О сингулярных интегралах и интегральных уравнениях

Двумерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Введенное в первой части этого параграфа понятие сингулярного интеграла в одномерном случае допускает распространение на случай многих переменных. Рассмотри.м случай двух измерений. Заметим, что полученные здесь результаты, как правило, оказываются справедливыми и для случая произвольной размерности, однако все выкладки более просты в случае двух измерений. Начнем исследования для случая, когда областью интегрирования является вся плоскость, которую обозначим через П. [c.57]

Наиболее интересный для теории сингулярных интегральных уравнений результат формулируется сравнительно просто, если ввести, как это сделано в [35], одно новое понятие—понятие о символе сингулярного оператора (интеграла). [c.60]

Таким образом, фактическое вычисление сингулярного интеграла на поверхности требует введения определенной дискретизации поверхности (определяемой каждый раз в зависимости от положения точки до) так, чтобы элементарные области описывали поверхности ere- Следовательно, при необходимости вычисления интегралов в совокупности точек до надо вводить соответствующее количество различных дискретизаций. В дальнейшем (в 3 гл. VII) приводятся приемы вычисления сингулярных интегралов, присутствующих в интегральных уравнениях пространственной задачи теории упругости, основывающиеся на специальных свойствах их ядер. [c.63]

Приведем теперь результаты решения задач по определению коэффициента интенсивности напряжений экстраполяционным методом ГИУ (см. 14). Для численной реализации были написаны программы решения плоских и пространственных задач теории упругости методом интегральных уравнений (14.9), полученных на основе решения Кельвина [77]. Решение уравнения осуществлялось методом последовательных приближений с предварительной регуляризацией сингулярного интеграла по формуле (14.14). [c.112]

Преобразование уравнения (9.14). Уравнение (9.14) путем регуляризации сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Регуляризация производится путем перенесения второго слагаемого в правую часть и обращения сингулярного интеграла с. помощью формулы (7.12). В результате получится уравнение [c.396]

В данной главе изложен метод сингулярных интегральных уравнений для решения основных граничных задач плоской теории упругости для многосвязных областей с отверстиями и разрезами произвольной формы при наличии угловых точек на граничных контурах, а также изучено поведение вблизи концов линии интегрирования интеграла типа Коши и некоторых других комплексных интегралов, плотности которых имеют особенности степенного характера. [c.5]

Формулы обращения интеграла типа Коши. Пусть L обозначает совокупность конечного числа замкнутых гладких контуров без общих точек и пусть положительное направление выбрано так, что при движении вдоль L область 5 остается слева (см. рис. 2). Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение [c.14]

Учитывая условие на неподвижной границе дФ дп = О на С, получаем интегральное уравнение относительно Ф х,у). Если теперь точку х,у) приближать к границе С, то получим граничное интегральное уравнение, т. е. уравнение, содержащее значения Ф только на С. Сингулярность в точке (х, y)=(Xo, f/o) дает вклад, равный 12Ф х,у) полученный в результате интеграл понимается в смысле главного значения [c.22]

Сведем интегро-дифференциальное уравнение (2.12) при граничных условиях (2.13) к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. С этой целью воспользуемся формулой обращения сингулярного уравнения с ядром Коши на конечном отрезке [22]. Будем иметь [c.110]

Этого можно было избежать, если бы теория Фредгольма была доказана, например, для функционального уравнения (5.28) или для соответствующего интегрального уравнения. Это уравнение представляет собой нагруженное сингулярное интегральное уравнение, причем присутствует интеграл по объему (многообразие с краем) и интеграл по замкнутой поверхности указанного объема. [c.499]

Устремив в равенстве (152) точку г к обводу контура Со, получим сингулярное интегральное уравнение для определения V(z), в котором интеграл, стоящий с правой стороны, долй ен рассматриваться в смысле своего главного значения. Имеются простые приемы, приводящие это сингулярное уравнение к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с регулярным ядром. Следует отметить, что такого рода интегральные методы теории решеток наиболее пригодны для расчетов при помощи электронных вычислительных машин. В настоящее время уже составлены программы этих вычислений, так что машинный расчет обтекания заданной решетки ие представляет труда ). [c.267]

Полученные интеграл-.ные уравнения — сингулярные в отличие от соответствующих уравнений гл. II. они представляют собой кон- турные или одномерные сингулярные интегральные уравнения. Уравнения (8.52) являются частным случаем систем сингулярных уравнений, рассмотренных в гл. V, и для них можно развить совершенно так же, как это сделано в гл. V, аналогичную теорию разрешимости при этом мы убедились бы, что остаются в силе три основные теоремы и альтернатива Фредгольма. [c.266]

Если в (7.13) положить /(ж) = —ж/2, как это имеет место в интегральном уравнении (6.11), то с помощью сингулярного интеграла [c.235]

Естественно, что любой метод численного решения сингулярных уравнений должен опираться на те или иные специальные квадратурные формулы. Разобьем контур на элементарные участки и будем полагать плотность постоянной в пределах каждого из них, обязательно связав ее значение со значением в центре участка (разбиения в так называемой основной точке). Тогда, вычисляя интеграл в той или иной основной точке, придем к интегральной сумме, в которой надо опустить слагаемое, соответствующее отрезку, которому принадлежит исходная основная точка. Укажем также один прием, позволяющий непосредственно переходить к несобственным интегралам. Для этого воспользуемся представлением уравнения (3.1) в иной (регулярной) форме [c.56]

Согласно (25), ИУ (24) можно решать при малых Л, как и уравнение (16), методом последовательных приближений, отбрасывая в нулевом приближении интеграл в его правой части. При этом на каждой итерации вновь будет решаться ИУ Винера-Хопфа (18). Решение третьего ИУ (20) находится применением теоремы о свертке для интегрального преобразования Фурье. Таким образом сингулярное асимптотическое разложение решения ИУ (1) при малых Л в форме (21) может быть реально построено с любой желаемой точностью. [c.14]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

В ряде случаев (например, при нелинейном законе изменения коэффициента подъемной силы сечения крыла по углам атаки) при решении интегро-дифференциального уравнения желательно применять метод последовательных приближений. Однако М. В, Келдыш показал, чтЬ процесс последовательных приближений расходится, если применять его к исходному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению. В работах Г. И. Майкапара (1944) и Г. Ф. Бураго (1947) рассматриваются различные формы обращения интегро-дифференциального уравнения и сведения его к интегральному уравнению с интегрируемым ядром, при решении которого можно использовать метод последовательных приближений. В теории несущей линии был также получен ряд частных точных решений. Г, Ф. Бураго (1947) и И. Н, Векуа (1947) получили точные решения для закрученного эллиптического крыла и для некоторого класса крыльев, являющихся обобщением эллиптического, а Я, М. Серебрийский (1944) получил точные решения для эллиптического крыла при произвольной нелинейной зависимости коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки. [c.93]

Интегралы, присутствующие в уравнениях (2.2), (2.3) и (2.5), являются двумерными сингулярными интегралами, и в соответствии с общей теорией ( 3 гл. I) при их вычислении следовало бы каждый раз вводить локальную систему координат, определяемую пересечением поверхности с координатными поверхностями г = onst, ф = onst цилиндрической системы, ось которой Z совпадает с нормалью к поверхности в той точке, в которой интеграл вычисляется. Этот путь сопряжен с серьезными техническими трудностями, которые становятся еще более значительными при переходе к решению интегрального уравнения, когда вычисление сингулярных интегралов следует проводить в большом числе точек поверхности. Однако учет специфики ядер рассматриваемых интегралов позволил избежать отмеченных затруднений. Один способ [171] заключается в преобразовании этих сингулярных интегралов в несобственные (регулярные), а другой [88,206] базируется на возможности вычисления в явном виде интеграла от ядра, когда элемент поверхности есть плоский многоугольник. [c.572]

Примененный здесь способ решения названных уравнений тот же, который использован при решении уравнения (7.17) с разностным логарифмическим ядром вида In х—у. Способ состоит в том, что путем интегрирования по частям интеграла с искомой функцией исходные уравнения приводятся к сингулярным интегральным уравнениям с ядрами типа tg и th. Затем из разд. 7.4 берется готовое решение последних, ограниченное на концах. Решение исходных уравнений получается дифференцированием полученных решений, при этом используются формулы дифференцирования си-нгулярных интегралов, выведенные в разд. 7.4. Данный способ решения описан в работах [13, 40]. Уравнение (7.47) с ядром [c.285]

Обьиный метод решения сингулярного интегрального уравнения состоит в регуляризации по Карлеману—Векуа и в последующем численном решении полученного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Такой подход очень трудоемок. В последнее время при решении задач, представляющих интерес для приложений, наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди этих методов можно отметить метод Мультоппа—Каландия [5], основанный на определенных формулах для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярного интеграла. [c.243]

Заметим, что в той или иной степени аналогичные ситуации возникали и раньше. Например, создание теории крыла большого уд шнения на базе сингулярных интегральных уравнений бьи[о бы невозможно без постулирования понятия rjtaBHoro знa [ ння интеграла в смысле Коши. Появление компьютеров стимулировало переход к дискретным манерам описания, то и другое потребовало новых методов организации вычисле1П1Й. [c.435]

В работе Хантера [71] решена двумерная задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому полупространству, причем рассмотрен случай, когда можно пренебречь инерционными силами. Исследование выполнено в рамках линейной теории, деформации считаются малыми, и граничные условия на поверхности относятся к недеформированному состоянию среды. Подход, примененный в работе, заключался в представлений нормальной составляющей поверхностного смещения в виде интеграла от существующего решения задачи о движении распределенной линейной нагрузки, что привело к сингулярному интегральному уравнению отцосительно искомой функции поверхностного давления (вязкоупругий аналог формулы Буссинеска). Решение задачи осуществлялось путем эквивалентного преобразования интегрального уравнения в уравнение с обычным логарифмическим ядром относительно дифференциального оператора давления. Замкнутый вид решения был получен для материала, физические свойства которого описываются одной функцией ползучести и одним временем ретордации. Однако при обобщении результатов этого исследования и распространении их на более общий случай вязкоупругого тела, у которого ползучесть характеризуется конечным числом времен релаксации, метод при- [c.401]

В заключение следует сделать еще одно замечание. Возникновение в представлении звукового поля, да и, вообще говоря, любого волнового поля, интегралов с особенностью на пути интегрирования является довольно типичной ситуацией. Возникающая при этом математическая неоднозначность в определении значения такого интеграла означает и некоторую неоднозначность в постановке задачи. Физический анализ такой неоднозначности обычно позволяет достаточно четко определить тот путь вычисления интегралов, который соответствует существу задачи [71]. В частности, очень важно использовать в таком процессе принцип предельного поглощения совместно с переходом к контурному интегрированию. Однако такой прием полностью оправдан на том этапе, когда известны явные выражения для плотностей интегральных представлений, в данном случае функции Ь (т) и d (т) в системе (2.139). В рассматриваемой задаче об излучении звука коротким цилиндром эти функции должны определяться из системы сингулярных уравнений, в которой интегралы также допускают неоднозначную трактовку. Введение в среду затухания не сказывается на характере сингулярности системы (2.134). Какие-либо другие способы, кроме приведенного выше способа трактовки интегралов в с.мысле главного значения для регуляризации системы (2.134), указать трудно. [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...