Понятие канонического преобразования

В связи с понятием канонического преобразования естественно возникают две задачи. [c.312]

Углубленный курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в настоящее время целесообразность такого курса может показаться сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не дает новых физических понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика все же остается неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углубленном изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие— угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона — Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к волновой механике, или скобки Пуассона и канонические преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике. [c.7]

Бесконечно малые канонические преобразования. Константы движения и свойства симметрии. В связи с дальнейшим рассмотрением скобок Пуассона мы введем понятие бесконечно малых канонических преобразований. Как и в случае бесконечно малых поворотов, это будут такие преобразования, при которых переменные q, р изменяются на бесконечно малые величины. (Поэтому все расчеты мы будем производить лишь с точностью до членов первого порядка малости относительно этих величин.) Уравнения такого преобразования можно записать в виде [c.285]

В распоряжении Гамильтона не было теории канонических преобразований, и он сделал свое открытие, исходя из совершенно иных предпосылок. Главная функция Гамильтона не является абстрактным математическим понятием, которое используется только для получения преобразований специального вида она имеет определенный физический смысл. Для того чтобы пояснить ход рассуждении Гамильтона, начнем с консервативной системы, у которой функция Лагранжа L и функция Гамильтона Н не зависят явно от времени. Именно такие функции встречаются в оптике, и это явилось для Гамильтона исходным пунктом как для оптики, так и для механики. Обобщение на случай неконсервативных систем может быть сделано очень просто задача сводится к случаю консервативных систем путем включения времени t в число механических переменных. [c.257]

Резюме. В то время как производящая функция канонического преобразования является чисто математическим понятием, Гамильтон ввел главную функцию , тесно связанную с интегралом действия. В его геометрической интерпретации эта функция имеет ясный смысл. Она задает расстояние между двумя точками в соответствующим образом определенном метрическом пространстве, являясь при этом функцией координат этих двух точек. Главная функция Гамильтона является производящей функцией того частного канонического преобразования, которое связывает два состояния фазовой жидкости, принадлежащие двум различным моментам времени, причем связывает их непосредственно, без помощи какой-либо промежуточной внешней точки. [c.263]

Все сказанное придает новый смысл функции S, определенной как произвольное частное решение уравнения Гамильтона — Якоби, Полный интеграл этого уравнения был интерпретирован с помощью абстрактных математических понятий он представлял собой производящую функцию определенного канонического преобразования. Однако S-функция в виде частного решения имеет гораздо более непосредственный физический смысл. Оптическим эквивалентом функции S является функция ф, определяющая время, необходимое свету для прохождения от одного волнового фронта до другого. Это время может быть определено с по- [c.311]

Понятие бесконечно малых преобразований (и, в частности, бесконечно малых канонических преобразований), на которых базируется представление о непрерывной группе, несомненно имело корни в геометрии и даже в механике, Так, например, бесконечно малые движения рассматривались уже Пуансо в Новой теории вращения тел (1834 г.) [c.232]

Значительная часть Второго очерка об общем методе в динамике посвящена построению теории возмущений на основе канонических уравнений и понятия главной функции. Гамильтон предлагает два метода в теории возмущений. Первый метод основан на введении поправок к начальным значениям переменных в невозмущенной задаче. Второй метод, который мы изложим, тесно связан с теорией канонических преобразований уравнений динамики. [c.14]

Для того чтобы получить канонические преобразования, мы будем исходить из понятия производящей функции (генератора) [c.49]

При изложении обращается внимание на основные понятия механики, на модели реальных тел и реального физического пространства. Подробно освещается качественное исследование движения. Приводится много примеров и дается решение ряда задач. Изложение некоторых разделов отличается от обычного кинематика абсолютного твердого тела строится на основе кинематики сплошной среды, формулы канонического преобразования выводятся из второй формы принципа Гамильтона с измененными краевыми условиями и т. п. Впервые указана магнитно-кинематическая аналогия. [c.2]

Здесь и далее в настоящем параграфе чертой обозначается результат замены переменных, осуществляемой согласно формулам (2.2). Так как функции х, X в (2.2) являются решениями гамильтоновой системы (2.1), то преобразование (2.2) будет каноническим [16]. 1Иы ограничимся рассмотрением случая малых значений 8 . Понятие ряда Ли вытекает из решения задачи Коши [c.188]

Понятие канонического преобразования. Рассмотрим гамильтонову систему дифференциальных уравнений в векторно-мат-ричыой форме [c.285]

Гамильтонова, или симплектическая, динамика. Эта теория — естественное обобщение анализа дифференциальных уравнений классической механики. Фазовое пространство в этом случае представляет собой четномерное гладкое многообразие с замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой П. Однопараметрические группы диффеоморфизмов, сохраняющих форму Q, соответствуют дифференциальным уравнениям классической механики в гамильтоновой форме. Сохраняющий форму П диффеоморфизм обобщает понятие канонического преобразования. Мы впервые встретимся с такими системами в 1.5 и рассмотрим эту тему более систематически в 5.5. [c.23]

Она отличается от болыней части ранее изданных курсов теоретической и аналитической механики систематически проведенным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета. На этой идее базируется как и,зложение основных понятий механики, так п обоснование лагранжева и гамильтонова формализма. Большое внимание уделяется leopeMe Э. Нетер и интегральным инвариантам, которые положены в основу изложения теории канонических преобразований и формализма Гамильтона — Якоби. [c.2]

Ниже рассматривается цикл вопросов, примыкающих к теореме Остроградского — Гамильтона — Якоби и теории канонических преобразований. Эти вопросы объединяются понятием об интегральных инвариантах, введенным А. Пуанкаре ). Конечно, будут приведены лигиь сравнительно краткие сведения об этом направлении современной аналитической механики. [c.379]

Принципиально новым шагом в развитии взаимосвязи симметрия — сохранение были открытие и разработка Софусом Ли теории бесконечно малых канонических преобразований и установление на этом пути канонического варианта обсуждаемой взаимосвязи. С. Ли вошел в историю науки, прежде всего, как создатель теории непрерывных групп. Но основной движуш вй силой этих его исследований было стремление разработать обш,ую теорию интегрирования дифференциальных уравнений, аналогичную теории Галуа для алгебраических уравнений Благодаря новой принадлежаш,ей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения (или,что то же самое, касательных или контактных преобразований, совпадающих в механике с каноническими преобразованиями. — В. В.) и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований... Основные понятия и первые применения тео-232 рии канонических преобразований связаны с именем Якоби (см. гл. XI). Но наиболее глубокие результаты в развитии этой теории были, достигнуты лишь благодаря введению Софусом Ли бесконечно малых преобразований. В 1899 г. Дарбу писал в некрологе, посвященном С. Ли [c.232]

С другой стороны, вариации координат (или виртуальные перемещения), широко используемые впервые Лагранжем,можносчитатьирообразами лиев-ских бесконечно малых преобразований непрерывных групп. Больше того, представление об евклидовой симметрии пространства, восходящее к геометрии Евклида и постепенно утвердившееся ко времени Ньютона в физике, в сочетании с представлением о непрерывности пространства приводили естественным образом к понятию бесконечно малых движений пространства. Введя бесконечно малые канонические преобразования и открыв их групп о- вую природу, С. Ли нашел тем самым ключ ко всей гамильтоновой динамике как теории групп . Основное значение в этом новом понимании механики имела теорема, которой С. Ли придавал фундаментальное значение и которая представляет собой нечто иное, как своеобразный канонический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение . [c.232]

По существу, положение еще менее благоприятное. Дело в том, что доказательство существования канонического преобразования, приводящего систему к нормальной форме (или, что то же самое, доказательство существования полного решения уравнения (15) 114), основывается лишь на общих теоремах, относящихся к существованию неявных функций и решений обыкно-пенных дифференциальных уравнений, т. е. на теоремах, имеющих чисто локальный характер. Вместе с тем математические вопросы динамики имеют не такой тривиальный локальный характер, но представляют собой проблемы исследования в боль-1иом, связанного с нелокальной топологией рассматриваемы многообразий. Для иллюстрации этого создавшегося ноложени г можно привести краткую справку об историческом развитии понятия неразрешимой динамической проблемы. [c.177]

Основываясь на понятии так называемого упругого центра , можно так преобразовать лишние неизвестные для бесшарнирного замкнутого контура, что все эпюры моментов от них будут взаимноортогональны. При этом система канонических уравнений перестает быть совместной. В теории матриц доказывается, что квадратную симметричную матрицу всегда можно преобразовать в квазидиагональную матрицу, однако, как правило, такое преобразование практически себя не оправдывает [c.490]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...