Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой плоскости

Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве Ш и геометрической интерпретации на фазовой плоскости. Как мы ужо указывали, каждому решению системы (I) соответствует в интегральная кривая. [c.30]

Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (j , у). Геометрическая интерпретация системы (I) в трехмерном пространстве х, у, t) в настоящей книге является вспомогательной. Основная геометрическая интерпретация автономной системы (I) [c.24]

Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой ПЛОСКОСТИ Основная геометрическая интерпретация систе- [c.15]

Сопоставление геометрической интерпретации системы (А) в пространстве (x,y,t) с интерпретацией на фазовой плоскости. а) В каждую траекторию проектируется бесчисленное множество интегральных кривых пространства х, у, 1), получающихся друг из друга заменой i на i — с (или, что то же, проходящих через точки с одними и теми же координатами хо, уо и различными о). Каждая такая интегральная кривая соответствует некоторому решению, соответствующему траектории (рис. 2). [c.17]

Предположим, что в системе происходят колебания. Тогда Рб Рк а Он Ф Рк- Возьмем одинаковые масштабы для осей абсцисс и ординат. Будем рассматривать рис. 2.1, а как фазовую плоскость уравнения (1.9), на которой по оси ординат отложено давление Рб, а по оси абсцисс — объемный расход Рд. Кривая 1 представляет собой график функции Рк = - (РкЬ а кривая 2 — график функции Рк = <р1 (Рб). Тогда дифференциальное уравнение (1.9) получит простую геометрическую интерпретацию. [c.65]

Для геометрической интерпретации используют понятие фазовой плоскости фазового пространства) х, х, точки которой условно изображают состояние системы. Кривую в фазовом пространстве, изображающую, как изменяется со временем t состояние системы, называют фазовой траекторией. Множество фазовых траекторий называют фазовым портретом системы. Исключая из соотношений [c.137]

Геометрическая интерпретация относительного движения. Геометрическая интерпретация для плоскости, приведенная в предыдущем разделе (см. рис. 4), может быть также перенесена на сферу. При этом фазовые траектории в переменных Мх,М2,Мз для случая сферы и плоскости, при заданных интенсивностях, совпадают с фазовыми траекториями системы Лотки—Вольтерра (3.10). Основные эффекты в динамике вихрей определяются тем, какая часть фазовых траекторий системы Лотки-Вольтерра попадает в область [Мг, М2, М ) > 0. Дви- [c.69]

На плоскости при > = О, согласно (3.16), (3.17), (3.19), (3.23), симплектический лист, соответствующий фазовому пространству редуцированной системы при А > О (условие компактности), вырождается в точку, при А < О в конус, а при А = О — в прямую. Для геометрической интерпретации получается соответственно, точка, угол на плоскости и прямая. Аналогичные утверждения справедливы и для одновременного коллапса N вихрей, случаи = 4,5 изучаются в [42]. Таким образом, движение вихрей возможно лишь при условии А < 0. Причем в случае А = О вихри движутся вдоль одной прямой. [c.81]

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. Нелинейные консервативные системы представляют собой частный случай класса систем Ляпунова, и их исследование входит в состав общих методов, построенных для систем Ляпунова. Но случай консервативной системы с одной степенью свободы допускает наглядную и важную по своим практическим приложениям геометрическую интерпретацию, и поэтому независимо от общей теории ляпуновских систем предварительное рассмотрение этого частного случая имеет значение, во-первых, как элементарное введение в теорию нелинейных колебаний вообще, и во-вторых, как простой способ ознакомления с основами качественной теории нелинейных систем — с методом фазовой плоскости. [c.473]

Предположим, что система состоит из одной точки. Приведенным пример показывает, что гармонический колебаниям точки соответствует движение изображающей точки в фазовой плоскости по эллипсу. Этот результат является частным случаем геометрической интерпретации, положенной в основу второго способа доказательства теоремы Лагранжа—Дирихле об устойчивости равновесия ( 87). [c.278]

Некоторые промежуточные выводы. Путем введения ряда упрощающих предположений, проведено понижение порядка в некоторой задаче моделирования плрскопараллельно-го движения тела в среде при струйном или отрывном обтекании. Редуцированная система допускает проведение полного качественного анализа на фазовой плоскости квазискоростей и геометрическую интерпретацию движения. [c.187]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Особенности системы. Это точки, в которых энергия (3.5) обращается в бесконечность, им соответствуют решения системы при которых два из трех слиты так, что возникает система двух вихрей, вращающихся вокруг центра завихренности. Па фазовом портрете (см. рис. 3) они выглядят как эллиптические особые точки. После регуляризующей замены времени А = М1М2Мз т особенности действительно превращаются в эллиптические неподвижные точки. Па геометрической интерпретации (рис. 4) особенностям соответствуют точки касания границы области возможного движения А = О с координатными плоскостями М = О, г = 1,2,3 (при [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...