Проекции конических сечений

Проекции конических сечений [c.271]

Некоторые примеры практического применения поверхностей, образующими которых являются конические сечения, были приведены в 40 и 41. Построение ортогональных проекций конических сечений показано на рис. 267 и 268. [c.175]

Построение проекций конических сечений [c.129]

На черт. 261 для определения видя конического сечения и его ближайшей и самой удаленной точек использовано косоугольное проецирование на горизонтальную плоскость проекций. Направление проецирования. S выбрано параллельным фронтальному следу плоскости (я /,,р). [c.78]

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫЕ ЛИНИИ КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ АКСОНОМЕТРИЯ [c.5]

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ОКРУЖНОСТИ [c.70]

Т е о р е м а ортогональная проекция плоского сечения поверхности прямого конуса на плоскость, перпендикулярную к его оси, представляет собой кривую второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конической поверхности. [c.136]

Бертран сформулировал свою задачу так зная, что планеты описывают конические сечения, и не делая никаких добавочных предположений, найти проекции равнодействующей сил, действующих на планету, на радиальное и трансверсальное направления как функции координат точки ее приложения. [c.400]

Для конического сечения (рис. 56) dR — dim, а R dQ = RdQ (где и 0 — текущий радиус лопасти и центральный угол проекции лопасти), так как элемент длины окружности проектируется [c.140]

Цилиндрическое сверло (фиг. 182) имеет две режущие кромки на коническом конце, две калибрующие ленточки и две винтовые канавки для выхода стружки. Фронтальную проекцию сверла строят пользуясь горизонтальной проекцией (см. сечение А—А), выявляющей контур его поперечного сечения. После этого строят восемь винтовых линий, соответствующих восьми точкам контура сечения. [c.77]

Буферная коническая пружина. На фиг. 183 показаны проекции конической буферной пружины, свитой из стальной ленты прямоугольного сечения. Построение проведено в точном соответствии со всеми указаниями, сделанными выше при рассмотрении фиг. 179. [c.77]

То обстоятельство, что имеет место закон площадей для проекции движения на плоскость, проведенную через звезду Е перпендикулярно к радиусу ТЕ, соединяющему Землю со звездой, показывает (п. 208), что сила, действующая на звезду-спутник, постоянно пересекает прямую ТЕ. Так как это справедливо для всех двойных звезд и так как положение, занимаемое в пространстве Землей, никак не связано е двойными звездами, то естественно допустить, что сила, действующая на звезду-спутник, постоянно пересекает главную звезду Е. Так как сила центральная, то траектория будет плоско и так как ее проекция — эллипс, то она сама является эллипсом. В таком случае можно попытаться дать себе отчет и а природе силы, вызывающей это движение. Так как на каждую звезду-спутник действует сила, направленная к главной звезде и заставляющая звезду-спутник описывать эллипс, то закон этой силы, очевидно, таков, что движение спутника по коническому сечению, не зависит от того, каковы были начальные условия дви> е-ния спутника. Для нахождения этой силы необходимо решить следующую задачу. [c.343]

Второе уравнение равновесия составляется из равновесия участка оболочки, ограниченного сечением, проходящим через вершину оболочки, и некоторым коническим сечением. Приравнивая к нулю сумму вертикальных проекций всех сил, получим [c.127]

Построение линии сечения головки штанги фронтальными плоскостями (рис. 258). Головка штанги состоит из шаровой /, конической II и цилиндрической 11 поверхностей. Фронтальная проекция линии сечения головки штанги образована в результате пересечения шаровой и конической поверхностей фронтальными плоскостями (горизонтальный след обозначен ///). [c.193]

Фронтальная проекция линии сечения штанги получена в результате пересечения шаровой и конической поверхностей фронтальными [c.197]

Наклонный конус, изображенный на рис. 268, пересекается фронтально проектирующей плоскостью Р, параллельной его оси. Коническим сечением в этом случае будет гипербола, проекции одной из ветвей которой и построены на рис. 268. Полученная линия представляет собой геометрическое место точек пересечения прямолинейных образующих конуса с данной плоскостью. [c.176]

Точка движется по коническому сечению —2тх— —пх = 0 с постоянной по величине скоростью Vo. Определить проекции скорости этой точки на оси координат. [c.12]

Перспектива окружности, лежащей в предметной плоскости. Одной из наиболее часто встречающихся в технике плоских кривых линий является окружность. Ее перспективой может быть одна из кривых конических сечений. Действительно, совокупность проецирующих прямых, проходящих через все точки окружности, представляет собой коническую поверхность второго порядка перспектива окружности является сечением этой поверхности плоскостью (картинной). На рис. 586 показана перспектива а окружности а, лежащей в предметной плоскости. Все проецирующие прямые, проходящие через точки окружности (образующие поверхности), рассечены картинной плоскостью, следовательно, перспектива окружности в данном случае представляет собой эллипс. В частности, если сечение конической поверхности картинной плоскостью окажется антипараллельным сечению той же поверхности предметной плоскостью (это сечение не что иное как заданная окружность), то проекцией окружности будет также окружность. [c.403]

Перспектива окружности, инцидентной предметной плоскости. Перспективой окружности может быть одна из кривых конических сечений. Множество проецирующих прямых, проходящих через все точки окружности, представляет собой коническую поверхность второго порядка перспектива окружности является сечением этой поверхности картинной плоскостью. На рис. 535 показана перспектива а° окружности а, инцидентной предметной плоскости. Все прямые, проецирующие точки окружности, рассечены картинной плоскостью, следовательно, перспектива окружности — эллипс (см. /105/). Когда окружность (рис. 536) касается предельной плоскости, ее перспективой будет парабола (образующая SS параллельна картинной плоскости см. /106/). Если окружность (рис, 537) пересекает предельную плоскость в двух точках, то перспективой окружности становится гипербола (предельная плоскость пересекает коническую поверхность по двум образующим AS и BS, которые параллельны картинной плоскости см. /107/. Если бы не было условия, что можно проецировать только то, что расположено по одну сторону предельной плоскости (см, первое условие отличия перспективы от центральной проекции), то можно было бы построить проекцию и той части окружности, которая расположена за предельной плоскостью (вторую ветвь гиперболы). [c.213]

Секущая плоскость, параллельная одной образующей конуса,, пересекает коническую поверхность по параболе, например фрон-тально-проецирующая плоскость Р (рис. 260, а). Фронтальные проекции фигуры сечения — отрезок а Ь — п плоскости Р совпадают. На плоскости Н я Ш фигура сечения проецируется в виде параболы, величина которой искажена, так как плоскость Р наклонена к этим плоскостям проекций. На плоскости Н вначале строят проекции вершины параболы — точку а — и линии пересечения плоскости Р с основанием конуса — отрезок Ьс (рис. 260,а). [c.145]

Секущая плоскость, параллельная двум образующим конуса, пересекает коническую поверхность по гиперболе. При этом секущая плоскость может быть наклонена к оси конуса или быть параллельной ей (рис. 261, а). В данном примере горизонтальная и профильная проекции фигуры сечения — отрезки Ьс и а"Ь", так как секущая плоскость Р перпендикулярна плоскостям Н и W. На фронтальной проекции сначала строят точки А (вершину), В я С, которые получают без вспомогательных линий. Фронтальные проекции остальных точек гиперболы строят с помощью вспомогательных окружностей (см. построение точек / и 2 на рис. 261, б). [c.145]

Отметим существование теоремы, которой будем пользоваться при построении проекций кривых — конических сечений. [c.129]

Коническое сечение, не проходящее через вершину конуса (рис. 1—4), можно рассматривать как проекцию окружности па секущую плоскость (проектирующие прямые совпадают с образующими). [c.18]

Если построить коническую поверхность с круговым основанием, вершина которой совпадает с точкой А, ось вертикальна, и угол межлу осью и образующей равен наблюденному углу, что вполне определяет поверхность, то она пройдет через визирную лин , направленную в точку А, и, следовательно, через определяемый пункт таким образом, будет найдена первая кривая поверхность, на которой находится искомая точка. Рассуждая таким же образом для двух других точек В я С, мы найдем, что искомая точка лежит также на двух других конических поверхностях с круговыми основаниями, оси которых вертикальны, а вершины лежат в точках В и С, и для каждой из которых угол между осью и образующей будет равен углу между вертикальной линией и соответствующей визирной линией. Поэтому искомая точка будет лежать одновременно на трех конических поверхностях, определенных по форме и положению, и, следовательно, на их взаимном пересечении. Поэтому вопрос сводится к построению, на основании всех данных величин, горизонтальной и вертикальной проекций линий сечения трех поверхностей, рассматриваемых попарно пересечения этих проекций дадут горизонтальную и вертикальную проекции искомой точки, и, следовательно, ее положение на карте и ее высоту относительно точек сравнения, что определит ее числовую отметку. [c.142]

Теорема Польке-Шварца как частный случай теоремы Шура. Чтобы получить теорему Польке-Шварца, надо в качестве конического сечения Р, фигурирующего в теореме Шура, взять абсолютную окружность (примечание 3, стр. 117) плоскость ш, таким образом, будет несобственной. Точки и Л/о, являющиеся точками пересечения плоскости. 7 0 ( абсолютной окружностью, суть мнимые круговые точки плоскости 11 , а точки М и N — мнимые круговые точки плоскости Проективное соответствие между двумя плоскими полями, в котором мнимым круговым точкам одного поля соответствуют мнимые круговые точки другого поля, есть подобие. Таким образом, четырёхугольник ОАВС в этом случае будет подобен четырёхугольнику Центр проекций 5 в этом случае будет несобственным, т. е. мы будем иметь параллельное проектирование. Пучки плоскостей, проходящих через прямые Ж1Л/2, или М. Ыо, в этом случае будут пучками параллельных плоскостей. [c.76]

Разрез А — А потребовался только для того, чтобы выявить контурные очертания внутреннего прилива на конической поверхности, так как две другие проекции — главное изображение и сечение И — [c.73]

Разрез Л—А потребовался только для того, чтобы выявить контурные очертания внутреннего прилива на конической поверхности, так как две другие проекции — главное изображение и сечение И—И форму этого прилива полностью не раскрывают. [c.66]

Построить проекции линии пересечения а) конической поверхности с поверхностью эллипсоида вращения (рис. 264, а) б) поверхности тора с поверхностью параболоида вращения (рис. 264, б). В обоих случаях построить сечения А—А. [c.220]

Точки К и К 2 на очерковых образующих фронтальной проекции конуса определены с помощью фронтальной плоскости о> , пересекающей плоскость р по фронтали f. Верхняя и нижняя точки сечения определены с помощью плоскости ( ), перпендикулярной к горизонталям плоскости (1 Плоскость и>2 пересекает коническую поверхность по образующим k.i и а плоскость по линии /—2. Заметим, что линия 1—2 может быть определена без помощи точки 2, так каК она проходит через точку пересечения оси конуса с фронталью / , Точки пересечения линии /—2 с образующими и являются высшей /Сз и низшей Кл точками искомой кривой. Так как обе эти точки расположены на одной поле конической поверхности и ни одна из них не является несобственной, кривая линия представляет собой эллипс. Центр его — точка С — является серединой отрезка [Кз - К-)]. Касательные к эллипсу в точках Кз и К горизонтальны. [c.77]

Рассмотрим сечение однополостного гиперболоида вращения плоскостью о, проходящей через его центр. Одна ось эллипса горизонтальной проекции сечения будет равна диаметру горла, другая, как очевидно из чертежа, если плоскость а наклонна,— всегда больше этой величины. В плоскостях, параллельных плоскости о, сечения всех гиперболоидов, имеющих общую асимптотическую коническую поверхность р, а также сечения этой конической поверхности, будут подобны. Поэтому будут подобны и их проекции на плоскости, перпендикулярной к оси вращения. [c.97]

Множеством прямых линий, проходящих через точку А и составляющих с плоскостью Л данный угол ф° (черт. 336, б), является коническая поверхность вращения р с вершиной в точке А и осью, перпендикулярной к плоскости Л . Прямая А —В является ее образующей. Построив фронтальную (очерковую) образующую конической поверхности р, проведем через точку В(В") горизонтальную плоскость, которая в сечении поверхности р даст окружность т. Горизонтальная проекция точки В должна находиться на линии т[ Задача имеет два решения отрезок [А"— — В" является фронтальной проекцией отрезков [А — В и [А — В2]. [c.115]

Очевидно, если плоскость Ф перпендикулярна оси i конической поверхности, то в сечении получаем окружность. Поэтому часто говорят, что центральной проекцией окружности (центр проецирования— вершина конической поверхности) может быть любая кривая второго порядка, вид которой зависит от выбора плоскости проекций. [c.70]

ОсиЛ , Лт1,Л подвижной системы координат Л направим вдоль векторов з- Проекции возмущающего ускорения Ф на эти оси обозначим соответственно через Фх, Фз, Фд. Если бы в момент t прекратилось действие возмущающей силы Рв то спутник стал бы двигаться по какому-то коническому сечению (по кеплеровой орбите). Обозначим элементы этой орбиты относительно системы отсчета Ахуг через [c.268]

Пусть А я a (фиг. 29) проекции вершины конуса или центра конической поверхности, B DE — след этой поверхности в горизонтальной плоскости, fg—вертикальная проекция секущей плоскости и G/—ее горизонтальный след. Вообразим ряд плоскостей, проходящих через вершину конуса и перпендикулярных к вертикальной плоскости проекций вертикальными проекциями этих плоскостей будут прямые а с, проходящие через проекцию вершины горизонтальными следами будут прямые сС, перпендикулярные к LM, которые пересекут след конической поверхности в некоторых точках С, С, ... Эти плоскости пересекут поверхность по прямым, вертикальными проекциями которых будут прямые а с..., а горизонтальные проекции получим, проводя через точку А прямые СА, С А,... Эти плоскости пересекут также заданную плоскость по прямым, перпендикулярным к вертикальной плоскости. Проекциями этих прямых будут точки А... пересечения fg с прямыми а с..., и их горизонтальные проекции получим, опуская из точек А... неопределенные перпендикуляры hH на LM. Прямые hH пересекут соответствующие прямые С А, С Л,... в точках Н, Н. .., которые будут горизонтальными проекциями такого же числа точек искомой линии сечения и кривая PHQH, проходящая через все построенные точки, будет проекцией линии сечения. [c.109]

Первая теорема Круппа. Для того чтобы данная плоская дезаргова конфигурация являлась центральной проекцией некопюрого равнобедренного прямоугольного тетраедра, необходимо и достаточно, чтобы коническое сечение являлось окружностью (разумеется, мнимой). [c.81]

Часто на чертежах различных деталей (отливок, поковок) требуется строить проекции кривых линий, по которым плоскости пересекаются с различными телами вращения. Такие кривые линии называются линиями среза и строятся но точкам. Лштиями среза являются, например, линия плоского сечения дегали, ограничеп1юй сферической, цилиндрической и конической поверхностями (рис. [c.102]

Постройте проекции винтовой конической ленты, руководствуясь рис. 8.4 и 8.11. (В конической пружине прнмоугольиого сечения они ограничивают ее наружную и внутреннюю поверхности.) [c.222]

Плоскость р проецируется линией р, совпадающей с гори.юнтальным следом плоскости окружность основания конуса, лежащая в плоскости Л2, проецируется отрезком [3 —4 , лежащим на оси х, а вершина конуса — точкой V По дополнительной проекции можно заключить, что сечение представляет собой эллипс, так как все образующие конической поверхности пересекаются плоскостью При этом эллипс проецируется отрезком прямой линии [К з — К - В результате того, что проецирование производилось фронтальными линиями, расстояние точек сечения от плоскости Л2 равно расстоянию их дополнительных проекций от этой плоскости. Поэтому, очевидно, точка Кз является ближайшей к наблюдателю [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...