Преобразование из локальных координат в глобальные

Все объемные и поверхностные интегралы, необходимые при вычислении недиагональных блоков из уравнения (4.47), могут быть определены при помош,и различных формул численного интегрирования, рассмотренных ранее (см. разд. 4.4.2). Диагональные блоки матрицы G, а в некоторых случаях (как указано в предыдущем параграфе) и матрицы F должны определяться при помощи разбиения интегралов на две части, как показано в разд. 4.4.2. Включающие постоянную часть базисной функции интегралы вычисляются с помощью введения локальной системы координат, показанной на рис. 4.6, с последующим (описанным выше) преобразованием результатов к глобальной системе координат. Поэтому для точки поля внутри области (результаты для точки поля, как угодно близкой к граничному узлу, получаются так, как показано на рис. 4.7) имеем [13] [c.120]

До сих пор в данной книге все результаты выражались через локальные касательные и нормальные компоненты смещений и усилий вдоль заданной границы. Однако в большей части литературы методы граничных элементов формулируются в терминах глобальных компонент х, у этих величин, т. е. щ = [и , Uy) и = = ( ж, ty). Связь между локальной и глобальной формулировками метода граничных элементов легко установить, используя простые формулы преобразования координат. Например, используя соотношения [c.129]

Соотношения (8.2) преобразования координат и асе последующие теоремы в равной степени справедливы для любой системы локальных координат. В частности, с их помощью координаты Ь], и,, введенные в предыдущей главе для треугольников и тетраэдров, можно связать с глобальными декартовыми координатами. [c.157]

Преобразование к глобальным координатам (которые будем обозначать через х, у, г в отличие от локальных координат х, [c.235]

Кроме того, координаты узлов удобнее задавать в глобальной системе, а затем переходить к локальным координатам, т. е. осуществлять обратное преобразование. К счастью, все преобразования достаточно просты. [c.236]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТ В ГЛОБАЛЬНЫЕ [c.216]

Однако теперь функции формы в (4.37) определены в локальной системе координат в соответствии с соотношениями (4 29)—(4.31) или (4.28) и вычисление производных по глобальным координатам требует предварительных математических преобразований. Эти преобразования аналогичны тем, которые были проделаны ранее в случае одномерного элемента, и необходимы для установления связи между производными функций форм по глобальным координатам и производным тех же функций по локальным координатам. [c.76]

Здесь преобразование производных функции форм по глобальным координатам в производные по локальным координатам осуществляется в соответствии с (4 38)—(4.40). [c.98]

Для того чтобы осуществить связывание модели и дать описание аппроксимирующего поля в системе глобальных координат, введем другие системы локальных координат (С = 1, 2, 3), совпадающие с Х Это означает, что в каждом элементе оси параллельны осям X, а начала всех систем Х(е) совпадают с началом системы X. Локальные координаты Х(е, и связаны между собой преобразованиями [c.56]

Удобно считать, что точки в — это наборы из к глобальных координат Х (I = 1, 2,. . ., к), которые связаны с локальными координатами (I = 1, 2,. . е = 1, 2,. . ., Е) посредством преобразования [c.61]

Здесь предполагается, что преобразования от локальных координат к глобальным уже осуществлены. Будучи разрывными, глобальные напряжения T — T (X, 1) не принадлежат конечномерному подпространству Ф или его сопряженному Ф, порождаемым глобальными базисными функциями Фд (X) или Ф (X) соответственно. нако легко можно вычислить проекцию = ПГ напряжения на сопряженное пространство Ф [c.279]

Длина ij-ro стержневого элемента и матрицы преобразований С и [С) ] от локальной системы координат этого стержневого элемента к глобальной системе координат вычисляются с помощью процедуры [c.85]

В заключение отметим еще два обстоятельства, связанные с формированием матрицы жесткости конструкции. Часто описание деформирования элемента удобно выполнять в некоторой местной системе координат. Если обобщенные перемещения узлов в локальной системе координат qY связаны с обобщенными перемещениями узлов в глобальной системе координат линейным преобразованием [c.106]

Во всех случаях мы будем пользоваться локальной системой координат (рис. 3.6, а) с началом, как правило, в нашей точке наблюдения хР. При введении единичного вектора П (х) мы каждый раз будем предполагать, что он преобразован из глобальной системы координат в локальную. [c.77]

Если мы рассмотрим точки, заданные их координатами Х в глобальном декартовом пространстве (X) и координатами С в локальной криволинейной системе координат, связанной с пространством (Z) той же самой размерности, то х, будут функциями Xt = = f ii i, 2, Сз) и, наоборот, Q =gi xi, х , Хз). Подобные уравнения преобразований записываются обычно в сокращенной форме Xi = Xi(Q и j EES i(x) при этом дифференциальные компоненты линейных элементов в X и Z будут связаны соотношениями [c.207]

Смещения и напряжения в произвольной точке (х, у) можно найти, вычисляя координаты х, у этой точки по (4.5.1) и используя затем (4.5.4)—(4.5.7). Эти смещения и напряжения связаны с локальной системой координат и потому неудобны для общих вычислений. Однако, используя формулы преобразования, данные в 2.8, результаты можно представить в глобальной системе координат. Тогда подстановка (4.5.6) в (2.8.1) дает [c.64]

Это требование усложняет ввод исходной информации о координатах узлов элемента. Если координаты узловых точек измеряются относительно глобальной системы координат, то для вычисления координат узлов в локальной системе координат необходимо выполнить преобразование координат. Включение преобразования координат в программу обычно несложная задача, но она требует использования некоторых приемов для того, чтобы указывать [c.151]

Зная основные свойства упругого поведения конечного элемента или конструкции в локальной системе координат, можно легко осуществить преобразование сил и перемещений к глобальной системе координат. [c.40]

Образовавшаяся после выполнения операций на шаге 5 система уравнений решается относительно неизвестных степеней свободы. Внутренние силы, действующие в узлах элемента, определяются в результате подстановки найденных значений степеней свободы в соотношения, связывающие силы и перемещения в элементе. Нахождение указанных величин может потребовать преобразования глобальной системы координат в локальную систему координат с последующим вычислением напряжений. [c.74]

Далее следует отметить, что использование матриц жесткости элементов в глобальной системе координат приводит к тому, что ненулевые элементы матрицы [А равны единице. Построенная таким образом матрица называется булевой матрицей, и очевидно, что структура матрицы обусловливает высокую эффективность вычислительных алгоритмов перемножения матриц согласно (3.19). Если матрица жесткости элемента записана только в координатах, связанных с эле.ментом, то соотношения (3.14) трансформируются, причем используется преобразование от локальной системы координат к глобальной. В этом случае элементы матрицы [А не обязательно строго равны единице и матрица [Л] не имеет вид булевой матрицы. В худшем случае, однако, [А — разреженная матрица с коэффициентами, равными единице, с направляющими косинусами и линейными размерами. Более того, как показано в разд. 7.1, [c.82]

Для вычисления матриц необходимо сделать два преобразования. Во-первых, поскольку Ыг заданы в локальных (криволинейных) координатах, необходимо каким-либо образом выразить глобальные производные, входящие в (8.14), через локальные производные. [c.155]

Само по себе уравнение такого типа ие вносит особых трудностей (хотя в вычислительной программе может привести к ошибочным результатам). Однако еслн направления глобальных и локальных осей координат отличаются, то после соответствующего преобразования получаются шесть на первый взгляд корректных уравнений. Эта система будет особенной, ибо она содержит равенство (11.16), умноженное на действительные числа ). [c.238]

Как показано в предыдущих главах, часто бывает удобным получать уравнения для элемента в локальной системе координат н затем преобразовывать их в глобальную систему. В таких случаях важно, чтобы элементы обладали геометрической изотропией, иначе преобразование может нарушить ранее удовлетворенные, условия сходимости. [c.179]

Первая заключается в том, чтобы перенести начало координат в центр тяжести (хо, г/о) треугольника е. Белл в [23] называет полученную систему координат локально-глобальной. Так как преобразование линейно, полином сохранит пятую степень по новым переменным X = х — Хо, V = у — уц [c.114]

Пример 7.2. Преобразования локальных координат. Как видно из предыдущего примера, введение системы локальных координат часто является лишь формальностью, призванной подчеркнуть тот факт, что при построении локальных аппроксимаций / е) (х) отдельные конечные элементы рассматриваются независимо от других. Часто модели можно строить, используя одни и те же координаты и в глобальных и во всех локальных системах, и вся разница между ними — формальная разница в обозначении локальных и глобальных узловых точек. Однако в некоторых случаях использование систем локальных координат, отличных от глобальных, имеет существенное значение. Как правило, эти случаи характеризуются тем, что окончательная конечноэлементная модель представляет собой ансамбль конечных элементов некоторой размерности, вло)аднных в пространство более высокой размерности, скажем локальные поля/(е) (х) определены в пространстве размерности ге, а окончательная модель — в пространстве размерности А > ге. Одним из примеров такого типа является трехмерная ферма, состоящая из брусьев, локальное поведение которых может быть описано одномерными функциями. Локальные системы используются также в тех случаях, когда ориентация или расположение элемента в связанной модели либо его форма таковы, что введение локальных систем облегчает построение функций (х). [c.55]

Полученные матрица и вектор реакций для прямоугольного элемента записаны в локальной системе координат О хуг, так как компоненты обобщенных узловых усилий выражены в этих локальных координатах. Для составления разрешающей системы уравнений метода перемещений (4.8) необходимо произвести соответствующее преобразование к глобальным координатам Oxix x . [c.158]

Конечные и граничные элементы могут иметь различную форму и размеры, а поверхности, ограничивающие эти элементы, могут быть криволинейными. Хотя криволинейные неплоские граничные элементы определяют главные черты метода граничных элементов, удобнее все-таки использовать элементы стандартного вида, т. е. такие, поверхности которых совпадают с координатными плоскостями локальной системы координат. Математически это означает, что следует установить отображение между локальными координатами г (, в которых элемент имеет простой вид, и глобальными где конечный элемент представляет собой более сложную фигуру. Этозначит, что локальные координаты T)j. должны быть функциями глобальных (t] (лг , х , х ), и наоборот Xi (tij, rig, г)з)). Для того чтобы эти отображения были взаимно однозначны, необходимо и достаточно, чтобы якобиан преобразования был отличен от нуля , [c.145]

Из равенства (5,7) видно, что в матрице Тс узловые параметры записаны в локальной системе координат Теперь необходимо произвести преобразование их а глобальную систему Оху. Связь между первыми произаодными в глобальной и локальной системах, установленная в гл, 2, имеет вид [c.109]

Упражнение 5.1. В разд 5.4 было показано, что связанные эквивалентные условия Дирихле заданные в глобальных координатах) могут быть учтены подходящим изменением элементной матрицы к после ее Получения в глобальной системе координат. Данное упражнение показывает, что те ж самые условия (яо записанные в локальных координатах) могут быть введены до преобразования элементной матрицы к из локальной системы в глобальную, [c.122]

Когда мы в рассмотренном выше примере с лифтом переходим от локально инерциальной (сопутствующей кабине лифта) системы к системе, связанной с Землей, находящееся в лифте тело приобретает ускорение, обусловленное полем тяжести при этом в новых координатах квадрат интервала ds представляется в форме (68). Основополагающая идея Эйнштейна заключается в том, что отличие составляющих метрического тензора rs ) от brs объясняется полем тяготения, которое, таким образом, делает геометрию иространственно-временного континуума римановой геометрией. Если ири этом тензор grs) таков, что вычисленный по нему тензор кривизны обращается в нуль в протяженной области иространственно-временного континуума, то в этой области существуют такие координаты (л -), в которых квадрат интервала допускает представление (66). В исходной системе координат (x,j составляющие тензора (grs) характеризуют тогда специальное поле тяготения, называемое полем сил инерции. Может случиться, однако, что тензор кривизны не обращается в нуль в протяженной области пространственно-временного континуума, — в этом случае составляющие тензора (grs) определяют истинное поле тяготения, созданное распределенными в этой области материальными телами. Истинное поле тяготения нельзя устранить во всей области никаким преобразованием координат, которого в этом случае попросту не существует. В этом заключается фундаментальное отличие истинных полей тяготения от полей сил инерции эти поля эквивалентны только локально ( в малом ), но отнюдь не глобально ( в большом ). [c.477]

Локальные С, Бели параметры преобразований для глобальных С. можно рассматривать как произвольные ф-ции пространственно-временных координат, то говорят, что соответствующие С. выполняются локально. Предположение о существовании локальной С. позволяет иосгроить теорию, в к-рои сохраняющиеся (благодаря наличию глобальной С.) величины (заряды) выступают в качестве источников особых калибровочных полей, переносящих взаимодействие между частицами, обладающими соответствующими зарядами. Поскольку во всякую динамич. теорию входит обобщённый импульс, оператор к-рого — 1д д при дейст- [c.508]

Известно, что сингулярность типа l/V распределения относительных деформаций вблизи фронта трещины, находящейся в линейно-упругом теле, может быть введена в конечные элементы, примыкающие к фронту, следующими способами (1) допускается существование сингулярности типа 1л/г матрицы d ildxk, обратной к матрице Якоби преобразования глобальных декартовых координат xi, 1,2,3) к локальным криволинейным координатам (Ik, й= 1,2,3), или (2) допускается сингулярность типа l/V производной duijd k от перемещения щ и одновременно с этим принимается, что матрица d kjdxj, обратная к матрице Якоби, несингулярная, или (3) используется комбинация подходов (1) и (2). Ниже мы опишем известные по публикациям сингулярные элементы, использованные для решения практических задач трехмерной механики разрушения. [c.183]

Треугольные элементы. Для получения матрицы и вектора реакций р-го треугольного элемента в общем случае нагружения (при плоском напряженном состоянии и изгибе) вычисляют геометрические параметры элемента и матрицу преобразований при переходе от локальной системы координат элемента к глобальной с пом ощью процедуры PR S [c.111]

Плоские вращения структурного элемента. Пусть Лapvб — компоненты тензора эффективных жесткостей структурного элемента в локальной системе координат 1, 2, 3 и пусть относительно системы координат х, у, ) структурный элемент повернут в плоскости х, у) на угол ср. Тогда в соответствии с законом преобразования компонент тензора четвертого ранга [68, 75] эффективные жесткости структурного элемента Ацы в глобальной системе координат композита выражаются в виде [c.34]

Существуют различные методы построения криволинейных элементов. На практике наибольшее распространение получил способ отображения первоначально регулярных (прямосторонних) элементов при помощи невырожденного преобразования из локальной (ествст-венкой) системы координат в глобальную. При построении модели прокатки для обеспечения квадратичной аппроксимации скорости и линейной гидростатического давления использовались криволинейные лагранжевы элементы с девятью узлами. Квадратичные функции формы для них в естественной системе координат I, Т1 могут быть получены перемножением соответствующих одномерных функций формы [c.289]

В случае задания механических характеристик, внешних сил и перемещений узлов отдельных элементов pq в локальной системе координат г1о , отличной от глобальной системы roz, левые и правые части уравнений (11.20) — (11.24) подвергаются дополнительным контрградиентным преобразованиям вида [70] [c.24]

В 9.6 было показано, что всегда можно ввести такие локальные системьь координат 5 (Р) или 5 (Р), в которых метрический тензор в произвольной точке Р или даже в малой окрестности Р имеет частную релятивистскую форму. Кроме того, в 9.9 мы видели, что можно выбрать также систему 5, в которой имеет заданную величину в окрестности любой заданной времениподобной кривой. Исследуем теперь возможность развития этой идеи до глобального уровня или, по крайней мере, на конечную область пространства — времени. Поскольку общее координатное преобразование [c.246]

Альтернативным к вышеизложенному подходу служит подход, в котором элементы матриц жесткости и напряжений формируются непосредственно в терминах, соответствующих локальным системам координат. Это вносит определенные трудности при учете входных данных, так как условия закрепления задаются в узлах, а не на элементах тем не менее процедура компактна и эффективна. Построение глобальной матрицы жесткости н другие операции осуществляются обычным путем. Однако требуются иные операции дл> включения всех указанных выше преобразований в узлах в единую глобальную матрицу преобразований. Этот подход алгоритмически прост, но оказывается э(Й>ективным лишь в том случае, когда в рассмотрение включено большое количество узлов всей конструкции. [c.102]

Как известно, симметрией какой-либо теории называется инвариантность ее уравнений относительно некоторых специальных преобразований. Широко известны лоренц-инвариантность, изотопическая инвариантность и др. При этом обычно предполагается, что симметрия имеет глобальный характер, т. е. параметры преобразования (скорость при лоренц-преоб-разованиях, параметры изотопического поворота) не зависят от координат и времени. Если, однако, параметры преобразования зависят от координат и времени и тем не менее инвариантность теории имеет место, то такая симметрия называется локальной. Естественно, что в этом случае сохранение инвариантности теории можно обеспечить только за счет введения в нее некоторых новых компенсирующих (калибровочных) эффектов. Так, например, глобальная лоренц-сим-метрия нарушается, если скорость системы зависит от времени, однако, введя компенсирующее гравитационное поле, можно аолучить локальную лоренц-симметрию. Аналогично существует инвариантность уравнений квантовой механики относительно локального фазового преобразования волновой [c.362]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...