Устойчивость на бесконечном интервале времени

Таким образом, в условиях ограниченной ползучести материала и геометрической нелинейности удается установить предел длительной устойчивости <7 кр и критическую деформацию 0кр (или Акр). Так как ползучесть ограниченная, при q<.q Kp и t x> система переходит из положения М в положение М (рис. 16.14), где деформация 0< 0кр. Система устойчива на бесконечном интервале времени. Если q>q Kp, несмотря на затухание скорости ползучести, характерное смещение фермы за конечное время достигает критического значения 0кр (или Акр) и создаются условия для потери устойчивости. Тогда при ( кр 9кр в условиях ограниченной ползучести является правомерной постановка вопроса об определении критического времени кр, необходимого для достижения критической деформации. [c.364]

Гл. 5 посвящена исследованию на устойчивость неоднородно-стареющих вязкоупругих стержней при различных способах закрепления концов стержня и способах его нагружения. Устойчивость изучена в нескольких принципиально различных постановках. Принятое определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определении устойчивости движения динамических систем по Ляпунову, а на конечном интервале времени — по Четаеву. Развиты общие методы исследования устойчивости. Установлены условия устойчивости армированных вязкоупругих стержней непосредственно в терминах характеристик рассматриваемых задач. Изучена зависимость критического времени потери устойчивости от параметров задачи (коэффициента армирования, упругих и реологических характеристик материалов стержня, величины нагрузки и т. д.). [c.10]

В настоящей главе изложены методы исследования на устойчивость неоднородно-стареющих вязко-упругих стержней при различных предположениях о способах закрепления концов стержня и способах его нагружения и установлены условия устойчивости. Устойчивость изучена в нескольких принципиально отличных постановках. Принятое ниже определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определению устойчивости движения динамических систем по Ляпунову. Для ряда ситуаций получены выражения критической силы потери устойчивости, сформулированные непосредственно в терминах параметров рассматриваемых задач. Представляет интерес поведение стержня на конечном интервале времени. Приведены постановки задач устойчивости на конечном интервале времени, исходящие из определений устойчивости движения динамических систем по Четаеву [1, 513]. Одна из постановок задачи устойчивости на конечном интервале времени состоит в определении ограничений на начальную погибь, при выполнении которых определяемый ею прогиб не превосходит заданного критического значения. Другая постановка задачи может быть связана с определением функционала, представляющего собой первый момент времени, именуемый критическим, к гда максимальная величина прогиба впервые достигает заданного значения. [c.230]

Постановка задачи устойчивости на бесконечном-интервале времени. Рассмотрим неоднородно-стареющий вязкоупругий стержень заданной длины I. В недеформиро-ванном состоянии стержень расположен вдоль оси Ох (см. рис. 5.1.1). На стержень действует продольная сила величины Р, приложенная в момент времени о в точке X = 0. Прогиб стержня в точке х в момент времени 1 обозначим через у 1, х). Предполагается, что в момент времени о — 0 непосредственно перед приложением силы стержень имел начальную погибь г/о х). Иными словами, [c.231]

Определение 1.1. [Стержень называется устойчивым на бесконечном интервале времени, если для любого 8 0 найдется такое б (е) 0, что из неравенства I Уй ( ) 1 б (е), X [0, 2], вытекает соотношение [c.231]

Обозначения в этом параграфе совпадают с обозначениям]ц из 1. Устойчивость на бесконечном интервале времени понимается в смысле определений 1.1—1.3, а на конечном в смысле определений из 1 п. 6. [c.257]

Условия устойчивости на бесконечном интервале времени. Поскольку способы исследования на устойчивость для различных ситуаций близки друг другу, ниже подробно изучается устойчивость стержня, нижний конец которого х = I заделан, а верхний свободен (рис. 5.2.1), под действием распределенной нагрузки. В отношении остальных случаев ограничимся постановкой задачи и формулировкой условий устойчивости. [c.260]

Устойчивость на бесконечном интервале времени. Уравнение для прогибов армированного вязкоупругого стержня имеет вид (3.2) [c.268]

Для исследования устойчивости квазистатического движения подход Ляпунова, соответствующий исследованию устойчивости на бесконечном интервале времени, малопродуктивен, так как с этой точки зрения практически все нелинейные системы являются неустойчивыми. Больший практический интерес представляет определение устойчивости решений дифференциальных уравнений на конечном интервале времени [24]. [c.129]

Для конструкций из материала с ограниченной ползучестью (модели упруговязкие и упруговязкопластические, модели наследственного типа с учетом старения), для которых правомерна постановка вопроса об устойчивости на бесконечном интервале времени, получено значительное число результатов, как в направлении разработки общей теории и методов решения задач, так и по отдельным конкретным задачам. В предположении, что об устойчивости можно судить, полагая возмущения малыми, уравнения возмущенного дви- [c.249]

В. Г. Попов и В. А. Телегин [121—123]. Общим для всех этих работ является исследование устойчивости на бесконечном интервале времени на основе линеаризованных уравнений для возмущенных решений. [c.252]

Замечания. 1°. Устойчивость в смысле определения 1.2.1 является устойчивостью на бесконечном интервале времени t g J = [io, +°о). На любом конечном промежутке времени [iq, Т] е J такого рода устойчивость является просто следствием непрерывной зависимости решений системы (1.2.1) от начальных условий. Таким образом, устойчивость есть не что иное, как непрерывная зависимость решений от x(io), равномерная по t е J. [c.45]

К задаче о (X, А, о. Г)-устойчивости близки задачи конечной устойчивости на бесконечном интервале времени, ограниченности решений дифференциальных уравнений, задача оценки точности приближенных интегрирований, [c.65]

Если при t oo мера f Q, то процесс называется асимптотически устойчивым. Как видим, по Ляпунову, устойчивость движения рассматривается на бесконечном интервале времени при возмущениях, действующих только в начальный момент времени U. Очевидно, что любое движение, не обладающее устойчивостью, по Ляпунову, на бесконечном интервале времени, будет удовлетворять определению Ляпунова на конечном интервале времени Т и этот интервал можно сделать сколь угодно большим соответствующим выбором е и б. [c.320]

Тем самым достаточность условия (1.19) для устойчивости вязкоупругого стержня на бесконечном интервале времени установлена. [c.243]

Интегрируя обе части (2.10) по х от точки х — О п подставляя в полученное соотношение (2.11), (2.12), (2.19), (2.27) — (2.30), окончательно заключаем, что прогиб у t, х) рассматриваемого стержня удовлетворяет неравенству вида (1.30). Тем самым устойчивость стержня на бесконечном интервале времени при выполнении требования (2.9) установлена. [c.255]

Ив этой формулы и (3.8), (2.11) вытекает справедливость (1.2). Тем самым достаточность условия (3.5) для устойчивости армированного вязкоупругого стержня на бесконечном интервале времени установлена. [c.265]

Приведены лишь условия устойчивости на бесконечном пн-тервале времени, а также результаты численного исследования устойчивости на конечном интервале времени. Используемые далее обозначения и предположения, а также определения устойчивости те же, что р в предшествующих параграфах этой главы. [c.268]

В зависимости от реологических свойств материала возможны две существенно различные постановки задач устойчивости тонкостенных элементов при ползучести [42, 44, 49, 51] 1) если материал обладает ограниченной ползучестью (бетон, полимеры), то устойчивость конструкции рассматривается на бесконечном интервале времени и определяется длительная критическая нагрузка [53, 65—68, 70, 73] 2) если материал обладает неограниченной ползучестью (преимущественно металлы при повышенных температурах), то устойчивость рассматривается на конечном интервале времени и критическое время определяется на основе выбранного критерия потери устойчивости. [c.5]

Исследованию устойчивости жестко защемленных по краю пологих сферических оболочек под действием равномерного внешнего давления, выполненных из материала, ползучесть которого описывается соотношениями линейной вязкоупругости, посвящены работы [11, 55, 56, 80, 81, 85, 89, 92]. Поскольку материал обладает ограниченной ползучестью, задача устойчивости может ставиться на бесконечном интервале времени. В ряде указанных работ определяется значение длительной критической нагрузки. Разрешающие уравнения строятся с учетом нелинейности геометрических соотношений. Время, при котором оболочка теряет устойчивость под действием давлений, превышающих длительное критическое, определяется моментом резкого возрастания скорости осесимметричного прогиба (хлопка). [c.9]

Из этого выражения, учитывая, что ползучесть рассмотренного. материала ограниченная, можно приближенно получить (Предел длительной устойчивости оболочки [6] на бесконечном интервале времени Л4с/- "=0,2055 ог/г , т. е. наименьшее значение критического момента для данной оболочки. [c.46]

Для исследования устойчивости равновесной конфигурации, которой соответствует решение системы (4.5), выбираем определение устойчивости решений дифференциальных уравнений по Ляпунову (на бесконечном интервале времени), которое применительно к рассматриваемым уравнениям сформулируем следующим образом [65] [c.128]

Ряд исследований длительной устойчивости был выполнен в связи с расчетом элементов бетонных конструкций И. Е. Прокоповичем с соавторами [130—133]. Ползучесть описывается линейной теорией наследственности с учетом старения. Сжатый шарнирно опертый стержень с начальным прогибом рассмотрен в [130]. Из условия ограниченности прогибов на бесконечном интервале времени для длительной критической, нагрузки получено Тд = Те/ где Те — эйлерова крити- [c.252]

Таким образом, для системы из материала с неограниченной ползучестью под действием нагрузки в условиях ползучести даже при малых возмущениях существует такое значение времени (критическое время), по истечении которого возмущенное состояние будет существенно отличаться от основного невозмущенного состояния. Постановка задачи устойчивости такой системы в условиях ползучести на бесконечном интервале времени оказывается невозможной, и интервал времени необходимо ограничивать. Задача определения критического времени в условиях ползучести возникает и для конструкций, выполненных из материала с ограниченной ползучесть в тех случаях, когда нагрузка, действующая на конструкцию, превышает длительную критическую нагрузку. [c.254]

Итак, видно, что (аппроксимация решения, получаемая путем усреднения) сходится к X, причем сходимость равномерна на интервалах, длина которых стремится к бесконечности npi е 0. Понятно, что многие качественные свойства дифференциальных уравнений (такие как существование и устойчивость почти-периодических решений) легче изучить для автономного уравнения (2.7), чем для (2,6). Процессы усреднения являются основой изучения этих свойств на бесконечных интервалах времени t е [ О, >) или i е( - , >) (см, библиографические замечания в конце главы). [c.345]

Отметим, что в этом методе заключение об устойчивости движения на бесконечном промежутке времени делается на основании результатов интегрирования на конечном интервале времени [О, Г]. [c.238]

Это позволяет изучать поведение системы в течение больших интервалов времени для близких к равновесию начальных условий. Однако этого недостаточно, чтобы определить, будет ли положение равновесия устойчивым по Ляпунову (из-за того, что на бесконечном отрезке времени влияние отброшенного остаточного члена ряда Тейлора может разрушить устойчивость). Такая устойчивость вытекала бы из точного приведения к аналогичной нормальной форме, без пренебрежения остаточными членами. Однако можно доказать, что это точное приведение, вообще говоря, невозможно, а формальные ряды для канонических преобразований, приводящих систему к нормальной форме, в действительности в общем случае расходятся. [c.352]

Что касается второй проблемы, связанной с исследованием соответствия свойств точных и приближенных решений на бесконечно большом интервале времени, то она далеко выходит за пределы содержания этом книги. Некоторые вопросы, относящиеся к этой проблеме, рассматриваются ниже, при Изучении основ теории устойчивости движения ). [c.296]

Равновесие здесь понимается в том смысле, что если разделять систему на части, руководствуясь значениями параметров, не связанных с изучаемым распределением дохода (например, пользуясь географическим местоположением и считая этот параметр и доход независимыми), то при делении системы на части по такому параметру функция распределения сохраняется. В этом случае несущественно сохранение числа организмов или сохранение дохода, нужна лишь эмпирическая уверенность в существовании инвариантной функции распределения для соответствующих параметров равновесия, в данном случае температуры и миграционного потенциала. Мы можем рассматривать эту систему в виде ряда систем, возникающих и уничтожающихся в течение бесконечных последовательных равных интервалов времени, — если при этом наблюдается устойчивость функции распределения организмов по параметрам фильтра, то это и является равновесием. [c.128]

Метод исследования, а также схема доказательств остаются теми же, что и в 1. Рассмотрим вначале, ради определенности, стержень, нижний конец которого (х = I) заделан, а верхний (х = 0) свободен (см. рис. 5.2.1). Стержень находится под действием постоянной продольной нагрузки g. Используемые ниже обозначения идентичны обозначениям из 1. Так, через у (t, х) обозначен прогиб стержня в точке х в момент времени t Iq, отс гитываемый от оси Ох. Начальная погибь при t о обозначена через у о х). Определения устойчивости на бесконечном интервале времени совпадают с определениями 1.1—1.3 предыдущего параграфа. Определения устойчивости на конечном интервале времени даны в п. 6 из 1. Изучим условия устойчивости в смысле определения 1.1. Введем в поперечном сечении стержня систему координат Ох х (см. рис. 4.1.2). Уравнение для прогибов у t, х) имеет вид (1.5). Изгибающий момент М (t, х) в этом уравнении равен [c.248]

В этом параграфе исследуется устойчивость неоднородно-стареющих армированных вязкоупругих стержней. Предполагается, что деформации и напря жения в арматуре связаны законом Гука. Свойства основного материала описываются уравнениями теории вязкоупругости неод-нородно-стареющих тел. При различных условиях закрепления концов стержня и способах нагружения установлено выражение критической силы в задачах устойчивости на бесконечном интервале времени. [c.257]

Для геометрически линейных систем при линейной ползучести, когда возмущенное движение описывается линейными дифференциальными уравнениями, устойчивость на бесконечном интервале времени вполне определяется спектром соответствующего оператора. Обращение к начальным условия1 имеет значение в связи с анализом возмущенных движений геометрически нелинейных систем (типа оболочек). Здесь даже при линейной ползучести необходим учет начальных.условий при исследовании ползучести. [c.248]

ДЛЯ деформаций. Существо дела здесь состоит в следующем. Пусть, к примеру, на оболочку типа сферического купола действует постоянное внешнее давление. За счет ползучести прогибы оболочки растут, но скорость этого роста затухает, и этот процесс деформирования до некоторых значений нагрузок будет устойчивым на бесконечном интервале времени по отндшению к малым возмущениям. Верхнйя граница таких нагрузок будет длительной критической нагрузкой. При больших значениях нагрузки несмотря на затухание скоростей деформации за конечное время могут накопиться достаточно большие перемещения, оболочка станет более пологой и произойдет ее прощелкивание. Для таких значений нагрузки становится правомерным определение критического времени в условиях ползучести как времени, когда произойдет смена форм равновесия. [c.253]

Пологий сферический купол из железобетона под действием внешнего давления рассматривал Г. С. Григорян [43]. Арматура считается упругой, ползучесть бетона описывается линеййой наследственной теорией Маслова — Арутюняна. Уравнения для прогибов с учетом геометрической нелинейности исследуются на устойчивость, и определяется максимальное значение нагрузки, при которой оболочка устойчива на бесконечном интервале времени. Пологая сферическая оболочка из линейного вязкоупругого материала под действием внешнего давления с учетом геометрической нелинейности рассматривалась в работах [114, 200, 249, 278, 300]. На основе анализа роста прогибов определялось критическое время про-щелкйвания. [c.253]

Возможные обобш,ения. Неравенство (2.9) является достаточным условием устойчивости неоднородно-стареющего вязко-упругого стержня на бесконечном интервале времени под действием распределенной продольной нагрузки и при других способах закрепления концов стержня. При этом меняется лишь числовое значение параметра А-о в (2.9). Так, для стержня с защемленным нижним концом при подвижной заделке верхнего конца = = 18,99/ . Для стержня с шарнирным опиранием нижнего конца при подвижной заделке верхнего Ао = 3,524/ . Кроме того, подобно 1, обосновывается достаточность неравенства (2.9) для устойчивости стержня в смысле определений 1.1, 1.2 при одновременном наличии возмущений начальной погиби и постояннодействующей боковой нагрузки. [c.255]

Устойчивость системы из материала с ограниченной ползучестью оказывается возможным рассматривать на бесконечном интервале времени. Для стержня из упруговязкогр материала постановка задачи устойчивости была предложена А. Р. Ржаницыным в 1946 г. [140, 141]. Закон-ползучести для такого материала имеет вид [c.247]

Никакого вывода о поведении незамкнутых фазовых кривых на бесконечном интервале времени (например, об устойчивости исходной периодической траектории по Ляпунову) из наших рассуждений не вытекает, так как отброшенные при приведении к нормальной форме члены высокой степени могут за бесконечное время совершенно изменить характер движения. В действительности в рассматриваемых условиях исходная периодическая траектория устойчива по Ляпунову, но док Сзательство требует существенно новых соображений по сравнению с нормальной формой Биркгофа (см. добавление 8). [c.365]

Установлены и исследованы основные краевые задачи нарагдиваемых тел, подверженных старению. Изучена структура ядер ползучести и релак-сацйи. Решен ряд конкретных задач о напряженно-деформированном состоянии Нарагциваемых тел, а также ряд смешанных задач. Рассмотрены задачи оптимизации армированных конструкций с учетом скорости возведения как при полной, так и неполной информации. Развиты общие методы исследования устойчивости и установлены условия устойчивости на конечном и бесконечном интервалах времени. Изложены принципы соответствия в линейной и нелинейной теории ползучести. [c.2]

В 1773 г. Лаплас опубликовал теорему, впоследствии уточненную Пуассоном (до второго порядка по возмущающим массам), из которой следовало, что Солнечная система устойчива в том смысле, что движение каждой планеты постоянно ограничено собственным сферическим слоем, причем слои разных планет никогда не пересекаются друг с другом. Другими словами, изменения больших полуосей являются чисто периодическими. Зате.м (в 1784 г.) Лаплас, воспользовавшись уравнениями движения планет в форме Лагранжа, пришел к выводу, что наклонения и эксцентриситеты планетных орбит должны все время оставаться малыми. Свои результаты он получил, учитывая лишь первые и вторые порядки этих малых величин. Американский астроном Саймон Ньюком [23] показал, что если массы всех тел, кроме одного, малы (по сравнению с массой единственного большого тела) и орбиты малых тел имеют малые эксцентриситеты и наклонения, то такая задача п тел имеет решение в виде бесконечных многократных периодических тригонометрических рядов. При этом, однако, оставался решающий вопрос о том, сходятся илн расходятся ряды Ньюкома. Если ряды сходятся, то реальные движения планет должны быть ква-зипериодическпми если они расходятся, то о поведении планетных орбит на больших интервалах времени ничего сказать нельзя. [c.278]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...