Компоненты вектора градиента скалярной функции

Частные производные представляют собой ковариантные компоненты вектора, который называется градиентом скалярной функции [c.417]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

В соответствии со смыслом введенного в предыдущих лекциях вектора градиента скалярной величины из (2.7) следует, что давление наиболее быстро нарастает в направлении действия внешней силы F, а в перпендикулярных направлениях остается постоянным. Таким образом, можно говорить о поверхностях равного давления, нормаль к которым в каждой точке совпадает с направлением приложенной в этой точке внешней силы. Несложно рассчитать распределение давлений по объему жидкости, если принять во внимание, что компоненты внешней силы F выражаются через производные скалярной функции координат p(x,y,z). Это означает, что сила F - потенциальна и, следовательно, может быть выражена через потенциальную функцию и (потенциальную энергию единицы объема жидкости во внешнем поле) следующим образом [c.29]

Для записи уравнений Эйлера в произвольной ортогональной системе координат необходимо добавить представление для градиента по направлению от вектора а Л/Ь, а для уравнений Навье - Стокса - еще и представление для оператора Лапласа, действующего на векторную функцию. Компоненты лапласиана могут быть вычислены путем замены скалярной функции в приве- [c.37]

Нужно учитывать, что теперь поворот ф действует на декартовы компоненты градиента V. В нашем рассмотрении мы смогли перенести действие оператора на функцию от к. Эта процедура аналогична выполненной в (30.1) — (30.10) при рассмотрении блоховских векторов (функций). Таким образом, (3 )2 компонент О к) остаются неизменными, и при вычислении скалярного произведения (107.28) их после умножения на соб- [c.320]

Если f = f x) есть скалярная, векторная или матричная функция класса С( ) и х, есть один из компонентов ти-вектора х= (хг), то символом/д будем обозначать частную производную / по Хг. Вместе с тем символ /х мы будем использовать лишь в том случае, если функция f(x) является скаляром или т-вектс-ром. В первом случае (когда / есть скалярная функция) символом /х = /х(х) будем обозначать градиент / по отношению к х. Таким образом, /д представит собой т-вектор-функцию (/xj), для которой у-й компонент равен частной производной fxi. Во втором случае (когда / = fk) есть нг-вектор-функция ти-вектора х = = (xk)) символ будет обозначать т-матрицу строка [c.12]

При доказательстве обозначим через (х) от-вектор, представляющий к-п столбец матрицы Л (х). Так как вектор А х) х) должен быть градиентом для каждого скалярного полинома f = f(x) =/(г,,. .., х ,. ... .., г, ) и, следовательно, для каждого скалярного полинома f = f x ) одной переменной г, то, положив g iik) =/х/. (гл), увидим, что вектор g(ij,)At(i) представляет собой при любом к градиент любого скалярного полинома sixi) относительно скаляра ц. Отсюда следует, что если вектор-функции, представляющие собой градиенты, удовлетворяют условию интегрируемости, то каждый компонент вектора л(г), кроме /с-го, должен обращаться тождественно в нуль, а к-й компонент вектора 4л (г) должен зависеть лишь от А-го компонента вектора х= Xi). Другими словами, пг-мат-рица А х) должна представлять собой диагональную матрицу, в которой А-й диагональный элемент обозначим его через а = ак (х) — является функцией лишь одного компонента х/, вектора х = (z )- Следовательно, утверждение, что А х) = где ц = onst, эквивалентно условию а,(г.-) = = ал Хк). Если же условие а<(г<) = ak Xk) не удовлетворяется, то вектор A x)fx(x) не может быть градиентом дня одночленов j x) = где I, к произвольны. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...