Методы линейного программирования Задачи двойственности

Конечные методы линейного программирования, в свою очередь, делятся на три класса, в зависимости от того, используется ли для достижения оптимального плана прямая задача, двойственная задача или обе задачи двойственной пары одновременно. Основным теоретическим результатом линейного программирования являются теоремы двойственности. Теория двойственности используется как для разработки эффективных численных методов линейного программирования, так и для качественных исследований линейных экстремальных задач. Интерпретация теорем двойственности в терминах различных экономических задач оказывается эффективным средством экономического анализа, направленным на наилучшее использование ресурсов. [c.165]

Преобразование статической теоремы, аналогичное рассмотренному выше [10, 11, 21, 22], в дальнейшем было предложено также авторами работы [104] в связи с применением к решению задач приспособляемости методов линейного программирования. Здесь же на основании двойственности статической и кинематической теорем была получена и известная преобразованная формулировка кинематической теоремы (неравенство типа (2.5)). [c.17]

При расчете двумерных и трехмерных конструкций, а также стержней при комбинированном действии силовых факторов применение методов линейного программирования возможно лишь при кусочно-линейной аппроксимации поверхностей текучести. Соответствующие методы расчета применительно к задачам приспособляемости были развиты сравнительно недавно. Общие вопросы, связанные с их применением, рассматривались в работах [10, 22, 24, 104, 164, 181]. Как и при расчетах одномерных стержневых систем, задачи, полученные на основе статической и кинематической теорем, образуют двойственную пару задач математического программирования [72, 109]. Конкретные примеры расчета осесимметричных пластин и оболочек методами линейного программирования даны в работах [10, 22, 66]. Здесь для получения дискретной модели конструкции использовались конечные суммы, рассматривались также вопросы точности вычислений. Расчету тонкостенных сосудов посвящены работы [126, 131], в первой из них (в отличие от [22, 66]) распределение остаточных напряжений было принято пропорциональным двум параметрам. [c.38]

Из рассмотренного примера видно, что применение метода геометрического программирования для решения подобного типа задач приводит к значительным упрощениям при проведении расчетов, так как сводит задачу к решению системы линейных уравнений, полученных из двойственных ограничений. Следует обратить внимание на то, что минимум функции то( ) был определен до нахождения минимизирующего вектора Г, поскольку максимизирующий вектор б двойственной функции был уже найден, и это показывает его важность. В данном случае, [c.227]

Двойственной к задаче (17.5), (17.6) является полубесконечная задача линейного программирования с континуумом ограничений [66, 112]. Поэтому методы решения последней задачи можно рассматривать как двойственные методы решения базовой задачи. [c.163]

Двойственный метод также относится к конечным методам линейного программирования. Он представляет не что иное, как симплекс-метод (метод последовательного улучшения плана), примен-енный к решению двойственной, задачи. Вычислительная процедура формулируется в терминах прямой задачи. Каждый шаг уточняет план двойственной задачи. Каждый из опорных планов двойственной задачи можно рассматривать как приближенную систему оценок условий прямой задачи (отсюда название — метод последовательного уточнения оценок). Вектор г — опорный план г/ = У < , ytn) двойственной задачи. [c.166]

Экономико-математические методы прошли несколько этапов развития. На смену детерминированной постановке максимально решабельных линейных задач пришла концепция черного ящика , учитывающая нелинейность зависимости его выходных параметров от входных, которую в настоящее время вытесняют попытки раскрыть механизм их взаимосвязи. При этом каждая последующая методика использует наиболее ценные элементы предшествовавших ей. Так, из методов линейного программирования практическую ценность представляют не столько конкретные оптимальные решения, сколько концепция двойственности и вытекающие из нее оптимальные оценки. Из кибернетической теории наибольшее распространение получили методы факторного анализа и планирования эксперимента, позволяющие выявлять зависимости между основными параметрами производства. [c.96]

Общие методы решения соответствующих задач получили развитие в ряде работ А. А. Чираса и его сотрудников. Основные результаты этих работ приведены в монографиях [70, 71, 74]. Здесь для проектирования рам минимального веса было применено линейное программирование, детально исследованы особенности различных его алгоритмов, широко использована двойственность задач, сформулированных на основании статической и кинематической теорем. Применение методов математического программирования к задачам ироекти- [c.44]

При расчетах предельных нагрузок в конкретных за- дачах широкое применение нашел метод линейного про- граммирования. Впервые на возможность применения этого метода для жесткопластических сред было указано в [95]. Сущность этого вычислительного метода состои1 в том, что уравнения равновесия для напряжений с помощью конечных разностей заменяются линейной системой алгебраических уравнений, а нелинейное условие текучести аппроксимируется системой линейных неравенств. Таким образом, возникает стандартная задача линейного программирования — ищется максимум линейной формы (в данном случае т ) при наличии серии ограничений в виде линейных равенств и неравенств. Аналогичный переход к конечномерной задаче линейного программирования можно осуществить и для кинематической постановки. При этом дискретизация в этих двух задачах может быть выбрана так, что соответствующие задачи линейного программирования двойственны. [c.60]

В последнее время этот метод расчета получил широкое распространение [96—105]. Однако следует иметь в виду, что получаемые с его помощью значения коэффициента предельной нагрузки, вообще говоря, могут заметно отличаться от истинного коэффициента предельной нагрузки в исходной задаче, хотя оценка сверху и снизз экстремального значения линейной формы в двойственных задачах линейного программирования могут быть очень близкими. Это связано с тем, что не установлена оценка отличия истинного коэффициента предельной нагрузки от рассчитываемого при переходе к дискретной постановке задачи. В частности, поля скоростей и напряжений в исходной задаче часто бывают разрывными и аш нроксимация их конечными разностями может оказаться недостаточно точной. [c.60]

Значительно подробнее разработаны численные методы решения задач приспособляемости с помощью, аппарата математического программирования (главным образом, линейного). Для их использования необходимо получение соответствующих дискретных математических моделей, что дбстигается заменой дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений и наложением ограничений на переменные в конечном числе узловых точек. Такой подход реализуется проще всего при расчете стержневых систем (фермы, рамы), при условии что ограничения на величины внутренних усилий имеют вид линейных неравенств, а выражения для определения пластической диссипации соответственно линейны относительно неизвестных скоростей (приращений) деформации. При выполнении расчетов используются различные варианты прямого и двойственного симплекс-методов [70, 71, 74, 95, 152 и др.], методы определения чебышевской точки системы линейных неравенств [37] и другие вычислительные схемы и алгоритмы. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...