ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача многих неподвижных центров из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Допустим, что неподвижный центр Лij действует на точку М с силой, направленной по прямой, соединяющей обе точки и пропорциональной произведению их масс и некоторой функции Fi, определяющей закон действия силы. [c.182] Таким образом, масса т находится под действием п сил, равных по величине fimimFi (г = 1, 2,, п), где множители пропорциональности /,— вещественные постоянные или, вообще, заданные функции времени, которые могут иметь как положИ тельные, так и отрицательные значения.. [c.182] Таким образом, в самом общем случае правые части уравнений (4.2) зависят не только от координат пассивно действующей точки X, у, г, но, через посредство функций также от производных по времени координат х, у, г, х, у, г, а также и от времени 1. [c.182] Заметим, что а представляет собой скорость распространения действия (притяжения или отталкивания) и что при а = оо закон Вебера совпадает с законом Ньютона. [c.184] На это можно ответить следующим образом закон Ньютона, как известно, выведен из законов Кеплера, которые в свою очередь получены пз многочисленных наблюдений, выполненных Тихо Браге. Ясно, что законы Кеплера являются поэтому только приближенными и что действительные движения планет и их спутников в Солнечной системе этим законам не подчиняются или, во всяком случае, плохо подчиняются Отсюда следует, что закон Ньютона является также приближенным законом, весьма удобным для практических приложений в небесной механике, но представляющим собой только м о-д е л ь истинного, неизвестного еще нам закона, царствующего во Вселенной. [c.184] К тому же уже давно было замечено, что расчеты движений планет, основанные на законе Ньютона, часто оказываются расходящимися с результатами весьма тщательных наблюдений. Вследствие этого неоднократно предлагалось заменить закон Ньютона каким-либо другим законом типа (4.4 ) или (4.5) либо еще каким-нибудь другим. Эти попытки оказывались обычно неудачными или неудобными для приложений, и к тому же предлагавшиеся новые законы также являлись всегда приближенными моделями и не вскрывали истинных свойств закономерностей (если таковые на самом деле существуют ) во Вселенной. [c.184] Нужно заметить еще, что хотя результаты, полученные на основаиип закона Ньютона, всс же оказываются более или менее удовлетворительными для практики в пределах Солнечной с п с т е м ы, но считать по этой причине закон Ньютона всеобщим законом всемирного тяготения, как это часто и охотно делается, нет никаких оснований. [c.184] В самом деле, мы не имеем еще возможностей следить за двил ениями далеких звезд и звездных систем достаточно продолжительное время для того, чтобы было возможно сравнивать результаты наблюдений с результатами вычислений, полученными на основании какого-либо модельного закона, хотя бы закона Ньютона. [c.184] Вследствие этих соображений в следующих главах книги мы часто будем обращаться к законам более общего вида, чем закон Ньютона, не отбрасывая при этом нз рассмотрения и те выводы, которые следуют из закона Ньютона. [c.185] Может возникнуть и второй вопрос почему в этой книге не излагаются и не используются результаты, полученные на основе теории относительности На это мы ответим так теория относительности представляет нам также модель закономерностей Вселенной, но гораздо более сложную математически, чем всякая другая. Использование теории относительности в небесной механике может быть произведено только при помощи ряда упрощений и приближений, а такая методика ничем не отличается от классической. Кроме того, мы имеем прекрасную книгу В. А. Брумберга Релятивистская небесная механика ( Наука , 1972 г.), и нет надобности повторять то, что в ней изложено. [c.185] Прежде всего отметим один любопытный случай, в котором уравнения (4.2) интегрируются до конца и притом в элементарных функциях. Это случай, когда каждый нз неподвижных центров действует на пассивную точку М по закону Гука. [c.185] Уравнения (4.6) составляют три независимых между собой уравнения, каждое из которых есть линейное уравнение второго порядка. Эти уравнения легко интегрируются, если всс /, суть величины постоянные (положительные или отрицательные). [c.185] Из этих формул (впрочем, также и из (4.7), (4.7 )) можно извлечь все обстоятельства движения. Так, из (4.7) следует, что движение точки М происходит периодически в конечной области пространства и траектория есть линия пересечения двух эллиптических цилиндрических поверхностей. Наоборот, из (4.7 ) следует, что траектория движения есть бесконечная пространственная кривая, являющаяся линией -пересечения двух гиперболических цилиндров. [c.187] Уравнения упомянутых цилиндров получатся, очевидно, в результате исключения t из двух каких-либо пар уравнении (4.7) и (4.7 ). Если в начальный момент / = О точка М находится в центре масс и имеет отличную от нуля начальную скорость или если точка М в начальный момент имеет нулевую начальную скорость, то траектория движения есть прямая линия. При этом начальные значения (начальные составляющие скорости, или начальные координаты) всегда можно выбрать так, чтобы точка М достигла в конечное время любой из точек М и продолжала двигаться по своей прямолинейной траектории. [c.187] Поэтому если f t) есть функция времени, принимающая только неположительные значения, то каждое движение точки М, близкое сколь угодно по начальным данным к положению равновесия (хо = г/о = 2о = Хо == г/о = о = 0), будет покидать область начала координат и способно удаляться от него сколь угодно далеко. [c.187] В других случаях исследование движения делается гораздо более затруднительным и мы поэтому ограничимся только случаями уже рассмотренными. [c.188] Допустим прежде всего, что все неподвижные центры лежат на одной прямой, которую всегда можно влять за одну из осей неизменной системы координат. [c.188] Заметим, что этот результат остается справедливым, не только в случае F = onst, но и тогда, когда величина F есть какая угодно функция от t, z, z и z. [c.189] Предположим теперь, что неподвижные центры расположены на оси Z симметрично относительно начала координат, так что число точек М,-, лежащих на положительной части оси, равно числу точек, лежащих на отрицательной части, а одна точка находится в начале координат (если число точек нечетное). [c.189] как легко видеть, последнее из уравнений (4.2 ) удовлетворяется при 2 = О, а поэтому, если в начальный момент точка М находится в плоскости 2 = О и вектор ее начальной скорости также лежит в этой плоскости, то точка М всегда будет оставаться в плоскости 2 = О и траекторией ее движения будет плоская кривая. [c.189] Вернуться к основной статье