Функция Лагранжа. Циклические координаты

Функция Лагранжа. Циклические координаты [c.555]

Циклические координаты и циклические интегралы. Функция Лагранжа L=T+U в общем случае зависит от обобщенных [c.411]

Обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа I, называются циклическими координатами ( 127). Очевидно, что циклические координаты не войдут явно и в функцию Гамильтона Н. Пусть, например, первые k обобщенных координат 9[, 9а,. -ч Як механической системы с s степенями свободы циклические. Тогда функция Гамильтона примет вид [c.375]

Читателю рекомендуется самому убедиться в том, что в случае движения точки в центральном поле, который был рассмотрен в 7 гл. III, всегда существует циклическая координата. Для этого надо вспомнить, что движение в центральном поле является плоским в качестве обобщенных координат выбрать полярные координаты в этой плоскости и, составив функцию Лагранжа, установить, что эта функция не зависит явно от полярного угла. Читатель может легко убедиться и в том, что закон сохранения секториальной скорости при движении в центральном поле является лишь примером рассматриваемого здесь первого интеграла, обусловленного наличием циклической координаты. [c.269]

Те обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа, называются циклическими координатами. Те же, которые входят в функцию Лагранжа, называются позиционными координатами. [c.110]

Метод Рауса заключается в одновременном исключении циклических координат из уравнений Лагранжа второго рода, при этом число уравнений движения в независимых координатах понижается на число исключенных циклических координат. Предположим сначала, что все обобщенные координаты позиционные. Тогда функция Лагранжа будет функцией всех обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени /, т. е. [c.110]

Координата ф, непосредственно в функцию Лагранжа не входящая, является циклической. Поэтому второе из уравнений (36) дает интеграл (35) в виде [c.460]

Определение 8.4.2. Координата называется циклической, если функция Лагранжа от нее не зависит [c.556]

Тем самым переменные. .., д Ц заданы посредством системы уравнений Лагранжа второго рода, где С служит функцией Лагранжа. Поскольку С от I явно не зависит, координата I будет циклической, и ей соответствует циклический интеграл [c.559]

Решающую роль здесь играет структура множества виртуальных перемещений и то, как изменяется функция Лагранжа по различным направлениям в пространстве лагранжевых координат. Дифференциалу циклической координаты отвечает направление виртуальных перемещений системы, в котором функция Лагранжа не изменяется. Наоборот, если в каждой точке конфигурационного пространства существует направление виртуальных перемещений, оставляющее постоянной функцию Лагранжа, то одну из лагранжевых координат следует выбирать так, чтобы ее дифференциал задавал именно это виртуальное перемещение системы. [c.560]

Видим, что уравнения Рауса имеют форму уравнений Лагранжа, но роль функции Лагранжа в них играет функция Рауса. После интегрирования уравнений Рауса задача определения закона изменения циклических координат приводится к квадратурам. В самом деле. [c.566]

Пусть Ь = Ь2 + Ьо есть разложение функции Лагранжа по однородным относительно скоростей формам. Какое разложение по таким формам может иметь функция Рауса при наличии циклических координат. [c.623]

Циклические координаты и циклические интегралы. Функция Лагранжа Е = Т + и в общем случае зависит от обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени. Если какая-либо обобщенная координата, например qj, не входит в выражение функции Лагранжа, то для нее [c.397]

Возвратимся к рассмотрению циклических координат, о которых упоминалось в 60. Было сказано, что обобщенная координата <7о называется циклической, если она не входит явно в выражение функции Н Гамильтона. Очевидно, в этом случае и функция L Лагранжа также не зависит от координаты Цо. [c.348]

Если кинетическая и потенциальная энергии, а следовательно, и функция Лагранжа не зависят явно от обобщенной координаты 9j, то последняя называется циклической. Уравнение Лагранжа, соответствующее /-й циклической координате, имеет первый интеграл, который также называется циклическим. Действительно, в [c.304]

Координата называется циклической, если она не входит явно в функцию Лагранжа L, т. е. если = [c.93]

Теоремы о сохранении и физический смысл гамильтониана. Мы видели, что циклическая координата отсутствует не только в L, но и в Я. Поэтому теоремы о сохранении обобщенных импульсов, полученные нами в 2.6, можно было бы вывести не из уравнений Лагранжа, а из уравнений Гамильтона. Это относится и к тем соображениям о симметрии системы, которые были высказаны нами в главе 2. Пусть, например, некоторая система будет симметрична относительно фиксированной оси. Тогда можно будет сказать, что функция Н инвариантна относительно вращения вокруг этой оси и поэтому не может содержать угла поворота. Следовательно, этот угол является циклической координатой, и поэтому соответствующий ему кинетический момент будет оставаться постоянным. [c.245]

Приложение этих уравнений к циклическим системам, которое и имел в виду Раус при их выводе, заключается в следующем. Мы принимаем, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно (согласно стр. 262), не входят в функцию Лагранжа в таком случае они не входят также и в функцию Рауса. Вследствие этого, соответствующие pk оказываются постоянными (согласно верхнему уравнению из правой группы уравнений Рауса или так же, как мы уже замечали на стр. 263, согласно уравнениям Лагранжа). Подставляя эти постоянные значении pk и соответствующие им (вообще говоря, не постоянные) значения qk в выражение (42.2), получим функцию Рауса, зависящую только от / — г координат первой группы Qk и от qk. Для этих координат справедлива левая группа приведенных уравнений (42.5), благодаря чему задача сводится к / — г уравнениям типа Лагранжа. [c.298]

Подобным же образом следует действовать и в том случае, когда рассматриваемая задача содержит более чем одну циклическую координату. Видоизмененная функция Лагранжа тогда записывается в виде [c.154]

Резюме. Если некоторые координаты не входят в функцию Лагранжа, в то время как соответствующие скорости в нее входят, то такие координаты называются циклическими. Импульс, соответствующий циклической координате, остается постоянным в процессе движения. Циклические координаты могут быть исключены из функции Лагранжа путем ее соответствующего видоизменения. Исключение приводит к появлению фиктивной потенциальной энергии. Кроме того, может появиться фиктивная кинетическая энергия, не квадратичная, а линейная относительно скоростей. [c.156]

Прибавим еще, что те координаты q, которые не входят в функцию Лагранжа, как раз и дают место этим интегралам английские авторы называют эти координаты игнорируемыми или циклическими. В дальнейшем (п. 45) мы узнаем причину названия игнорируемые здесь же для оправдания другого названия — цик-лические —заметим, что в случае одной материальной точки,отнесенной к цилиндрическим координатам, из указанного выше выражения живой силы следует, что функция Лагранжа — T U не будет зависеть от параметра 6 только тогда, когда поле действующих сил представляет круговую циклическую) симметрию относительно оси 2. [c.299]

Легко видеть, что в этом случае исключение циклических координат q t.= , 2,, т) введет в приведенную функцию Лагранжа 2 некоторое число линейных относительно qf h = m- -I,. .., п) членов, которые имеют гиростатический характер. [c.304]

Отсюда видно, что величина ф является циклической координатой, т. е. не входит явно в функцию Вследствие этого соответствующее уравнение Лагранжа [c.40]

Если некоторая декартова координата является циклической, то функции Гамильтона и Лагранжа инвариантны по отношению к перемещению системы вдоль соответствующей оси. Наличие циклической угловой координаты аналогичным образом обусловливает инвариантность относительно вращения. Так как эти циклические координаты приводят к постоянству соответствующего импульса, то, следовательно, наличие интегралов движения связано со свойствами симметрии системы. В силу равенства (5.29) существует аналогичное соотношение симметрии между функцией Гамильтона и временной координатой. Вообще свойства сохранения и симметрии так связаны, что эти термины применяются почти как равнозначащие. [c.68]

Циклические координаты. Крайне важным источником упрощения интегрирования дифференциальных уравнении движения является наличие циклических координат. Рассмотрим этот вопрос для голономных систем, движущихся в потенциальном поле сил. Пусть система имеет п степеней свободы, а i, 25 -, Qn — ее обобщенные координаты. Координата называется циклической, если она не входит в функцию Лагранжа, т. е. если dL/dqa = О [c.326]

Докажем, что R играет роль функции Лагранжа для механической системы с координатами 9т + 2, , Яп так называемые явные координаты). Мы свели, таким образом, первоначальную задачу к задаче для системы с п — т степенями свободы процесс такого сведения называют исключением координат. Циклические координаты появляются обычно в системах, [включающих гироскопы поэтому системы, содержащие циклические координаты, иногда называют гироскопическими системами ) ( 9.6). [c.177]

Заметим, что вовсе не обязательно исключать все циклические координаты. Ясно, что координаты q , q ,. . должны быть циклическими, но среди остальных координат g, +i, qm+2, Яп также могут быть циклические. Например, в известной задаче о спящем волчке движение оси удобно изучать, применяя процесс исключения лишь к одной координате ij), так что функция Лагранжа будет содержать координаты 0 и ф. Подобная процедура в ряде случаев оказывается полезной, несмотря на то что координата ф тоже является циклической, если ось Oz вертикальна. [c.177]

Раус выводил эти уравнения для приложений к циклическим системам. Для этого надо принять, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно, не входят в функцию Лагранжа, а также согласно первому уравнению из второй группы р оказываются постоянными. Подставляя эти постоянные р, в (В), получим функцию Рауса, зависящую только от / — г координат первой группы д,, и от д . Для этих координат справедлива первая группа уравнений Рауса, в силу чего задача сводится к / — г уравнений типа Лагранжа. [c.844]

Представляет интерес, что в выражение потенциальной энергии не вошла координата q . Координаты, не входящие в явном виде в функцию Лагранжа L = Т — V, называют циклическими в отличие от остальных, называемых позиционными. Обобщенную координату, которая не входит в выражение потенциальной энергии, но входит в явном виде в выражение кинетической энергии, будем называть квазициклической. В нашем примере координата qi [c.60]

ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ —обобщённые координаты механич. системы, не входящие явно в выражение характеристич. ф-ции этой системы. Наличие Ц. к. позволяет при использовании соответствующих ур-ний получить сразу столько интегралов этих ур-ний, сколько система имеет Ц. к. Напр., если Лагранжа функция L qi, q,, t), где q, — обобщённые координаты, q-,—обобщённые скорости, t—время, не содержит явно координаты то qi будет Ц. к. При этом соответствующее Лагранжа уравнение примет вид [c.428]

Циклические координаты. Обобщенную координату, которая не входит явно в функцию Лагранжа, называют циклической. Пусть в системе с п степенями свободы г циклических обобщенных координат. Соответствующие им уравнения Лагранжа имеют вид [c.40]

Пример 115. Пусть положение механической системы определяется лагранжевыми координатами q, 92, Qh и обобщенными скоростями q, q 2, , % и пусть первые г лагранжевых координат являются циклическими. Рассмотрим преобразование Лежандра при помощи функции Лагранжа, принимая в качестве активных переменных циклические скорости. [c.448]

Циклическими координатами мы ранее назвали обоб-ихенные координаты, не входящие в явном виде в функцию Лагранжа. В 5.2 было установлено, что [c.129]

Первый интеграл системы (61.14) также имеет место, если какая-нибудь координата qu является циклической Циклической называется координата qi,, которая присутствует в функции Лагранжа только под знаком производной по времени. Так как для нее dLldqk= Q, то из уравнений (61.14) найдем [c.88]

Если t обобщенных координат будут циклическими, то из i первых интегралов (61.42) можно определить i обобщенных скоростей qh k=, . .., i) и подставип, их в функцию Лагранжа. Тогда функция L зависит от 5—i переменных qu и, следовательно, общее число дифференциальных уравнений движения уменьшается, что упрощает задачу интегрирования этих уравнений. [c.88]

Циклической обобщенной коордш атой механической системы называют координату фл, не входящую явно в выражение функции Лагранжа Е = Т -1- и. [c.367]

Последние уравнения как бы игнорируют циклические координаты и сводят динамическую задачу к задаче о движении механической системы с новой функцией Лагранжа и с меньшим ЧИСЛ0Л1 степеней свободы (sциклических координат Qa, после того как проинтегрированы последние уравнения, определяются квадратурами [c.167]

Равенство (2.43) представляет собой первый интеграл типа (2.40) и оно может быть использовано для формального исключения циклической координаты. После такого исключения мы получим систему уравнений, содержащих только оставшиеся нециклические координаты, и задача сведется к решению этой системы. В связи с этим Раусом был предложен метод, состоящий в такой модификации лагранжиана, при которой исчезают функции циклических скоростей q,, а вместо них появляются соогветствующие импульсы pj. Преимущество такого приема состоит в том, что он позволяет рассматривать эти импульсы р, как постоянные интегрирования, и тогда последующее интегрирование будет относиться только к нециклическим координатам. Подробное рассмотрение метода Рауса мы отложим до тех пор, пока не познакомимся с так называемым гамильтонианом, с которым этот метод тесно связан. [c.62]

Функция Лагранжа L, вообще говоря, зависит от всех координат qi и скоростей qi. Однако может случиться, что некоторые не входят в функцию Лагранжа, хотя соответствующие qk в ней имеются. На особую важность подобных переменных для интегрирования уравнений Лагранжа впервые обратил внимание Раус а затем несколько позже Гельмгольц Раус назвал эти переменные отсутствующими координатами , а Дж. Дж. Томсон употреблял названия киностеническне или скоростные координаты . Гельмгольц те же самые координаты называл циклическими переменными , а в курсе Уиттекера (см. библиографию) используется название игнорируемые координаты [c.151]

При наличии кинетического взаимодействия между макроскопическими и скрытыми циклическими координатами функция Лагранжа макроскопической системы будет содержать гироскопические члены, линеЙ1Ш1е относительно наблюдаемых скоростей. При отсутствии же подобного взаимодействия скрытые движения проявляются лишь в виде дополнительной фиктивной потенциальной энергии, записанной в макроскопических переменных. [c.157]

Игнорирование координат. Если в функцию S не входят т каких-нибз дь координат (г=1, 2.....т) (циклические координаты), то соответствующая система уравнений Лагранжа допускает [c.302]

Наиболее важным является случай, рассмотренный Раусом, когда первые т координат являются циклическими (см. 10.1). В этом случае первые т импульсов pi, р2, , Рт в процессе движения остаются постоянными и функция R играет роль функции Лагранжа для системы с п — т степенями свободы, описываемой координатами g m+i, Ят+2, , Чп- Не готорые приложения были рассмотрены в 10.1 и последующих. [c.272]

В этой глаие мы начнем с рассмотрения связей, наложенных на систему мы покажем, что связи можно ввести как предельный случай обычной потенциальной энергии. Затем обсуждается принцип Д Аламбера и на его основе выводятся уравнения Лагранжа первого рода, которые используются в нескольких простых примерах. Выводится вариационный принцип Гамильтона, с помощью которого получаются уравнения Лагранжа второго рода, после того как вводятся обобщенные координаты. После этого рассматриваются циклические координаты, функция Рауса и скрытые массы. Далее кратко обсуждаются неголоном-ные и неинтегрируемые связи и потенциалы, зависящие от скорости специально рассмотрен случай движения заряженной частицы в электромагнитном поле. В конце главы обсуждается связь между бесконечно малыми преобразованиями координат и законами сохранения. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...