Скалярная функция векторов

Мо( ) = ).1( )Ко( ), где .1( ) — скалярная функция вектор Ко( ) во все время движения перпендикулярен неподвижной плоскости. [c.323]

СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ВЕКТОРОВ 457 [c.457]

Скалярная функция векторов [c.457]

Доказывается и обратное предложение скалярная функция векторов изотропна тогда и только тогда, когда ее представление через компоненты векторов представимо в виде [c.458]

Доказательство Почти дословно повторяется доказательство теоремы I с очевидными изменениями, вызываемыми тем, что является скалярной функцией вектора Л. Поэтому теорема может считаться доказанной. [c.54]

Введем сперва линейные скалярные функции векторов ) [c.333]

Чтобы определить действие оператора на со-вектор, рассмотрим скалярное произведение (В - а А). Оно является линейной скалярной функцией вектора Л), следовательно, равно скалярному произведению на Л) некоторого со-вектора В [c.337]

Третий инвариант 1Пл, или детерминант тензора, является еще одним примером изотропной скалярной функции. Он может быть определен следующим образом. Пусть заданы три некомпланарных вектора рассмотрим объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Затем рассмотрим три вектора, полученных из трех заданных путем воздействия на последние тензора А, и вновь вычислим объем параллелепипеда, построенного на трех преобразованных векторах. Отношение этого объема к объему первоначального параллелепипеда и дает величину детерминанта тензора А. Считается, что знак детерминанта положительный, если упорядоченность поворотов трех векторов сохраняется после воздействия тензора, и отрицательный — в противном случае ). Можно показать, что определенная таким образом величина детерминанта не зависит от выбора тройки векторов и определяется только тензором А. [c.28]

Это определение, уже известное для скалярной функции, распространяется, таким образом, на векторные, точечные и тензорные функции. Производная il3, которая является скаляром для скалярных функций, представляет собой вектор для векторных и точечных функций и тензор для тензорных функций. Мы уже встречались с примерами таких производных в гл. 1. [c.78]

Пусть / (а) — скалярная функция векторного аргумента. Производная d//da — вектор, определяемый как [c.159]

Если применить понятие вектор-градиента oi скалярной функции и [c.345]

Предел отношения Ar/At при -> О представляет собой первую производную от вектора г по аргументу t и обозначается, как и производная от скалярной функции, символом dr/dt. Окончательно получаем [c.100]

Для того чтобы задать вектор-функцию г (i ), достаточно задать три скалярные функции x(t), y(i), г (О — координаты точки. Если /, / Л —орты осей х, у, г и, следовательно, постоянные векторы, то [c.15]

Коль скоро вектор-функция q, q) определена по формуле (12), v — v v может быть подсчитана как скалярная функция q q, и тогда формула (17) для любой системы обобщенных координат определяет проекцию ускорения w на ось qt- [c.20]

При обсуждении основных методов классической механики (см. конец предыдущей главы) мы упомянули, в частности, что один из них связан с введением некоторых специальным образом подобранных функций координат и скоростей точек системы и с изучением того, каким образом изменяются эти функции или при каких условиях они сохраняются неизменными. В качестве таких функций мы рассмотрим меры движения, которые были введены в предыдущей главе скалярную функцию — кинетическую энергию системы н векторную функцию — количество движения (импульс) системы. Рассматривая вектор количества движения Qi, естественно рассматривать также и момент этого вектора, т. е. ввести еще одну векторную характеристику, зависящую от координат точек и их скоростей. [c.67]

В этом выражении скалярная функция ф (х, у, 2) и вектор-функция А (х, у, г) — характеристики поля (так называемые скалярный и векторный потенциалы). [c.160]

Проекции р, q, г вектора угловой скорости на оси связанной с телом системы будут иметь большое значение во всем дальнейшем изложении. Именно, они будут играть роль вспомогательных координат, при помощи которых мы запишем далее уравнения движения тела с неподвижной точкой. Поэтому существенно выразить основные функции, характеризующие движение, — скалярную функцию (кинетическую энергию и векторную функцию (кинетический момент) — через эти переменные р, q а г. [c.185]

Перейдем теперь к рассмотрению понятия производной от переменного вектора. Если аргумент t получит приращение Д , то вектор а получит приращение Ла = а ( -f 0 — а (О (рис. 28). Предел отнощения Да к Kt (при Д ->0), если он существует, называется производной вектора а по скалярному аргументу t (это определение совпадает с определением производной скалярной функции). Следовательно, [c.39]

Вектор F, проекции которого определяются равенствами (5), называют градиентом скалярной функции U х, у, z) [c.274]

Если в каждой точке пространства определено значение некоторой физической величины, то говорят, что имеется поле этой величины. Может, например, существовать температурное поле, поле плотностей, концентраций. Это примеры скалярных полей. Здесь будут рассматриваться векторные силовые поля. В каждой точке пространства при этом определен вектор силы, действующей на соответствующий заряд и зависящий в общем случае от положения точки относительно источника поля. Речь пойдет о неизменных во времени (стационарных) внешних силовых полях, когда источник поля располагается вне системы и наличие системы не влияет на величину поля. Силовое поле называют потенциальным, если сила в каждой точке пространства может быть выражена через градиент некоторой скалярной функции координат — потенциала поля. Так, гравитационное поле Земли имеет потенциал [c.153]

Если применить понятие вектор-градиента от скалярной функции [c.333]

Мы приходим к такому выводу градиент скалярной функции — это вектор, направленный в сторону быстрейшего изменения этой функции и по модулю равный быстроте этого изменения. [c.376]

Вектор который можно представить в форме градиента скалярной функции, называется потенциальным. В потенциальном силовом ноле сила является потенциальным вектором. [c.377]

Дифференцирование скалярных функций позволяет рассматривать оператор Гамильтона V как ковариантный вектор с компонентами [c.385]

Иногда мы говорим о скалярной функции положения, например о температуре T x, y,z) в точке (x,y,z) как о скалярном поле. Подобно этому о векторе, значение которого является функцией положения, например о скорости v(x,y,z) материальной точки, находящейся в точке (x,y,z), мы говорим как о векторном поле. Векторный анализ в значительной своей части посвящен скалярным и векторным полям и дифференциальным операциям над векторами, подробно рассматриваемым в т. II. [c.62]

При дифференцировании векторов сохраняются те же правила, что и при дифференцировании функций. Производная геометрической суммы равна геометрической сумме производных. Точно так же сохраняется и правило дифференцирования произведения скалярной функции Я(ц) на вектор Л(н) [c.181]

Вспоминая 75 т. I, где вектор градиента скалярной функции по направлению определен перпендикуляром (нормалью) к поверхности уровня скалярной функции, отложенным в сторону возрастания скалярной функции, а по величине — произ водной скалярной функции по положительному направлению нормали ( внешней нормали), и принимая во внимание определяющее силу равенство (59), можем заключить, что [c.223]

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

Следовательно, в потенциальном силовом поле проекции силы на координатные оси равны частным производным от силовой функции по соответствующим координатам. Вектор F, проекции которого определяются равенствами вида (60), называют градиентом скалярной функции U (дг, у, z). Таким образом, f=grad U, Из равенств (60) находим [c.319]

Здесь приняты те же обозначения, что и в разделе 1.1, и, кроме того, Я — вектор напряженности магнитного поля т, п — скалярные функции а, — скалярные переменные типа потенциалов Клебша с — отличная от нуля произвольная постоянная. [c.11]

Введем теперь вектор д с координатами dfidvj , df/dvy и df/dv . Каждая из этих частных производных представляет собой функцию переменных Уд, Vy, о. и т. Поэтому вектор д является функцией переменных t. , Vy, и т, т. е. q есть вектор-функция от т и от векторного аргумента , удовлетворяющая равенству (1). Функция q m, v) аддитивна и, являясь вектором, инвариантна по отношению к повороту системы отсчета. Таким образом, опираясь только на принцип относительности Галилея, мы установили важный факт если существует скалярная функция удов- [c.51]

Формула (IV. 115) позволяет зазъяснить смысл понятия градиента скалярной функции ф (Л4). Будем изменять направление вектора т. [c.376]

Рассмотрим сначала вектор grad ср, где ср (х ) — скалярная функция точки. Дифференциал этой функции определяется так [c.385]

Общие свойства оператора градиента рассматриваются во втором томе. Там показано, что градиент скалярной величины представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением наибольшего увеличения скалярной функции, а величина равна скорости изменения этой функции. Градиент скалярной величины записывается различным образом grad f/, Vf/ или dU/dr. Оператор V читается набла , а VU читается набла Uy>. [c.167]

Говорят, что в линейном пространстве L задана скалярная функция ф = ф(и) векторного аргумента и, если каждому вектору и s L поставлено в соответствие число ф. Функция ф (м) называется линейной с1юрмой, если ф(Х + [хг ) = >1ф (г ) + [Яф(гр). Скалярная функция ф = ф(и ,. .., и ) р векторных аргументов называется р-линейной формой, если она линейна по каждому из своих аргументов. В частности, при р = 2 соответствующая форма называется билинейной. Билинейная форма ф (и, ) называется [c.308]

Вектор с проекциями д дх, д< 1дх2, (Зф/ Хз носит наименование градиента скалярной функции ф и обозначается символом grad ф. Подробнее о градиенте см. в начале 75, специально посвященного дифференциальным операциям поля. Формуле (23) можно придать вид [c.135]

В 37 уже было дано понятие о векторе-гда цднге скалярной функции. Для понимания основ кинематики сплошной среды, в частности для определения ускорения в переменных Эйлера, необходимо углубить представление о градиенте скалярной функции, связав его с понятием о производной в пространстве [c.332]

Согласно определению градиента от скалярной функции Ф как вектора grad с проекциями дф/дх, дФ/ду, дф/дг можно переписать последнее равенство в форме [c.309]

Координатный способ задания движения точки. Пусть Oxyz — неподвижная декартова прямоугольная система координат, а i, j, к — орты ее осей Ох, Оу, Oz. Тогда вектор-функцня г( ) может быть задана тремя скалярными функциями x t), y t), z(t)—координатами точки Р [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...