Теорема Польке — Шварца

Ответ на этот вопрос дает теорема Польке - Шварца, которая в упрощенном изложении утверждает аксонометрические оси на плоскости П чертежа и показатели искажения по ни.м могут быть выбраны совершенно произвольно. [c.55]

В основе идеи метрической адекватности пространственно-графической модели лежит известная теорема Польке— Шварца, согласно которой произвольному в метрическом отношении заданию тетраэдра соответствует проекция, которая дает изображение оригинала, совпадающее с заданным. Возможно решение и обратной задачи по произвольному изображению тетраэдра определяется метрическая структура оригинала. Для последнего действия необходимо предварительно задать на изображении пять параметров, пять произвольно выбранных метрических условий. [c.45]

Теорема Польке — Шварца [c.44]

Смысл теоремы Польке — Шварца заключается в том, что произволь- [c.47]

Теорема Польке — Шварца 44 Тождественное соответствие 65 Тор 204, 383 Тороида 258 [c.416]

Теорема Польке-Шварца. Направление аксонометрических осей и показатели искажения по ним (а следовательно, и аксонометрические масштабы) могут быть выбраны произвольно. Это явствует из теоремы Польке-Шварца [c.323]

Важнейшим следствием теоремы Польке-Шварца является вывод о том,что можно взять произвольное расположение аксонометрических осей и любые показатели искажения по ним. Действительно, пусть вершина О тетраэдра — начало координат, а ребра ОА, ОВ и ОС — оси координат. Тогда аксонометрическими осями будут прямые 0 Л , 0 В и 0 С. Их направление в соответствии с теоремой может быть выбрано произвольно. Вследствие того, что отношение длин отрезков 0 Л , 0 В и 0 С друг к другу может быть принято каким угодно, показатели искажения тоже могут быть любыми. [c.324]

Следствие теоремы Польке—Шварца [c.179]

ТЕОРЕМА ПОЛЬКЕ—ШВАРЦА. Всякий невырожденный полный четырехугольник (см. полный четырехугольник) можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра любой наперед заданной формы . Теорема эта принимается как основное предложение параллельной аксонометрии, так как в полном четырехугольнике можно найти все параметры аксонометрической проекции — и плоскую систему координат, и отложенные на ее осях отрезки определенной длины. Вместе с тем все это представляет собой параллельную проекцию пространственной системы координат, имеющейся в составе тетраэдра, и его ребер. Четвертая же вершина тетраэдра и ее проекция инвариантно связаны с указанными системами координат. [c.120]

Теорема Польке-Шварца даёт утвердительный ответ на этот вопрос. От полного решения проблемы требуется, чтобы было показано, как именно осуществить это проектирование, и чтобы было исследовано число решений. [c.61]

Мы не будем излагать первых доказательств теоремы Польке, утративших своё значение после появления работы Шварца, а перейдём сразу к этой работе. [c.64]

Теорема Польке-Шварца [c.65]

Теорема Польке-Шварца как частный случай теоремы Шура. Чтобы получить теорему Польке-Шварца, надо в качестве конического сечения Р, фигурирующего в теореме Шура, взять абсолютную окружность (примечание 3, стр. 117) плоскость ш, таким образом, будет несобственной. Точки и Л/о, являющиеся точками пересечения плоскости. 7 0 ( абсолютной окружностью, суть мнимые круговые точки плоскости 11 , а точки М и N — мнимые круговые точки плоскости Проективное соответствие между двумя плоскими полями, в котором мнимым круговым точкам одного поля соответствуют мнимые круговые точки другого поля, есть подобие. Таким образом, четырёхугольник ОАВС в этом случае будет подобен четырёхугольнику Центр проекций 5 в этом случае будет несобственным, т. е. мы будем иметь параллельное проектирование. Пучки плоскостей, проходящих через прямые Ж1Л/2, или М. Ыо, в этом случае будут пучками параллельных плоскостей. [c.76]

Аналог теоремы Польке-Шварца в центральной аксонометрии [c.93]

Мы докажем следующую теорему, являющуюся, по нашему мнению, естественным обобщением теоремы Польке-Шварца в случае центральной проекции. [c.93]

Следовательно, согласно теореме Польке-Шварца можно выбрать плоскость т так, что четырёхугольник О (ОА, ОВ, ОС) будет подобен четырёхугольнику 0 (0 Л°, 0 С ). [c.102]

Первой теоремой существования являегся теорема Польке-Шварца (см. статью Н. М. Бескина в настоящем сборнике). [c.223]

Теорема Польке — Шварца. При построении наглядных изображений в параллельных проекциях следует иметь в виду теорему Польке — Шварца, содержание которой сообщим без доказательства ). [c.336]

Теорема Польке — Шварца утверждает, что можно указать такое положение этого тетраэдра по отношению к плоскости П, и такое направление [c.336]

Изображение осей координат. Теорема Польке — Шварца дает нам возможность любую систему координат изображать на чертеже так, как это нам будет удобно. В самом деле, если произвольный четырехугольник О А ВС (рис. 352) с его диагоналями можно рассматривать как параллельную проекцию треугольной пирамиды любой формы, то можно утверждать, что в пространстве отрезки ОА, ОБ и ОС равны между собой. Их можно, таким образом, принять за масштабные отрезки осей координат, а точку О — за начало координат. В общем случае это будет косоугольная система. [c.336]

Основанием этого является теорема Польке—Шварца, для доказательства которой Г. А. Шварц пользуется леммой любой треугольник можно ортогонально спрофи-ровать в треугольник, подобный любому другому треугольнику. [c.5]

В области обоснования аксонометрии выдающуюся роль сыграл профессор Академии изобразительных искусств и Строительной академии в Берлине Карл Пельке (1810—1876), открывший в 1853 г. основную теорему аксонометрии. Первое обобщение и элементарное доказательство этой теоремы сделал в 1864 г. немецкий геометр Г. А. Шварц. Обобщенная им основная теорема стала с этого времени называться теоремой Польке — Шварца. Простое доказательство теоремы Польке дал в 1917 г. професор Московского университета А. К- Власов. Московский геометр профессор Н. А. Глаголев показал, что теорема Польке представляет собой предельный случай более общей теоремы о параллельно-перспск-тивном расположении двух тетраэдров. Для центральной аксонометрии теоремы, аналогичные теореме Польке — Шварца, доказал в 1910 г. австрийский геометр Эрвин Крупна. Простейшие доказательства теорем Крупна, а также их уточнение были даны советскими геометрами. Исследование основного предложения аксонометрии советские геометры продолжили также и для случая проектирования двух систем координатных осей. [c.168]

Теорема Польке — Шварца. Всякий невырождающийся полный четырехугольник можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра наперед заданной формы. [c.45]

Практическое значение теоремы Польке — Шварца будет выяснено позднее (глава XII). Однако теперь же можно сказать, что эта теорема позволяет сделать весьма общий вывод относительно проекции прямоугольной системы координат в пространстве. Если представим себе прямоугольную систему координат Oxyz и отложенные по осям координат единичные (масштабные) отрезки ОЕ =ОЕ =ОЕ , то получим так называемый масштабный тетраэдр ОЕ,. Е Е . Применяя теорему Польке — Шварца к этому случаю, когда тетраэдр-оригинал является масштабным тетраэдром, будем иметь [c.47]

Теперь можно перейти к доказательству теоремы Польке-Шварца. Для этого рассмотрим рис. 467, на котором изображен тетраэдр ОАВС. Нужно доказать, что, проецируя тетраэдр на плоскость, можно получить четырехугольник вместе с его диагоналями, подобный заданному четырехугольнику OiBiAi i (показан в левой верхней части чертежа). [c.323]

В литературе, посвящённой классической теореме Польке-Шварца и её обобщению на случай центральной проекции, вопрос ке расс.матривался с той точки зрения, какая изложена в этом п°. Поэтому, по наше у]у мнению, существующие [c.61]

Третий период — от 1885 до 1910 г. Следующий существенный шаг вперёд был сделан в 1885 г. Фридрихо.м Шуром р], который придал теореме Польке-Шварца проективный характер. [c.63]

Работа Шварца. В настоящее время теорема Польке-Шварца доказывается весьма просто на основании свойств аффинных соответствий такие доказательства читатель может найти в распространённых учебниках Н. А. Глаголева и И. Ф. Четверухина Мы приведём первоначальное доказательство Шварца. Читатель увищт, что его идея сохранена в современных доказательствах, которые отличаются от него лишь некоторыми упрощениями. [c.65]

Теперь перейдём к доказательству теоремы Польке-Шварца. Пусти. Р Д, О В, О С суть три некомпланарные отрезка в пространстве, выходящие из точки О, и пусть отрезки 0.4, ОВ, ОС пиедставляют их параллельную проекцию на [c.70]

Это. объясняется тем, что Круппа считает в теореме Польке-Шварца существенным, что в ней получается в проекции фигура, подобная наперёд заданной, и хочет сохранить в своём обобщении подобие получаемой проекции и наперёд заданной фигуры. Мы же считаем, по соображениям, изложенным в п 3, что подобие, фигурирующее в теореме Польке-Шварца, есть та степень искажения, которую нужно допустить, чтобы задача была вполне определённой. В центральной проекции эта степень искажения иная — унимодулярно-аффин-ное преобразование. [c.93]

В этой формулировке ясно обнаруживается аналогия с теоремой Польке-Шварца, которая может быть сформулиро- ана так [c.107]

Н. ivl. Бескин, Аналог теоремы Польке-Шварца в центральной аксонсуетрии. [Математический Сборник, 19(61), вып. 1 (1946), стр. 57 — 72.] [c.126]

Предположим, что нам дано полное изображение Ф. Фигуре AB D этого изображения должен соответствовать в оригинале некоторый (основной) тетраэдр A B D, форма которого по теореме Польке-Шварца может быть выбрана произвольно. После того как основной тетраэдр задан, все остальные точки оригинала находятся по их аффинно-инвариантным координатам, которые определяются по изображению Ф. Предположим, что заданы два различных основных тетраэдра Л/Si i Di и A B D . Мы получим два различных оригинала Ф/ и Ф для нашего изображения Ф. Аффинное преобразование, определяемое тетраэдрами А Bi i D и А, B [c.196]

Таким образом, согласно теореме Польке — Шварца изображением произвольного тетраэдра может служить любой четырехугольник вместе с его диагоналями. Поэтому мы можем совершенно произвольно нарисовать любую треугольную пирамиду. Будет ли изобрал<ение несколько больше или меньше ее параллельной проекции, — это во многих случаях не имеет существенного значения. [c.336]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...