Проективная двойственность

Преобразование Лежандра — вспомогательный математический прием, состоящий в переходе от функций на линейном пространстве к функциям на сопряженном пространстве. Преобразование Лежандра сродни проективной двойственности и тангенциальным координатам в алгебраической геометрии яли построению сопряженного банахова пространства в анализе. Оно часто встречается в физике (например, при определении термодинамических величин). [c.59]

Примеры. 1. Преобразование Лежандра гиперповерхность в проективном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразия. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость). Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проективно двойственную исходной. [c.452]

Проективно-двойственная поверхность имеет ребро возврата в точках, соответствующих Пз,2 и Пз,з, и ласточкин хвост в-точках П4.2. [c.47]

Проективная двойственность. Поверхность, проективно двойственная данной гиперповерхности проективного пространства, состоит из касательных гиперповерхностей исходной поверхности, рассматриваемых как точки двойственного проективного пространства. [c.98]

Теорема. Гиперповерхности, проективно двойственные типичным гладким гиперповерхностям в пространстве измерений, локально диффеоморфны дискриминантам евклидовых групп отражений Ап, Оп, Еп- Эти особенности устойчивы. - "Пример. Особенности кривы х и поверхностей -двойственных типичным гладким, устойчивы и те же, что и для эквидистант кривых на плоскости и поверхностей в пространстве (рис. 44 и 45). [c.98]

Причина график преобразования Лежандра проективно двойствен графику исходной, функции (при естественном пополнении аффинных пространств до проективных). Поэтому особенности графика преобразования Лежандра гладкой функции лежандровы (откуда и происходит термин). [c.99]

Замечание. Подобные рассуждения доказывают аналогичную теорему для полных флагов (состоящих из проективных пространств произвольных размерностей). Эта теорема двойственности является основой проективной двойственности кривых в проективном пространстве Р" (двойственная кривая лежит в Р" и состоит из соприкасающихся гиперплоскостей исходной кривой, рассматриваемых как точки двойственного пространства. Она также является ребром возврата гиперповерхности, образованной всеми гиперплоскостями, касающимися исходной кривой). [c.65]

Индексы проективно двойственных кривых противоположны. [c.123]

Одним из классических примеров принципа перенесения является известный принцип двойственности в проективной геометрии на плоскости, на основании которого все рассуждения, относящиеся к конфигурациям с прямыми и точками, сохраняют силу, если в них точки заменить прямыми, а прямые — точками. [c.68]

Напомним, что двойственная проективная плоскость КР является множеством прямых в RP , а двойственная кривая 5 RP к кривой Ск есть множество прямых в RP касательных к S. Кривая, двойственная к двойственной, совпадает с исходной (см. [521). [c.142]

Пример 1 [Двойственность Лежандра). Рассмотрим пространство контактных элементов проективного пространства Р". Это пространство естественно изоморфно пространству контактных элементов дуального проективного пространства Р [c.64]

Раскрытый ласточкин хвост описывает также типичные особенности в теории двойственности кривых в проективном пространстве. [c.230]

Определение. Многообразие касательных гиперплоскостей (то есть гиперплоскостей, содержащих касательную прямую) кривой / в двойственном проективном пространстве называется фронтом лежандровой особенности / (для краткости, фронтом кривой /). Фронт является развёртывающейся поверхностью, ребро возврата которой — двойственная кривая /. [c.231]

Подмногообразие в проективном пространстве определяет лежандрово подмногообразие в пространстве контактных злементов объемлющего проективного пространства оно образовано контактными элементами, содержащими касательное пространство исходного подмногообразия. Пространство контактных элементов проективного пространства расслоено над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляем содержащую его гиперплоскость). Это расслоение является лежандровым (см. 3.1, рис. 35). Лежандрово подмногообразие, образованное контактными элементами, касающимися исходного подмногообразия, определяет лежандрово отображение в двойственное проективное пространство. Образ этого отображения (то есть множество касающихся исходного подмногообразия гиперплоскостей) является фронтом зтого лежандрова отображения. Для краткости будем называть его фронтом исходного подмногообразия. Лежандрово отображение называется фронтальным отображением (ассоциированным с подмногообразием). [c.233]

Замечание 2. В проективном пространстве рассмотрим поверхность с особенностью Я3. Для такой поверхности общего положения двойственная поверхность имеет особенность Я2. Однако, она может иметь особенность Я3. Это событие имеет коразмерность 1 (в проективном пространстве оно случается в типичных однопараметрических семействах поверхностей с особенностью Яз для некоторых отдельных значений параметра). [c.259]

На классификации критических точек функций основаны многие другие классификации в геометрии, физи>ке, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении и других областях анализа. В этой главе описаны некоторые из таких приложений геометрические (особенности гауссовых отображений, эквидистант, эволют, эвольвент, многообразий центров кривизны, гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, подэр и первообразных), оптические (каустики и волновые фронты, их перестройки, бикаустики), в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (бифуркации градиентных систем, т. е. теория катастроф Тома) и теории [c.96]

Причина, по которой особенности подэр лежандровы (точнее, диффеоморфны фронтам лежандровых отображений), состоит в следующем. Евклидова структура позволяет отождествить исходное пространство с двойственным. Это отождествление позволяет не различать и пополненные (проективные) пространства. Подэра — это образ гиперповерхности,, проективно двойственной исходной, при инверсии. Поскольку инверсия — диффеоморфизм (вне нуля и бесконечно удаленной. гиперплоскости), особенности подэры такие же, как у гиперповерхности, проективно двойственной исходной. [c.99]

Из этого замечания вытекает, что кривая, проективно двойственная типичной плоской кривой с точкой возврата порядка 5/2, имеет особенность зтого же типа (автодвойственная особенность). Это неверно для некоторых нетипичных кривых например, для нормальной формы , определённой уравнением у = х в аффинных координатах. Действительно, соответствующая лежандрова кривая касается слоёв второго канонического лежандрова расслоения РТ Р -Н- Р . [c.256]

Щербак О. П. Проективно двойственные пространственные кривые и лежандровы особенности. Тр. Тбил. ун-та 1982, 232—233, 280-336. [c.325]

Двойственные гиперповерхности 66 Двойственные проективные кривые 230 Дефект корневого дерева 149 Дефект футощи 148 Деформации скорости 178 Деформация 178 Джусти список кривых 170 Дискриминант особенности 97 Дискриминантная гиперповерхность 72 Дискриминантное многообразие 72, 82 Дисперсионное соотношение 276 Дифференцирование коммутативной алгебры 91 Длинный корень 177 Длинный элемент 177 Допустимое отображение 101 Допустимые отождествления 89, 91 Дынкина диаграмма 72 [c.331]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...