Сечение конуса вращения плоскостью

При пересечении конуса вращения плоскостью могут получаться пересекающиеся прямые, окружность, эллипс, гипербола и парабола. Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает его по прямым линиям. Сечением конуса вращения плоскостью, перпендикулярной к его оси, является окружность. [c.215]

Укажите условия, при которых в сечении конуса вращения плоскостью получается окружность, эллипс, гипербола, парабола, пересекающиеся прямые. [c.221]

К теме 8. Пересечение поверхностей плоскостью и прямой линией. I. Укажите общую схему определения точек линии пересечения поверхности плоскостью. 2. Какие точки линии пересечения поверхности плоскостью называют главными (опорными) 3. Укажите последовательность графических построений при определении точек пересечения прямой с поверхностью. 4. Укажите условия, при которых в сечении конуса вращения плоскостью получается окружность, эллипс, гипербола, парабола, пересекающиеся прямые. 5. Укажите последовательность графических построений при определении линий пересечения плоскостями поверхностей второго порядка общего вида. [c.29]

Пример 3. Сечение конуса вращения. В сечении конуса вращения плоскостью могут быть получены различные фигуры [c.86]

Сечение конуса вращения плоскостью [c.153]

Кривые линии второго порядка называют кониками или линиями конических сечений. Они получаются, например, при пересечении конуса вращения плоскостями. [c.145]

Т е о р е м а Ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, представляет собой кривую второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса. [c.215]

Алгебраические кривые линии, имеющие в системе декартовых координат уравнения второй степени, называют кривыми линиями второго порядка. Признаком кривой линии второго порядка является также и то, что прямая линия пересекает ее в двух точках. Кривые линии второго порядка могут быть получены при пересечении прямого конуса вращения плоскостью и поэтому часто называются коническими сечениями. Если плоскость не проходит через вершину и пересекает все образующие конуса, в сечении получается эллипс, в частном случае — окружность. Если секущая плоскость параллельна од- [c.47]

Пример 4. Построить проекции и натуральный вид сечения конуса вращения данной плоскостью. [c.159]

Если секущая плоскость пересекает обе полы конуса вращения и, следовательно, параллельна двум образующим конуса, то в сечении получается гипербола. Если же плоскость пересекает только одну полу конуса и параллельна одной образующей (угол ее наклона к оси конуса равен углу, который составляют образующие конуса с его осью), то в сечении получается парабола. [c.215]

Возьмем произвольно круговое сечение плоскости Mv эллиптического конуса, проецирующееся на фронтальную плоскость проекций в отрезок 1 2. Из его центра восставляем перпендикуляр к плоскости до пересечения в точке оо с осью конуса вращения. [c.229]

Решение. На рис. 4.33 показан усеченный конус вращения. Требуется построить проекции конуса и изобразить натуральную величину фигуры сечения. На фронтальную плоскость проекций сечение проецируется отрезком прямой. Горизонтальная проекция конуса изображена окружностью нижнего основания и эллипсом (фигурой сечения). [c.98]

Найти направление фронт, следа фронтально-проецирующей плоскости, пересекающей заданный конус вращения так, чтобы профильная проекция эллипса сечения оказалась окружностью (рис. 295, а). [c.247]

Если синхронно с образующей (АС) вращать прямую 5Р АС, то последняя опишет поверхность, которая называется направляющим конусом. Это значит, что меридианальные сечения наклонного геликоида и конуса вращения параллельны. Например, плоскость у(у ) пересекает геликоид по образующим положения 4(4 -41) и 10(10 -102), а направляющий конус по образующим [c.168]

У поверхностей вращения этими линиями будут параллели (окружности) у линейчатых поверхностей, включая линейчатые винтовые поверхности,— образующие (прямые линии) у поверхностей второго порядка — их прямолинейные образующие (конус, цилиндр, однополостный гиперболоид, косая плоскость) или их круговые сечения (конус, эллиптический [c.151]

Определяют по координатам точку К в плоскости уровня хОу как вершину конуса вращения она же является и центром производящей окружности радиусом г поверхности открытого тора. Ось конуса вращения — вертикальная прямая, проходящая через точку К. Высота конуса вращения А. а радиус основания R. Ось. поверхности открытого тора совпадает с осью координат у. Тор ограничен координатными плоскостями хОу и уОг. Заданные поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии. На каждой из заданных поверхностей имеются круговые сечения. Кольцо имеет три системы круговых сечений. Одна система таких [c.23]

Рассмотрим условия, при которых получается то или иное коническое сечение. Для этого возьмем обычный конус вращения, представляющий частный вид конуса второго порядка. Чтобы упростить графическое решение задачи, мы сначала рассмотрим пересечение конуса проектирующей плоскостью (рис. 326). [c.269]

Докажем, что если конус вращения пересечен плоскостью так, что а>ф (рис. 327), то в сечении получим эллипс. Фронтальная проекция фигуры сечения конуса плоскостью изобразится отрезком Qi. Построим проекцию сечения на какой-нибудь плоскости проекций П , параллельной плоскости 0(0а). [c.271]

Рассмотрим теперь влияние на образование колей износа конусности рабочего валика при горизонтальной оси вращения. Если пренебречь влиянием силы трения, то кривая контакта проволоки с поверхностью конуса будет являться геодезической линией последней и после развертки конуса на плоскость изобразится прямой. Вертикальный участок проволоки касается поверхности конуса в точке горизонтального осевого сечения и, следовательно, перпендикулярен к горизонтально расположенной образующей, проходящей через точку контакта, являющуюся конечной точкой линии контакта. Вторая концевая точка этой же линии контакта, граничащая с горизонтальным концом проволоки, лежит, очевидно, в плоскости вертикального осевого сечения. Следовательно, после развертки (рис. 2) угол [c.92]

На рис. 372 изображен конус вращения с сечением его фронтально-проецирующей плоскостью. Точки пересечения следа Qт, с фронтальными проекциями образующих представляют собою проекции точек искомой кривой пересечения, в данном случае эллипса. По этим проекциям найдены проекции на плоскостях Л и [c.245]

Прежде чем перейти к построению линии пересечения поверхностей вращения плоскостью, рассмотрим условия получения так называемых конических сечений-кривых линий, полученных в результате пересечения поверхности конуса секущей плоскостью. [c.86]

Пересекающиеся поверхности вращения имеют общую плоскость симметрии (рис. 142). Проекция линии пересечения поверхностей конуса вращения и тора (кругового кольца) построена с помощью вспомогательных сферических сечений способом эксцентрических сфер. Необходимо построить вспомогательную сферу, которая пересечет обе поверхности по окружностям. Проведена фронтальная проекция а а окружности [c.105]

Лекальные кривые широко применяются в очертаниях различных деталей и предметов. Например, профили зубчатых колес и кулачков, очертания кронштейнов, подвесок, посуды и мебели. Лекальные кривые могут быть также получены в результате сечения цилиндра, конуса и других тел вращения плоскостью. [c.69]

Построим линию пересечения поверхностей тора-кольца и конуса вращения (рис. 11.].3). Оси тора и конуса не пересекаются. Однако эти поверхности имеют общую плоскость симметрии — фронтальную плоскость уровня 0(0 ). Кроме того, у обеих поверхносте можно выделить семейство круговых сечений. [c.104]

Линиями среза называют линии, получаемые от пересечения поверхностей вращения плоскостями. Часто на чертежах деталей требуется построить проекции таких кривых. На рис. 215, б изображен стол прибора для испытания твердости металла. Боковая поверхность этой детали получается при сечении поверхностей сферы, цилиндра и конуса плоскостью. [c.126]

Когда плоскость проецирующая, можно установить вид линии сечения конической поверхности без вспомогательных построений на рис. 310 показано эллиптическое сечение конуса вращения плоскостью П. Чтобы построить горизонтальную проекцию сечения, воспользуемся тем, что фронтальная проекция — отрезок В2С2—известна. Точки и С,—горизонтальные проекции концов больщой оси эллипса — инцидентны горизонтальной проекции главного меридиана — прямой, проходящей через 5, перпендикулярно линиям связи. Чтобы найти горизонтальные проекции концов малой оси, разделим отрезок В2С2 пополам и, через полученную точку 1>2 = Е2 проведем прямые 2 2 и 2 2- Найдя их горизонтальные проекции, построим на них соответственно точки 1), и . Если пользоваться образующими неудобно, можно провести через точки О я Е окружность, инцидентную конической поверхности ее фронтальная проекция — отрезок, перпендикулярный линиям связи. Отметив точку К2 пересечения фронтальной проекции окружности с контурной относительно П2 образующей, определим радиус окружности он равен расстоянию от К2 до фронтальной проекции оси конуса. Для построения точек I), и , остается провести окружность с центром в точке 5] найденного радиуса до пересечения с прямыми и у4, 5, или линией связи, проведенной через точку = Яг- [c.115]

В сечении конуса вращения получаются все виды кривых второго порядка (конические сечения). Если секущая плоскость непарал- [c.156]

IV. Длина малой оси получена путем сечения конуса вертикальной плоскостью, проходящей через точку О. Это сечение будет окружностью, которую вращением вокруг горизонтальной оси повернули в горизонтальное положение, а хорда 041 будет являться половиной длины малой оси эллипса, т. е. 04i — = 0/У=0///. По большой и малой осям эллипса строят эллипс способом, описанным на рис. 43. Точки 5 V) и 6 VI) ограничивают часть эллипса, относящуюся к сечению конуса плоскостью по линии Т—Т. Секущая плоскость пересекает цилиндр по части эллипса, отдельные точки которого получены так заднее основание цилиндра (окружность) повернуто вокруг горизонтального диаметра до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций (на рис. 65 показана половина этой окружности). Тогда отрезок а8 соответствует половине длины хорды VII VIII, отрезок Ы0 — половине длины хорды IX X и соответственно отрезок 12i — половине длины хорды XI XII. Соединяя последовательно найденные точки, получим истинную величину сечения. [c.37]

Контеские сечения. При пересечении конуса вращения плоскостью могут образоваться пересекающиеся прямые, окружность, эллипс, парабола и гипербола. Характер и форма сечения зависят от того, содержит ли конус образующие, параллельные секущей плоскости. [c.86]

При сечении тела вращения плоскостью образуется кривая линия, которая в пространстве определяется рядом точек. Чем больше точек определено, тем точнее будет построена кривая. При построении этой кривой линии в первую очередь находят характерные точки секущей плоскости и поверхности рассекаемого тела вращения (цилиндра, конуса и др.). Чтобы бблегчить решение заданий, целесообразно положения характерных и дополнительных точек определять при помощи вспомогательных секущих плоскостей. К характерным точкам относятся высшая, низшая, крайние левая и правая. [c.9]

Решение. Если конус вращения рассекать разными плоскостями, то в зависимости от их положения получим различные фигуры сечения. Если секущая плоскость перпендикул фна к оси конуса, то фигурой сечения будет окружность если секущая плоскость наклонена к оси конуса и пересекает все его образующие, то фигурой сечения будет эллипс если секущая плоскость параллельна двум обра- [c.98]

Действительно, круговое сечение цилиндра можно принять за параллель некоторой сферы. Например, окружность радиуса ell (рис. 263, 6) может быть параллелью многих сфер, центры которых располагаются на прямой, проведенной через j перпендикулярно к плоскости параллели. Если же мы на этом перпендикуляре возьмем точку в пересечении с осью конуса, то такую точку (с фронт проекцией 0 ) можно принять за центр сферы с радиусом 0 1, пересекающей цилиндр по окруж--НОШХааддаз li э конус вращения — по окружности с диаметром 2 3. Отсюда мы получаем точки, фронт, проекции которых сливаются в одну точку е (одна из этих точек — на обращенной к нам части линии пересечения, другая — на ей симметричной). [c.220]

Если апертурный угол равен ут, то все лучи пересекают ось аксиальной каустики, представляющей собой линию длиной за параксиальным фокусом О. Диаметр пучка в гауссовой плоскости 2 = 0 равен однако диаметр минимального сечения, расположенного в плоскости z = — в 4 раза меньше. Минимальное сечение определяется пересечением огибающей каустики, которая является поверхностью вращения, описываемой уравнением г = с конусом максимального раскрытия, определяемого уравнениемг= + (г-f- X [c.246]

На рис. 477 показано построение координатных отрезков для точки, заданной на поверхности усеченного конуса вращения в изометрической проекции (рис. 477, а). Положим, что мы имеем сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса и точку В (рис. 477, б). В полученной трапеции проведена прямая S/5I1 D и пересекающая ее в точке К прямая ВО. Получаем ОК КВ= = 0Л AD. Но эта пропорция сохранится и в изометрической проекции. Построим конус с вершиной в точке S и с образующей, параллельной образующей усеченного конуса (рис. 477, в). Отношение О Ai AiDi повторяет отношение О А AD, содержащееся в указанной выше пропорции. Теперь можно получить точку К па ОВ на рис. 477, в. Образующая, проведенная через точки S и Е, определяет точку К (рис. 477, г) и проекцию 0F образующей, на которой находится точка В. Отсюда мы получаем возможность получить вторичную проекцию Ь (рис. 477, д) и координатные отрезки ВЬ, Ы и 01, определяющие координаты г, у и X. [c.347]

На рис. 379, а изображены две поверхности вращения второго порядка со скрещивающимися осями, параллельными П2 параболоид и конус. Найдем на обеих поверхностях подобные эллиптические сечения. Для этого впишем в параболоид сферу произвольного диаметра и параллельно перенесем конус так, чтобы сфера была вписана и в него. Построения проводим только на фронтальной проекции- фигур. Они сводятся к проведению касательных к окружности — проекции сферы, параллельных проекциям контурных относительно П2 образующих конуса. Вершина конуса 5 переместится в точку 5. Заданный параболоид и перемещенный конус пересекаются по двум эллипсам, проецирующимся на П2 в отр1езки прямых 2 2 и (см. /161/ и /162/). Сечения обеих поверхностей плоскостями, параллельными сечению А В (или СО), представляют собой эллипсы, подобные эллипсу АВ (или СО). Сказанное относится и к заданному конусу с вершиной 5, так как при параллельном перемещении поверхности фигура сечения не меняется. [c.143]

К особой группе относятся сечения плоскостью поверхности прямого KTivroBoro конуса. На рис. 156 показано сечение конуса плоскостью Т, пе- 156 ресекающей все его образующие. Такое сечение представляет собой эллипс, проектирующийся на плоскость V в отрезок прямой а с. Чтобы построить горизонтальную проекцию сечения (рис. 156,6), отметим произвольные точки, например, к ш.г и с помощью образующих находим их горизонтальные проекции. Точки а и с расположены на очерковых образующих конуса. Их горизонтальные проекции лежат на оси горизонтальной проекции конуса, параллельной оси Ох. Отрезок ас равен одной из осей эллипса. Чтобы определить положение и величину малой оси, разделим отрезок а с пополам и, отметив точки Ь и d, найдем их горизонтальные проекции Ь VI d. Расстояние между точками Ь п d является второй осью эллипса. Натуральная величина эллипса построена способом вращения. [c.108]

В связи с этим работа по выполнению наклонного сечення конуса начинается с анализа положения секуще плоскости относительно осп вращения и образующих конуса. И ЛРЩ1Ь после установления характера получаемо лин 1 проводится граф ческое построение ее проекц . [c.88]

Линию Оа...АфоС( ...Оо сечения поверхности конуса случайной плоскостью т (см. черт. 7.3.5) строят на развертке следующим образом. Проводят секущую плоскость, например, проецирующую т (х2)-ЬП2. отмечают проекции А , В2, Сг,. .. точек пересечения образующих с этой плоскостью и определяют натуральный размер отрезков 8А, 88, 5С,. .. В нашем примере использовано вращение и найденные натуральные величины (520 1. 152/2 ,. .. образующих. Искомые отрезки 5г/4 . 52 52 2 откладывают от 5о на соответствующих линиях развертки и полученные точки А , Во. Сц,. .. соединяют плавной лекальной кривой линией Полученная фигура 6 ..0 r..6l, Оо—. ..i4(,...Do, бо является разверткой боковой поверхности усеченного конуса. [c.92]

На рис. 4.20, а-в показаны возможные случаи относительного положения конических колес в плоскости, проходящей через оси валов, и соответствующие им пятна контакта на зубе колеса. На совмещение вершин конусов по двум координатным осям, на непере-сечение осей вращения и на угол между осями валов предусмотрены определенные требования точности (ГОСТ 1758-81), но, как показывает опыт машиностроения, фактическая ошибка относительного положения конических колес обычно значительно превосходит допускаемую. Поэтому совпадение вершин конусов обеспечивают регулированием осевого положения колес при сборке передачи. [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...