Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

Таким образом, движение неголономной системы определяется системой п- -т дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций 1,. i., причем эти уравнения разрешены относительно производных. Тогда задание начальных данных q, . .., qm, К однозначно определяет движение системы. Но с помощью этих начальных данных формулами (1) и (6) задаются совместимые со связями произвольное начальное положение и произвольные начальные скорости. Поэтому задание накального положения системы и начальных скоростей, не противоречащих конечным и дифференциальным связям, однозначно определяет движение неголономной системы. [c.72]

Зависимость функции W от старых координат qi определяется уравнением (9.20), которое является дифференциальным уравнением в частных производных и подобно уравнению Гамильтона — Якоби (9.3). Полный интеграл его опять будет содержать п независимых постоянных, одна из которых опять будет аддитивной. Остальные постоянные 2,. .., п могут вместе с 1 быть приняты за новые постоянные импульсы. Полагая в первой половине уравнений (9.21) / = О, мы можем связать п постоянных а с начальными значениями Qi и р,-. Наконец, разрешая равенства (9.22Ь) относительно qu мы можем получить их как функции at, Pi и t, чем и заканчивается решение задачи. Следует заметить, что при i ф 1 уравнения (9.22Ь) не содержат времени. Поэтому они позволяют выразить все координаты qi [c.309]

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и ранга п, т. е. систему состоящую из п уравнений с п неизвестными функциями X от одного независимого переменного t, мы сразу же будем предполагать, что система приведена к нормальному виду т. е. разрешена относительно производных [c.270]

Эту краевую задачу можно сформулировать в других терминах, перейдя от одного дифференциального уравнения порядка 2п к системе порядка 2п, состоящей из 2п дифференциальных уравнений, каждое из которых, будучи первого порядка, разрешено относительно производной от одной из искомых функций. Такая форма системы называется нормальной формой Коши. Разумеется,, что при указанном переходе подвергаются соответствующей модификации и граничные условия (12.202). Выполняется это следующим образом. [c.274]

Для возможности использования ЭЦВМ полученная система дифференциальных уравнений (см. выше) введением вспомогательных переменных была разрешена относительно производных первого порядка. Кроме того, поскольку t является зависимой [c.342]

Непосредственное решение системы уравнений (458) весьма затруднительно, поэтому она сводится к системе двенадцати дифференциальных уравнений нормального вида (каждое уравнение системы разрешено относительно производной). Каждое уравнение этой новой системы имеет первый порядок и, таким образом, общий порядок системы равен 12. Для удобства решения неизвестные, входящие в исходную систему (71), заменяются так, чтобы коэффициенты новой системы были безразмерными. Опуская промежуточные выкладки, не имеющие принципиального значения, приведем полученную систему и значения новых неизвестных. Полагая [c.354]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

С точки зрения механики уравнения (19.12) имеют особенность — они в каноническом виде, т. е. разрешены относительно производных дг, Рг- с точки зрения теории дифференциальных уравнений особенностью является то, что правая часть системы (19.12) определяется [c.79]

Второй алгоритм охватывает класс задач, связанный с неупругой деформацией оболочечных конструкций. На первый взгляд представляется, что учет физической нелинейности, обусловленной нелинейной зависимостью между напряжением и деформацией, не вносит принципиальных особенностей в реализацию алгоритма решения нелинейной краевой задачи. Однако в этом случае система исходных дифференциальных уравнений не может быть явным образом разрешена относительно производных от усилий и перемещений и представлена в нормальной форме. [c.5]

В аналитическом случае (когда гамильтониан Н является аналитической функцией на Р X Ж) теорема 16 есть простое следствие известной теоремы Коши—Ковалевской поскольку система дифференциальных уравнений (8.2) разрешена относительно производных дих/дЬ,, дпп/д1, то ее решения однозначно определяются значениями функций их,..., Пп при = о и существуют для достаточно малых величин . Их можно найти в виде сходящихся рядов по степеням [c.87]

Уравнения второго типа можно представить себе как частные случаи уравнения (4-3.12) для простой жидкости, когда функционал определяется при помощи одного или нескольких интегралов. Уравнения состояния как дифференциального, так и интегрального тина разрешены относительно тензора напряжений. Этого нельзя сказать об уравнениях состояния релаксационного типа. Действительно, они содержат по меньшей мере одну производную по времени от тензора напряжений. Скорость изменения (или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, дает название этому типу уравнений. [c.211]

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qj и скоростей qj, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение. [c.136]

Подставляя выражения для производных по 0 в (7.12) и требуя, чтобы получившиеся выражения тождественно удовлетворялись на каждом луче, получаем аппроксимирующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно Uk, Vh, ph, фй. Разрешая эту систему относительно производных по окончательно получаем [c.186]

Случай, когда дифференциальные уравнения (2), определяющие вспомогательные параметры и неголономные контактные связи, разрешены относительно р величин йд. Для того чтобы уравнения движения представлялись наиболее просто, полезно разрешить р уравнений (2) относительно р величин из общего числа к в = п р этих величин. Таким путем мы выразим, с одной стороны, р производных Яп+р Функ- [c.353]

Один из наиболее сложных вопросов при применении метода Бубнова—Галеркина — выбор системы функции т1 , удовлетворяющей как геометрическим, так и силовым граничным условиям. Представим вариант метода, позволяющий облегчить этот выбор. Положим, что дифференциальное уравнение (3.13) имеет одну переменную и разрешено относительно старшей производной [c.70]

Вернемся теперь к неоднородной системе (3.1.14) и разрешим ее относительно производных. Умножая обе части системы (3.1.14) на свертывая результат по индексу а и учитывая (1.1.26), (1.1.28), приходим к нормальной системе неоднородных дифференциальных уравнений [c.44]

Как уже было отмечено в 26, в первую очередь следует выяснить граничные условия, при которых изменяется режим истечения (докритический переходит в надкритический или наоборот), или же меняется направление течения в одном из дросселей. Затем проанализируем погрешности, связанные с линеаризацией исходных характеристик, при отклонениях от исходного статического режима, не выходящих за пределы указанных выше граничных их значений. В этой части можно обойтись, как показывается далее, без решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих истинный процесс изменения давления в камерах. Достаточно разрешить исходные дифференциальные уравнения относительно производных и сравнить определяемые значениями производных наклоны касательных к характеристикам истинного процесса и переходного процесса в линейной модели системы при заданных, одинаковых в обоих случаях отклонениях. [c.306]

Выражение (5.3) подтверждает наше предположение о том, что угол ф действительно не зависит от координат (Xi, Х2), Поэтому переход в состояние сцепления или скольжения происходит вдоль области трещины и определяется единственной неизвестной функцией ф в). Разрешая (5.3) относительно производной dф dв, приходим к дифференциальному уравнению первого порядка [c.67]

Обратим внимание на то, что наши дифференциальные уравнения будут содержать подвижные особые точки. Разрешим нашу систему относительно производных от искомых функций. Мы привели систему к виду, решённому относительно производных где и tj определяются из (22.32) через v )j и (<Уз)у. Используя эти связи, получим для у = 0, 1, 2.....Ы [c.200]

Допускается также, что система эта может быть разрешена относительно старших производных всех входящих в нее функций, т. е. относительно y[" , такой вид системы называется к а -ионическим. Эта система уравнений эквивалентна одному дифференциальному уравнению порядка п, но уже для одной неизвестной функции т). Тем самым мы можем свести задачу к интегрированию одного диф- [c.87]

Подставляя сюда выражение для Т, разрешая вторую группу уравнений (8.5) относительно производных / (, г, и присоединяя к получившимся уравнениям кинематические уравнения Эйлера, мм напишем полную систему дифференциальных уравнений поступательно-вращательного движения системы абсолютно твердых тел в следующем виде [c.384]

Произведя это исключение и разрешив полученные уравнения относительно вторых производных от углов Эйлера, мы представим дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения еще в следующем виде [c.385]

Таким образом, для составления дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять оскулирующие элементы, нужно применить основную операцию к некоторому набору формул невозмущенного движения и разрешить затем полученные уравнения относительно производных от оскулирующих элементов. [c.580]

При взгляде на систему уравнений (12.15) сразу же бросается в глаза, ЧТО переменная 1п которую можно рассматривать как новую независимую переменную вместо I, входит в систему только в виде дифференциала d 1п Точно так же только в виде дифференциала d 1п G входит и одна из искомых функций — G. Это свойство уравнений (12.15), характерное для любых автомодельных движений, позволяет свести систему трех дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению относительно переменных F и Z и двум квадратурам ). В самом деле, разрешим систему (12.15) относительно производных dV/dln , dln G/dln , dZ/d In Вместо того чтобы выписывать получаюш иеся весьма громоздкие выражения, запишем результат решения алгебраической системы в символической форме, через детерминанты [c.622]

В механике систем с конечным числом степеней свободы, равным N, метод Гамильтона состоит в замене уравнений Лагранжа второго рода, которые являются системой N обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными обобщенными координатами, системой 2Л обыкновенных уравнений первого порядка с неизвестными обобщенными координатами и обобщенными импульсами [40]. Метод составления этих уравнений позволяет разрешить их относительно производных искомых функций, в связи с чем они получили название канонических уравнений динамики. [c.90]

При составлении структурных моделей обычно дифференциальные уравнения моделируемой системы разрешаются относительно старших производных. Для каждого уравнения составляется цепочка интегрирующих усилителей, последовательно понижающих порядок производной. Затем на входе каждой цепочки задается сумма членов, выражающих в уравнениях старшие производные с помощью соответственным образом соединенных операционных элементов. Номенклатура операционных элементов представлена в табл. В.З. [c.21]

Система дифференциальных уравнений (1.4) имеет порядок 2п, разрешена относительно первых производных и задает фазовый поток — преобразование 2я-мерного фазового пространства переменных (р, 4) в себя, определяемого общим решением уравнений (1.4) [c.144]

Гамильтон (1805—1865). Совершенно новый мир, скрывавшийся за достижениями Лагранжа, открылся в исследованиях сэра Уильяма Роуанн Гамильтона. Уравнения Лагранжа были довольно сложными дифференциальными уравнениями второго порядка. Гамильтон сумел преобразовать их в систему дифференциальных уравнений первого порядка с удвоенным числом переменных позиционные координаты и импульсы рассматривались при этом как независимые переменные. Дифференциальные уравнения Гамильтона линейны и разрешены относительно производных. Это простейшая и наиболее удобная форма, к которой могут быть приведены уравнения вариационной задачи. Отсюда название канонические уравнения , данное им Якоби. [c.391]

Введение вспомогательных переменных р, q, г ц использование уравнений Лагранжа в форме уравнений Эйлера (53)- -(60) имеет несомнен ые преимущества в тех частных случаях, когда главные моменты действующих сил относительно осей г), не зависят от эйлеровых углов и их производных например, когда эти моменты постоянны (в частности, равны нулю) или являются заданными функциями времени. В этих случаях систему (60) можно рассматривать как независимую систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательных переменных р, q, г если эта система разрешена, то уравнения (53) затем определяют эйлеровы углы ф, г , 0 как функции времени. [c.194]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...