Системы с двумя квадратичными интегралами

Системы гидродинамического типа, встречающиеся при изучении двумерных течений, имеют два квадратичных интеграла движения. Данный параграф посвящен описанию всех систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями, имеющих два заданных независимых квадратичных интеграла движения, из которых один —положительный. [c.295]

Нетрудно показать, что система обязательно будет вполне регулярной, если существует два существенно различных квадратичных интеграла (один из них—энергия), причем все собственные значения второй квадратичной формы должны быть различны (нет кратных корней в энергетическом представлении). [c.50]

Квадратично-нелинейные системы с двумя интегралами движения. Формула (2) дает, в частности, описание всех квадратично-нелинейных (к.-н.) систем в К", имеющих два независимых квадратичных интеграла Р и Рз таких, что Рх положительно определен, Р имеет попарно различные собственные значения относительно Р . Уравнения движения любой такой к.-н. системы могут быть записаны в следующем виде [c.303]

Из формулы (21) следует, в частности, что к.-н. система в К , имеющая два независимых квадратичных интеграла Ру, Р , имеет также линейный первый интеграл. Действительно, формула (21) при п==4 имеет вид [c.303]

Система уравнений (30) замкнута относительно переменных со и у, имеет вид (1), допускает квадратичный первый интеграл (29) вида (3) и два линейных первых интеграла (26)-(27) вида (4). Следовательно, при изучении стационарных движений этой системы можно использовать теорию, изложенную в первых двух параграфах настоящего обзора. [c.438]

Система (15) имеет два независимых квадратичных первых интеграла = 2 ( 121 + 22 22+ г,,2з) и 5 = (2121 —2323), и кубический интеграл движения = 1т (212223). Система (15) не изменяется при фазовых преобразованиях (фу — вещественные константы) [c.242]

Действительно, предположим, что интеграл 8 содержит член специального вида (1.3), и что степень д этого члена — наименьшая из возможных. Тогда интеграл 5 — не будет содерь жать членов вида (1.3) степени д. Применяя последовательно эту операцию, не затрагивающую квадратичных слагаемых, построим два формальных интеграла з = ит +. .. (I = 1,2), не содержащих ни одного слагаемого специального вида. Далее, любой интеграл гамильтоновой системы с гамильтонианом (1.2) есть ряд по степеням 1 и 82 (см. 11 гл. II). В частности, это относится к интегралу Я. Ввиду (1.2), разложение Я по степеням. ь г [c.311]

Согласно результатам предыдущего параграфа, критическим точкам интеграла энергии при фиксированных значениях постоянных других интегралов отвечают стационарные движения рассматриваемой системы. Учитывая структуру интегралов (3) и (4), задачу отыскания стационарных движений можно решать в два этапа. Сначала можно найти минимум квадратичной по v функции (3) на линейном по V многообразии (4), рассматривая г как параметры (других критических значений функция (3) как функция переменных v иметь не может). Очевидно, этот минимум зависит от г и с обозначим его Wdv). После определения функции Weir), которая называется эффективным потенциалом, задача поиска стационарных движений сводится к определению критических точек этой функции на конфигурационном многообразии М. [c.432]

Но уравнения (7.32 ) имеют вдобавок голоморфный интеграл, наинизшие члены разложения которого образуют знакоопределенную квадратичную форму. Поэтому, если ни одно из отношений min, njm не представляет целого числа, то по теореме Ляпунова о периодических решениях система (7.32 ) также будет иметь два периодических решения, каждое с двумя произвольными постоянными. [c.317]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...