Методы быстрой аппроксимации

Методы быстрой аппроксимации [c.419]

МЕТОДЫ БЫСТРОЙ АППРОКСИМАЦИИ 421 [c.421]

МЕТОДЫ БЫСТРОЙ АППРОКСИМАЦИИ 423 [c.423]

Аналогично можно рассмотреть методы Рунге—Кутта с большим числом слагаемых. Известны формулы, содержащие до девяти слагаемых. Громоздкость выкладок быстро нарастает, но принципиально все остается так же, как и в рассмотренных случаях. Формулы с тремя слагаемыми имеют третий порядок аппроксимации, с четырьмя и пятью — четвертый порядок. Число уравнений, которым должны удовлетворять числа р, а и р, всегда меньше количества этих чисел и, следовательно, имеется множество формул одного порядка аппроксимации с одинаковым числом слагаемых. Чаще других употребляется следующая формула, имеющая четвертый порядок аппроксимации [c.102]

Достаточно быструю сходимость при определении решения (1) (менее 25 итераций) дает применение комбинации двух методов метода вторых производных (метод Ньютона) и метода градиента. При этом для / (X) осуществляется квадратичная аппроксимация [c.133]

Эффективность приближенных методов решения вариационных задач во многом зависит от удачной аппроксимации функций, подлежащих определению. Аппроксимирующие функции должны обладать свойством полноты, чтобы уже при, небольшом числе членов отразить характер неизвестных они должны также обеспечить быструю практическую сходимость результатов расчета. [c.61]

Применение подобного подхода в случае пластин и оболочек не приведет к таким же уточнениям, как для балок, особенно если края криволинейные или условия быстро изменяются вдоль края, но это лучше, чем ничего, когда важно получить точные условия на краях и когда, как обычно, не имеется лучшего метода уточнения при этом достаточно хорошая аппроксимация получается, если радиус кривизны и расстояние, на котором происходит заметное изменение краевых условий, велики о сравнению с толщиной, что, как правило, справедливо даже для сравнительно толстых пластин и оболочек. [c.188]

Для численного решения уравнений, описывающих самофокусировку излучения в нелинейной среде, так же как и для решения предыдущ,их задач, применим метод конечных разностей. Основную сложность в данном случае составляет рациональное сочетание аппроксимаций разного порядка точности, так как задача быстро теряет устойчивость. Разработка методов отдельных вариантов и исследование возможностей использования различных аппроксимаций в настоящее время продолжается. [c.213]

Для сварных конструкций, по-видимому, возможны два метода выбора материала. Первый, наиболее точный, состоит в том, что материал конструкции необходимо выбирать так, чтобы дефект в сварном шве не приводил к быстрому инициированию треш,ины в охрупченных участках вследствие высоких локальных напряжений. Для этого следует оценивать свойства материала около сварных швов посредством некоторых испытаний по инициированию треш,ин, например, применяя метод линейной механики разрушения, испытания широкого листа по Уэллсу, испытания СОЕ) или аппроксимацию к одному из них за счет корреляции со значениями энергии разрушения образцов Шарпи с V-образным надрезом. [c.240]

Во втором приближении N—2) вводится одна про-1,0 межуточная линия (квадратичная аппроксимация), в третьем (Л =3) — две и т. д. В каждом приближении N 2) добавляется по одному неизвестному параметру (г ,)у при 0 = 0 и по одному условию (22.41) конечности производной d v )j dЬ. Совпадение результатов с требуемой точностью в двух последних приближениях свидетельствует о практической сходимости расчёта. Следует заметить, что метод интегральных соотношений весьма быстро сходится. [c.204]

Решение таких систем уравнений может быть осуществлено либо известным из практики прикладного анализа методом наименьших квадратов, либо более простым и грубым приемом, но практически более быстро ведущим к цели, который неоднократно применялся автором. Можно из этого числа уравнений большего числа неизвестных выбрать (подряд или вразбивку — безразлично) то число различных уравнений, которое равно числу неизвестных, и решать их известным уже нам способом, после чего результаты, полученные из этих решений, усреднять или уравновешивать так, чтобы ординаты, получающиеся по этой аппроксимации, наилучшим образом приближались бы к заданной кривой переходного процесса у 1). [c.155]

Описанный вариант метода конечного элемента является простейшим. Можно повысить порядок аппроксимации функций перемещения в элементе, вводя, например, дополнительные узлы на ребрах тетраэдра или используя элементы другой формы (прямоугольную призму и т.д.). При этом точность расчета повышается быстрее, чем при измельчении сетки простых элементов. [c.486]

Упражнение 20. Покажите, что для Ж 3 2 (Я) наилучшая аппроксимация определенная условиями (1.23), является также наилучшей в смысле метода наименьших квадратов. Отметим, что нормальную систему (1.24) не рекомендуется использовать для вычисления решения задачи по методу наименьших квадратов, так как с ростом ее порядка ее обусловленность быстро ухудшается. [c.31]

Последний шаг при вычислении аппроксимации метода конечных элементов — решение линейной системы КО = Р. Мы собираемся обсудить здесь только прямые методы исключения, так как в подавляющем большинстве программ по методу конечных элементов они предпочтительнее итерационных методов. (Было бы интересно обсудить возникновение и упадок итерационных методов за последние десятилетия. Очень много сложных и математически интересных работ было посвящено методам верхней релаксации и переменных направлений они составляли основную тему численного анализа. Теперь они вытеснены методом исключений и методами типа быстрого преобразования Фурье. Методы типа метода Фурье, безусловно, эффективнее, если геометрия области, и уравнения подходящие, а методы исключения особенно хороши, когда нужно решать одну систему с многими правыми частями, как в задачах проектирования.) [c.47]

Та же самая конструкция распространяется на полиномы степени к—1 нескольких переменных хи. .., Хп при условии, что основные области разбиения — симплексы интервалы при /г=1, треугольники при п = 2, тетраэдры при п—3. Можно получить дискретные аналоги произвольно высокой степени точности в л-мерном пространстве. К сожалению, с точки зрения практических приложений существует фатальное обстоятельство размерность пространства 8 , равная общему числу внутренних узлов, растет чрезвычайно быстро при росте кип. Главная проблема в методе конечных элементов — наложить дополнительные ограничения на пробные функции (тем самым уменьшая размерность пространства 5 ) без нарушения свойств аппроксимации и простоты локального базиса. [c.99]

Метод вычисления ОПФ с эллиптической аппроксимацией области интегрирования. Этот метод, один из самых быстрых, разработан в Ленинградском институте точной механики и оптики и основан на замене области интегрирования в выражении (4.7) эллипсом. Полуоси эллипса а и Ь можно определить из рис. 4.10 [c.176]

Точка перевала р.9 искалась методом Ньютона как ноль функции / (Р)- Коэффициенты пропорциональности с , находились непосредственно нахождением вычетов решения в точке it()(Pj + wpo). Вычеты в сдвинутых точках р + тРо быстро уменьшались с ростом т, поэтому для получения хорошей аппроксимации решения оказалось достаточным М =4. [c.19]

Рассмотрим теперь неявную аппроксимацию (5.30), (5.31), построенную по методу дробных шагов. Выражение (5.32) для модуля перехода показывает, что скорость затухания возмущений во всем спектре частот o)i, 0)2 может быть сколь угодно большой при достаточно большом т. Однако с увеличением т возрастают и погрешности аппроксимации, связанные с представлением оператора перехода от п к п+ в виде произведения операторов, соответствующих полушагам . В предельном случае (t= 00) получаем два слоя ( целый и полуцелый ), не имеющие ничего общего с искомым решением и не похожие друг на друга. Возникает естественная идея варьирования t сначала, когда преобладают возмущения, связанные с ошибками начального слоя, гасить эти возмущения быстрее, а затем, когда начинают все бо Еьшую роль играть погрешности аппроксимации, постепенно уменьшать г. На основе идей такого рода построены эффективные алгоритмы для решения стационарных сеточных краевых задач. [c.137]

При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]

Одно из важных и перспективных направлений дальнейших исследований в области МКЭ — его реализация на ЭВМ. Для этого есть много предпосылок хорошая приспособляемость процедуры МКЭ для алгоритмизации быстрое развитие вычислительной техники большое количество инженеров и ученых, ра ботающих в области МКЭ острая необходимость в удобных промышленных вычислительных комплексах. Имеется опыт использования МКЭ в практической инженерной деятельности, и можно го-. ворить о намечающихся тенденциях в этом направлении. До появления программ, реализующих МКЭ, были доступны средства, автоматизирующие расчеты стержневых систем. Поэтому, исследуя сложный объект теории упругости, либо прибегали к стержневым аппроксимациям, либо, применяя численные методы теории упругости, основные усилия тратили на сокращение количества вычислений. Для этого использовались различные упрощенные вспомогательные расчеты, экспериментальные данные об аналогичных сооружениях, определенная интуиция и т. п. Как вспомогательный материал к таким расчетам использовались соответствующие таблицы, номограммы и т. п., полученные методом конечных разностей или в рядах для плит, балок-стенок, оболочек, имеющих простую конфигурацию, граничные условия и нагруз--ку. Такая ситуация, с одной стороны, делала подобные исследования уделом небольших групп высококвалифицированных специалистов, с другой стороны, приводила к тому, что различные конструктивные особенности, оказывающие значительное влияние на напряженио-деформированное состояние конструкции, ускользали от его внимания. [c.113]

Широко известно, что одним из первых математиков, принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны, наиболее важными и исторически первыми среди пионерских работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи Тёрнера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3]. После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно использоваться в математических формулировках МКЭ. И обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов за последнее десятилетие появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8], принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д. Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений в области вариационных принципов, которые служат основой МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель может ознакомиться по работам [5—7]. [c.340]

Полученные в предыдущей главе уточненные уравнения теории оболочек очень сложны, что исключает возможность их аналитического исследования. Поэтому целесообразнее применять численные методы. Для численного исследования оболочек с быстро изменяющимися параметрами используем метод конечных разностей. Алгоритм разностной аппроксимации уточненных соотношений теории оболочек и схема его реализации на ЭВМ БЭСМ-6 описаны в главе 5. [c.48]

Альтернативным (взаимоисключающим) подходом к вычислению свойств переноса электронов в жидких металлах является вычисление электронных состояний, т. е. зонной структуры для разупорядоченной системы. Несмотря на то что в последние годы в этой области достигли значительного успеха, результаты теоретических расчетов пока невозможно сравнивать с экспериментальными данными. Более детально этим занимался Кьюзак [291]. Большая часть опубликованных работ была проделана с моделью одномерной цепочки жидкости, в которую разупорядочение вносили только, изменяя межатомный промежуток. Такие модели, не способные дать нужные результаты для сравнения с действительной жидкостью, могут помочь найти методы вычисления для использования в более точных аппроксимациях [298, 299, 323, 325]. Результаты, полученные Мейкинзоном и Робертсом [325], показывают, что энергетический разрыв может быть даже при нарушении дальнего и ближнего порядков, но он быстро закрывается, когда степень разупорядочения увеличивается. [c.109]

Интегральные уравнения второго рода с симметричными ядрами могут быть решены с использованием метода Шмидта и Гильберта. Уравнения второго рода можно также решить с помощью подходящей аппроксимации [11]. Метод дает (х) в виде разложения по у коэффйциенты которого являются функциями X. Если результирующий ряд быстро сходится, то метод имеет практическое значение и аналогичен итерационному процессу, использованному в работах Фокса и Ли [24, 26]. [c.194]

Не затрагивая здесь в полной мере всех возможностей этой проблемы, ограничимся лишь одним простым указанием, что чем положе очертания вещественно-частотной характеристики, тем быстрее протекает переходный процесс. Необходимо все же помнить, что описанный выше метод основан на некоторых допущениях и является приближенным и по своим основам и по причине произвольности самой аппроксимации. Поэтойу если решить эту же задачу классическим способом , т. е. нахождением численных значений корней характеристического уравнения, определением постоянных интегрирования и т. д., как было изложено в примере гл. 2, то результаты будут несколько расходиться. [c.192]

Когда выбирается вычислительная процедура, необходимо оценить наряду с другими ее характеристиками точность, устойчивость и сходимость. Точность—это мера близости численного решения к точному, или истинному, решению. Устойчивость ) определяется ростом ошибок при выполнении отдельных вычислительных операций. Неустойчивое вычисление является результатом аппроксимации, округления нлиЛругих ошибок, которые неограиичвино накапливаются, вследствие чего нстнниое решение вскоре тонет в ошибках. Сходимость —это постепенное приближение последовательно вычисляемых решении к предельному по мере того, как уточняются некоторые вычислительные параметры, такие, как размер элемента или число членов в пробном решении. Термин сходимость в этом же смысле применяется и к итерационной процедуре, в которой некоторые нли все результаты одного вычисления становятся входной информацией для другого (повторного) вычисления. Таким образом, в сходящейся процедуре разница между последовательными результатами уменьшается, стремясь в пределе к нулю. Эти три термина иллюстрирует рнс. 8.1. Более точные определения можно найти в книгах по численному анализу и методам вычислений [1—3]. Следует отметить, что желательной является устойчивость каждого вычисления, когда последовательные результаты быстро сходятся к точному решению, [c.168]

Эти формулы также устойчивы при больших Ре. Значение полученное по формуле (3.443), очень мало отличается от значения, полученного по условию Йенсена (3.441), так как полная ошибка аппроксимации при этом не меняется (Брили [1970]). Но в неявной схеме метода чередующихся направлений итерации для (см. разд. 3.1.16) сходятся быстрее, можно проводить расчеты с большими величинами шагов по времени, а суммарное машинное время сокращается вдвое. Однако программа становится сложнее, так как формулы (3.445) при решении уравнения Пуассона с помощью неявной схемы метода чередующихся направлений приводят к появлению членов в узлах, отстоящих от границы более чем на один шаг таким образом, расщепленные по времени неявные разностные уравнения вдоль у в неявной схеме метода чередующихся направлений не будут трехдиагональными. Для того чтобы исключить эту дополнительную неявность в точках да 1 и + 2, Брили [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...