй представлений их алгебр. Каждому элементу У Из алгебры Ли А группы Ли G ставится в соответствие оператор ad (У) = [У, X], для любого X ш А. Т. к. из юждества Якоби следует, что ad ([У, X]) = (ad(y), d(i)J,, то операторы, аД(У) образуют представление 11ИЕ1гебры А. Это представление наз. присоеди- гЦ.Вным представлением алгебры Ли. щт Xj,.,., Х — базис алгебры А, то матричные эле- ищт операторов ad(X /) в этом базисе совпадают со структурными константами алгебры Ли (ad(X()) = [c.103]

Для построения матричных элементов конечных преобразований присоединенного представления группы Ли О введем пространство, дуальное линейному пространству алгебры ,, с образующими X , причем (Х , Хь) = баь- Поскольку Ха — числовые Ny N матрицы, то и X можно представить матрицами той же размерности, а скалярное произведение (X , Хь) определить как след произведения этих матриц, т. е. X , Хь) 5р Х Хь). В этих обозначениях матричные элементы произвольного преобразования с заданным групповым элементом g записываются [c.57]

Для них может быть получено явное выражение, полностью определяемое структурой матрицы Картана соответствующей алгебры Ли. Действительно, из условий (5.22) вытекает, что эта форма (матричный элемент) отлична от нуля лишь при и = 1 = 1 и = 10(1), 1 5 /п, где со — любая перестановка чисел от 1 до т. Обозначим через 5( наименьший элемент из набора 1.....т), при котором 5 —/щПусть / — [c.62]

В конечном счете нас интересуют вполне определенные матричные элементы до, тогда как приведенные выше формулы для членов ряда теории возмущений содержат соответствующие величины, взятые между произвольными состояниями исходной алгебры . (В свою очередь, искомый элемент до возникает в результате экспоненциирования подалгебры о алгебры Ли . При этом входящие в формулы типа (2.6) кратные коммутаторы элементов / (/г ) и /+(/г+) подпространств 1 и +1, соответственно, таковы, что они принимают значения в ос= о.) Рассмотрим состояния, которые аннулируются под действием элемента /+, /+1> = 0, и, соответственно, < / = 0. Тогда разложение (2.2) для решений системы (2.1) (в смысле указанных матричных элементов) представимо в виде [c.180]

В ортонормированном базисе в R" матричные элементы оператора а Ab задаются формулой (а Л b)ij=a j—ajbi. На алгебре % = (п) кососимметрических матриц имеется положительно определенное скалярное произведение <1. Л> = — 2 Чг( -т]) (где I-Г) —произведение матриц), отличающееся постоянным множителем от билинейной формы Киллинга ( , T])x = tr(ad ad,,) = (n —l)tr(E-T]). Скалярное произведение < , t]> отождествляет g с g. При таком отождествлении adjjg = — [т], I] = — ad (где лёд, 1 й = й)- Легко проверяется, что для а, Ь С R", igg [c.318]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...