Пересечение поверхности с плоскостью и с прямой Пересечение поверхности с плоскостью

Задание поверхности дискретным каркасом. При моделировании и воспроизведении кривых поверхностей необходимо задать алгоритмы вычисления координат точек, принадлежащих поверхности. Поэтому на чертеже поверхность задается дискретным каркасом, в котором линии каркаса выбраны с необходимым для практики шагом. Эти способы задания поверхностей удобны для реализации с помощью ЭВМ. Поверхность представляется в ЭВМ координатной моделью - координатами множества принадлежащих ей точек. В дальнейшем поверхность аппроксимируется множеством кусков плоскостей или аналитически простых поверхностей. После этого многие стандартные операции-построение точек на поверхности, пересечение поверхности прямой, плоскостью и другой поверхностью могут выполняться стандартными программами. [c.124]

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника производится тем же приемом, что и построение точки пересечения прямой с плоскостью, но конкурирующая с данной прямой линия проводится не на плоскости, а на поверхности многогранника. Поэтому эта линия будет представлять собой ломаную линию, сторонами которой будут служить отрезки прямых, лежащих в гранях многогранника и конкурирующих с данной прямой. Точки пересечения данной прямой с вспомогательной линией и будут точками пересечения прямой с поверхностью многогранника. Если прямая не будет пересекаться с вспомогательной линией, то это означает, 4to прямая не пересекается с многогранником. [c.65]

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ [c.260]

Точки пересечения прямой с поверхностью любого геометрического тела находят общим способом через прямую проводят вспомогательную плоскость, строят фигуру сечения тела плоскостью и отмечают точки пересечения прямой с ее контуром. Э%и точки и являются искомыми. [c.146]

Для построения падающей тени от точки на плоскость общего положения или поверхность (рис. 189) следует через точку провести световой луч и построить точку пересечения его с плоскостью или поверхностью. Так как световой луч является прямой линией, то построение тени точки сводится к построению точки пересечения прямой с плоскостью или поверхностью (см. 8, рис. 30). [c.144]

Градуированная поверхность наклонного кругового (эллиптического) конуса изображена на рис. 418. Линией ската, проходящей через вершину такой поверхности, является одна из двух образующих, представляющих собой линии пересечения поверхности с плоскостью симметрии, и имеющая больший угол наклона к плоскости П1. Такой образующей в приведенном примере является прямая Линия ската, проведенная через любую точку конической поверхности, не принадлежащей образующей Л5, не может быть прямой линией ее уклон в разных местах поверхности, различен. (Построение линий ската поверхности мы рассмотрим ниже.) Ввиду того, что линии ската, проходящие через различные точки наклонной круговой конической поверхности, имеют разный уклон, построить единый масштаб уклонов для такой поверхности нельзя. [c.282]

Ограничиваясь лишь самым необходимым и никак не претендуя на полноту, начнем с обязательных для науки первичных представлений - их называют определениями и аксиомами. Прямой линией будем называть линию наименьшей длины, проходящую через две заданных точки. На плоскости - это известная из школьной геометрии прямая. На сфере прямой оказывается дуга большого круга, или - в понятиях Евклида - линия пересечения поверхности сферы с плоскостью, проведенной через две точки на сфере, определяющие прямую, и центр сферы. Как и на плоскости, через две точки А и В можно провести единственную прямую, исключая случай, когда эти точки и центр сферы О лежат на одном диаметре через полюса Р и Р сферы можно провести сколь угодно много разных прямых. Длина всех прямых на сфере в отличие от евклидовой конечна, и - еще более странно - одинакова А расстояние между двумя любыми точками на сфере не может превзойти некоторую постоянную. Чему равна эта постоянная [c.11]

Если мы рассмотрим первую коническую поверхность с вершиной иа заданной прямой, описанную вокруг шара, и предположим, что эта поверхность движется таким образом, что ее вершина скользит по прямой и при этом она все время остается описанной около шара и касательной к нему, то в каждом из своих положений коническая поверхность будет касаться шара по окружности круга все окружности будут проходить через те же две точки, которые будут точками касания шара с двумя касательными плоскостями, и плоскости этих кругов пересекутся все по одной прямой линии, проходящей через обе точки касания. Наконец, если мы рассмотрим плоскость, проходящую через заданную прямую и центр шара, то эта плоскость, проходящая через оси всех конических поверхностей, будет перпендикулярна и плоскостям всех окружностей касания, и, следовательно, прямой, являющейся их общим пересечением она пересечет все эти плоскости по прямым линиям, проходящим через одну точку. [c.73]

Для определения на плоскостях направляющих линий направлений следов вспомогательных плоскостей через произвольно выбранную точку кк проводим прямые линии kl, к Г и к2, к 2, параллельные образующим поверхностей. Точки 1Г и 22 являются точками пересечения этих прямых линий с плоскостями Му и и 1-. Через точку 22 проводим прямую линию 23, 2 3, параллельную прямой kl, к ], и находим точку 33 ее пересечения с плоскостью Mv. [c.245]

Определим направления следов вспомогательных плоскостей на плоскостях N/ и Му направляющих линий. Выбираем гори-зонтально-проецирующую плоскость Nih параллельно плоскости и точку кк вне этой плоскости. Через точку кк проводим прямые линии к], к Г и к2, к 2, параллельные направлениям образующих заданных поверхностей, и строим точки их пересечения 1Г к 22 с плоскостью N, . Таким образом, вспомогательные плоскости имеют следы на плоскости JV , параллельной плос- [c.245]

Четвертая группа задач пересечение прямой с другой прямой, а также с плоскостью и поверхностью. [c.58]

Решение. Через прямую А В (рис. 243, б) проводим фронтально-проецирую-шую плоскость R и находим кривую пересечения ее с заданной поверхностью. Так же, как в задаче 257, берем на прямой D ряд точек, проводим через них образующие параллельно плоскости параллелизма Р) и строим точки пересечения этнх образующих с плоскостью R. Получаем кривую с проекциями / 2, 1—2 и точку пересе. ения проекций 1—2 и аЬ — точку k. Эго горизонт, проекция искомой точки. По k Заходим k на а Ь. [c.198]

Пересечение гранной поверхности с плоскостью общего положения строят двумя способами способом пересечения прямой с плоскостью (его ещё называют способом рёбер) и способом плоскостей посредников (или способом граней). [c.93]

Чтобы найти образующие касания плоскостей а и / , параллельных заданной прямой а, проведем через вершину S конуса прямую hit а. Через Ь проводим горизонтально проецирующую плоскость 6 (см. след (i,), затем находим две точки (/ и 2) прямой пересечения плоскостей <5 и основания конуса. Точка М является пересечением прямой h с плоскостью основания конуса. Проведя из точки М касательные МК н М L к основанию конуса, находим точки касания К н L. По образующим SK и S Lu происходит касание двух плоскостей (параллельных а) с поверхностью конуса. [c.132]

Прямолинейная образующая А В построена с помощью точек пересечения направляющих с плоскостью / , которая параллельна а. Так. А = тпр и 5=иП/ . Аналогично определены п другие прямые, принадлежащие каркасу линейчатой поверхности. [c.175]

В этом случае (черт. 419), проградуировав заданную прямую А В, проводят через нее вспомогательную плоскость. Далее определяют точки пересечения одноименных горизонталей плоскости и топографической поверхности. Множество найденных точек является линией пересечения плоскости и поверхности, а точка К, в которой пересекаются заданная прямая АВ с найденной линией сечения, и является точкой, общей для заданной прямой и топографической поверхности. [c.192]

На черт. 264 определены точки пересечения поверхности вращения а и прямой линии т. Через прямую т нельзя провести вспомогательную плоскость, пересекающую поверхность по окружности. Поэтому применена одна из проецирующих плоскостей горизонтально проецирующая плоскость о). Построена линия I пересечения поверхностей а и (U. Эта кривая определена с помощью [c.81]

Для построения линии взаимного пересечения двух кривых поверхностей пользуются методом вспомогательных секущих поверхностей (см. черт. 253). В качестве этих поверхностей используют не только плоскости, но и в некоторых случаях сферы, цилиндрические, конические и другие поверхности. Вспомогательные поверхности выбирают таким образом, чтобы с данными они пересекались по линиям, легко определяемым на чертеже. Желательно с этой точки зрения, чтобы эти линии получались прямыми или окружностями. что позволяет проводить их только с помощью циркуля и линейки. [c.87]

Линия пересечения кривой поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую, которая может распадаться и на прямые линии в случае пересечения плоскости с линейчатой поверхностью по ее образующим. Обычно построение этой линии производят по ее отдельным точкам. [c.150]

Так как линия пересечения поверхности с проецирующей плоскостью, проведенной через данную прямую, и данная прямая являются конкурирующими линиями, то общий прием построения точек пересечения прямой с поверхностью можно сформулировать так [c.165]

Проведем из точки О пересечения осей данных поверхностей, как из центра, произвольную сферу, пересекающую каждую из данных поверхностей, эта сфера будет соосна с данными поверхностями. Сфера пересечется с каждой из данных поверхностей по окружностям. Эти окружности изобразятся на плоскости проекций Пг отрезками прямых, что следует из параллельности осей данных поверхностей плоскости Пг. В пересечении отрезков прямых, изображающих окружности, мы получим проекции точек, принадлежащих обеим данным поверхностям, а значит, и искомой линии пересечения. [c.190]

К теме 8. Пересечение поверхностей плоскостью и прямой линией. I. Укажите общую схему определения точек линии пересечения поверхности плоскостью. 2. Какие точки линии пересечения поверхности плоскостью называют главными (опорными) 3. Укажите последовательность графических построений при определении точек пересечения прямой с поверхностью. 4. Укажите условия, при которых в сечении конуса вращения плоскостью получается окружность, эллипс, гипербола, парабола, пересекающиеся прямые. 5. Укажите последовательность графических построений при определении линий пересечения плоскостями поверхностей второго порядка общего вида. [c.29]

Пересечение гранной поверхности с плоскостью и прямой [c.120]

На черт. 202 коническая поверхность задана вершиной и направляющей , расположенной в плоскости П. В качестве вспомогательной поверхности возьмем такую плоскость а, которая включала бы данную прямую I и пересекала коническую поверхность по образующим. Очевидно, что такая плоскость определяется прямой / и точкой S — вершиной конической поверхности. Построив с помощью точек М = = 5/(ПП и iV = /nn прямую /) = аПП, отметим ес пересечения с направляющей п(В = рПп, С = = рПп). Остается провести те образующие SB и S , которые, пересекаясь с заданной прямой /, определяю искомые точки K = IDSB и L = [c.92]

При пересечении поверхности плоскостью, касательной к этой поверхности в какой-либо ее точке, могут получиться две прямые с пересечением в этой точке, прямая и кривая, две кривые. Например, однополостный гиперболоид вращенвя, т. е. линейчатая поверхность с двумя прямыми образующими, может быть пересечен по двум пересекающимся прямым линиям. То же мы видим в отношении гиперболИ йского параболоида (рж . 321). [c.227]

Примером пересечения по прямой и кривой могут служить случаи пересечения линейчатой неразвертываемой поверхности, например пересечение поверхностей с плоскостью параллелизма, винтовых поверхностей с прямолинейной образующей (кроме разверзаемого геликоида). [c.227]

Прежде всего, построим образующие того семейства, плоскостью параллелизма которого является плоскость Р, для чего возьмем некоторую плоскость Р, (показана штрихами), параллельную Р. Точки / и 2 пересечения плоскости Р с направляющими ММ и МхМу определят положение одной из образующих А В . Перемещая плоскость Рх параллельно плоскости Р, можно построить целый ряд образующих первого семейства, представленных на рис. 272 прямыми А В , А В . Кроме созданного первого семейства образующих, поверхности гиперболического параболоида принадлежат две прямолинейные направляющие ММ и МхМу которые и должны принадлежать второму семейству. Последнее утверждение основано на том, что гиперболический параболоид является только дважды линейчатой поверхностью. Вторая плоскость параллелизма будет определена двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными прямым ММ и МхМх. [c.175]

В рассматриваемом случае представляет собой поверхность усеченного конуса. Через базовую точку А на детали под углом у проводим переднюю плоскость Р. Подобно профилированию призматических резцов находим режущую кромку АС, как линию пересечения поверхности детали и передней поверхности резца. Зная радиус Q резца в базовой точке и задний угол а, изображаем ось резца, которая проектируется на плоскость V в точку О. Заставим режущую кромку вращаться вокругд)си резца. При вращении точки А, С режущей кромки будут описывать окружности АВ, D, которые на плоскость V проектируются в натуральную величину, а на плоскость Н — в прямые, параллельные оси проекций. Совокупность окружностей АЕ, D будет представлять собой заднюю поверхность проектируемого резца. Для отыскания осевого сечения задней поверхности проводим через ось резца плоскость N. Плоскость N пересекается с окружностями АЕ, D в точках Е, D, соединяя которые и получим искомый про-. филь резца d — вертикальная, а ed — горизонтальная проекции профиля). Натуральная величина профиля ED резца находится путем поворота плоскости N вокруг вертикального следа до совмещения с плоскостью V. [c.42]

Сечение поверхности переноса. Поверхность задана направляющей — параболой а, образую щей — параболой с и горизонтально проеци рующей плоскостью параллелизма I2 (рис. 309) Рассечем поверхность и плоскость рядом вспо могательных плоскостей, параллельных I1, С поверхностью они пересекутся по параболам, равным и подобно расположенцым параболе с, с плоскостью — по параллельным прямым. Например, плоскость Ч пересекается с поверхностью переноса по параболе линии пересечения заданных фигур. Построения параболы d можно избежать, если учесть, что параболы end проецируются на плоскость в виде равных и подобно расположенных парабол j и дуга параболы j между точками Fj, равна дуге параболы между точками А2 и В . Соединим точки A и f 2 прямой и в ее направлении переместим как параболу так и прямую 2D2 яа величину отрезка F2A2. Параболы с2 и i/2 совместятся, а прямая пройдет через точку j параллельно В точке Е 2 [c.114]

Построить линию пересечения Tonoipa-фической поверхности с плоскостью, имеющей уклон ( = 1 2 и проходящей через данную прямую А В (черт. 430). [c.195]

Справа от снк видмой точки А проведем на конической поверхности окружность k k" ) и восставим в ее центре С перпендикуляр п к ее плоскости. Чтобы сфера проходила через окружность k, ее центр должен лежать на этом перпендикуляре (черт. "283). Примем за центр вспомогательной сферы ш точку Oi пересечения перпендикуляра rii с осью поверхности вращения и проведем ее очерк радиусом, равным отрезку [0"i —/"]. Эта сфёра пересечется с поверхностью враще ния, как это было показано на черт. 281, б, по окружностям pi и рг, проецирующимся на плоскость лг отрезками прямых. Находясь на Одной сфере, окружности ki и р2 пересекутся в двух искомых точках Ml и Alj. (Окружности и рг ие имеют, очевидно, общих точек.) Фронтальные их проекции совпадают, горизонтальные — определяются на окружности p j с помощью проекционной связи. Изменяя положение окружности k, будем определять другие секущие сферы и>2, шз, и получать новые точки линии пересечения поверхностей. [c.92]

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника сводится к построению линии пересечения многогранника проецирующей плоскостью, в которую заключают данную прямую. На рисунке 6.11 приведено построение проекций е, е и/ ,/точек пересечения прямой с проекциями т п, тп с боковыми гранями пирамиды. Пирамида задана проекциями s s вершины и а Ь с, ab основания. Прямая MN заключена во вспомогательную фронтально-проецируюшую плоскость Г(Г ). Горизонтальные проекции в и/искомых точек построены в пересечении проекции тп с горизонтальными проекциями 1—2 и 2—3 отрезков, по которым плоскость Т пересекает боковые грани пирамиды. Фронтальные проекции е и / определены по линиям связи. [c.80]

Построение линии пересечения конуса с тором. Заметим, что линия пересечения конуса с тором в данном случае симметрична относительно фронтальной плоскости, проходящей через оси пересекающихся поверхностей. Фронтальные проекции видимого и невидимого участков линии пересечения совпадают. Поэтому в дальнейщем изложении будут указываться построения проекций только видимых точек линии пересечения. Характерными точками искомой линии пересечения являются высщая с проекцией Г, низщая с проекцией е и ближайщая к оси тора с проекцией с. Проекция 1 определяется точкой пересечения фронтальных проекций очерков тора и конуса. Проекция построена с помощью сферы Она пересекает тор и цилиндр по окружности, проецирующейся в отрезок прямой, проходящей через проекцию 7(9 перпендикулярно их оси, и конус по окружности, проецирующейся в отрезок прямой, проходящей через проекцию 77 перпендикулярно оси конуса. Проекция с построена с помощью вспомогательной сферы минимального радиуса Кт, . Его находят как радиус сферы, касательной к одной из поверхностей вращения и пересекающей другую. В данном случае радиус такой сферы определен проекцией 6, в которой проекция образующей окружности 7 тора пересекает линию о о. Сфера радиуса 7 т,п касается тора по окружности с проекцией (5 7 и пересекает конус по окружности с проекцией Для построения проекции п произвольной точки линии пересечения конуса и тора пересечем их сферой 7 с центром в точке с проекцией о. Эта сфера пересекает конус по окружности с проекцией в виде отрезка 2 3, тор по окружности с проекцией в виде отрезка 4 5. В пересечении этих проекций находим проекцию а. Аналогично строят про- [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...