Рэлея теоремы

Следствие 8.9.3. (Геометрическая интерпретация теоремы Рэлея). При увеличении жесткости системы или при уменьшении ее инерции новый эллипсоид Э содержится внутри исходного эллипсоида Э. Полуоси внутреннего эллипсоида не больше, чем соответствующие полуоси объемлющего. [c.588]

Следующим шагом в попытке определить функцию ev,r в рамках классических преобразований явилась работа Рэлея (1900), более подробно развитая в 1905 г. Джинсом. В своих исследованиях они воспользовались теоремой классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы >. [c.138]

Подставляя (11.19) в (11.10), получаем формулу Рэлея-Джинса (11.12). Это не удивительно, потому что при выводе (11.19) мы провели в явном виде вычисления, которые при выводе формулы (11.12) содержались в теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы статистической системы. Вычисления, приведшие к [c.72]

Неравенство, устанавливаемое формулой (6.4.2), и является содержанием теоремы Рэлея. [c.185]

Задаваясь совокупностью амплитуд которая, на наш взгляд, близка к первой собственной форме колебаний, мы находим по формуле (6.4.2) приближенное значение квадрата первой собственной частоты, представляющее собою верхнюю оценку. Заметим, что числитель в формуле (6.4.2) представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы при перемещениях at, знаменатель же представляет удвоенную кинетическую энергию, вычисленную в предположении, что скорости равны перемещениям. Особенно простым становится применение этой формулы тогда, когда совокупность величин а,- представлена как совокупность перемещений от действующих на систему сил Q,. Тогда потенциальную энергию можно вычислить по теореме Клапейрона. Обозначая перемещение от сил Q, через Vs, перепишем формулу Рэлея следующим образом [c.185]

Заметим, что при применении метода Рэлея требование удовлетворения функцией v z) всех граничных условий является излишним. Разрывы вторых производных функций и (г) соответствуют приложенным сосредоточенным моментам, разрывы третьих производных — сосредоточенным силам. Следовательно, если функция v z) непрерывна вместе с первой производной и удовлетворяет граничным условиям, наложенным на прогиб и угол поворота, она всегда может быть представлена как функция прогиба некоторой балки под действием распределенной нагрузки, сосредоточенных сил и моментов и доказательство теоремы Рэлея сохраняет силу. Будем называть граничные условия, налагаемые на v z) и v z) кинематическими условиями, а на момент и перерезывающую силу, т. е. на и" (z) и и " (z) — динамическими условиями. [c.203]

Теоремы Рэлея. Рэлей ) исследовал, как изменяются главные частоты в материальной системе, колеблющейся вокруг одной из своих конфигураций устойчивого равновесия, и, в частности, как изменяется основная частота, когда [c.372]

О, т. е. двумя полуосями этого эллипса. Первая теорема Рэлея представляет собой прямое истолкование того геометрического факта, что большая полуось Е всегда заключена (включая концы) между максимальной 2п/<о, и средней 2r.jm полуосями эллипсоида Е. [c.374]

Если примем во внимание, что оба крайних значения 2г/а>, и 2w/(0p , максимальной полуоси могут быть действительно достигнуты путем надлежащего выбора секущего пространства (т. е. пространства новых связей), то придем, беря частоты вместо периодов, к первой теореме Рэлея [c.375]

Существуют два способа такого обобщения теоремы Рэлея, которое делает возможным ее использование для нахождения других (2, 3-й и т. д.) собственных частот [105], однако их нахождение по этой формуле значительно труднее, чем нахождение 1-й собственной частоты. Поэтому в настоящее время, в особенности в связи с наличием ЭВМ, энергетические методы нахождения собственных частот лучше всего применять только для нахождения 1-й (низшей) частоты, обращаясь для нахождения [c.80]

Для случая г = т, то есть когда ранг матрицы размерностей равен числу основных единиц измерения, П-теорема была сформулирована Фурье, Рябушинским и Рэлеем [74]. Доказательство этой теоремы с привлечением элементов линейной алгебры содержится в работах [И, 1]. [c.21]

Это теорема взаимности Максвелла ), Бетти ) и Рэлея ). Она является обобщением соотношений (14) и (15), обычно известных как соотношения взаимности Максвелл а . [c.21]

Научная деятельность Рэлея и, в особенности, опубликование им книги Теория звука ) оказали сильное влияние на оживление научной работы по теории сооружений в России. Идея использования теоремы взаимности вместе с понятием обобщенных сил получила практическое осуществление в трудах проф. Виктора Львовича Кирпичева (1845—1913), применившего ев для построения линий влияния в разнообразных задачах, относящихся к простым и неразрезным балкам и аркам ). В дальнейшем понятия обобщенных сил и обобщенных координат были широко использованы В. Л. Кирпичевым в его получившей большое значение книге Лишние неизвестные в строительной механике ). Таким путем ему удалось значительно упростить изложение различных методов расчета статически неопределимых конструкций. В предисловии к своей книге В. Л. Кирпичев указывает, что все инженеры, интересующиеся теорией сооружений, должны изучить Теорию звука Рэлея. Книга В. Л. Кирпичева ) и его лекции сыграли большую роль в развитии науки о прочности материалов в России в конце XIX и начале XX века. [c.384]

См. Изв. СПб. технол. ин-та, 1883—1884 гг. Прим. авт.). Статья под название.м Приложение теоремы лорда Рэлея к вопросам строительной механики переиздана в собрании сочинений, т. 1, Петроград, 1917 там же подробная биография. [c.384]

Вообще развитие в XIX в. энергетических методов в теории упругости тесно связано с разработкой методов расчета статически неопределимых систем. Применительно к этим расчетам в конце XIX в. широкое применение получили линии влияния, введенные в строительную механику Э. Винклером и О. Мором в конце 60-х годов. Построение их основано на теореме взаимности, сформулированной в простейшем случае Максвеллом и обобщенной на произвольные условия равновесия Э. Бетти и на колебания упругих систем Рэлеем Последнему принадлежит широкое применение понятия обобщенных сил и перемещений, сыгравшего важную роль в последующем развитии прикладной теории упругости. В частности, В. Л. Кирпичев применил теоремы взаимности, вводя обобщенные силы для расчета неразрезных балок и арок [c.62]

Из формул (2) следует замечательная теорема взаимности, впервые доказанная Гельмгольцем для воздушных колебаний и позднее в значительной степени обобщенная Рэлеем. Рассмотрим другой случай вынужденных колебаний (соответственные величины будем отмечать штрихом), для которого Q[ = 0, а Q пропорционально os pf, тогда [c.69]

Таким образом, нахождение Wa,(T) свелось к определению средней энергии моды колебаний. Формула Рэлея — Джинса. По теореме о равнораспределении энергии на одну степень свободы в классической статистической системе приходится энергия кТ/2. У гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, и поэтому его средняя энергия равна кТ. Это энергия, приходящаяся на одну моду колебаний. В (50.13) положим <е>=кТ, (50.14) [c.305]

Теорема взаимности работ была сформулирована Э. Бетти [11.5] и Рэлеем [ 11.6 —11.8], поэтому она часто называется теоремой взаимности Бетти — Рэлея. [c.453]

Теорема Рэлея, таким образом, родственна гамильтоновой формуле (3) 135, что можно видеть, если принять [c.319]

Ряд разделов содержит новые результаты или более совершенное изложение известных работ. В особенности отметим следующие разделы изложение вариационных принципов (п. 14, 15, 24 и 47), теорию динамического подобия (п. 36 и 66), теорию тензора напряжений (п. 59), энергетический метод (п. 73), обобщение теоремы Гельмгольца — Рэлея (п. 75) и некоторые новые формулы и уравнения, например (29.9), [c.7]

Теорема Гельмгольца — Рэлея о диссипации 243 [c.243]

Балка, формы поперечного сечения 150, 153 —, чистый изгиб 145 —, см. также Прогибы балок, Шраз-резные балки, Статически неопределимые балки Бетон, свойства 16, 20, 35 Бетти — Рэлея теорема взаимности 453 Биметаллические балки 181 — стержни, кручение 105 [c.657]

Тогда уравнения (13.8.4) линейны и однородны для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени к относительно Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для которая может только улучшиться с увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет стремиться к величине при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций fi, т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений Uj в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца. [c.438]

Так как определитель А(о2) является симметричным, то == , Следовательно, коэфициент перед в выражении для тождественно равен, коэфициенту при Q, в выражении для q . Это является основанием важной теоремы взаимности", формулированной Гельмгольцем и после него обобщенной, Рэлеем. Эта теорема как и некоторые предыдущие теоремы, наиболее важйое применение имеет для систем с бесконечным числом степеней свободы, а также в акустике. [c.241]

Однако на этой картине оставалось несколько темных пятен. Лорд Кельвин в 1900 г. сказал, что на горизонте физики собираются две угрожающие темные тучи. Одной из них являлись трудности, возникшие после знаменитого опыта Майкельсона и Морлея, результаты которого казались несовместимыми с существовавшими тогда представлениями. Второй тучей был крах методов статистической механики в области теории излучения черного тела теорема равномерного распределения энергии — неизбежное следствие статистической механики — действительно приводила к определенному распределению энергии между различными частотами в излучении, находящемся в равновесии. Однако закон этого распределения (закон Рэлея—Джинса) находится в грубом противоречии с опытом и является почти абсурдным, так как из него вытекает бесконечное значение полной плотности энергии, что, очевидно, не имеет никакого физического смысла. [c.642]

Для самосопряженной и полностью определенной задачи на собственные йначения справедлива теорема о минимуме отношения Рэлея. Согласно этой теореме минимум отношения Рэлея, определяемого выражением [c.301]

Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки (сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные вадачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, во они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений. [c.301]

Предположим, что при наложении связи = О (закреплении сосредоточенной массы с индексом и) исходная динамическая модель (рис. 92, а) распадается на две изолированные модели с опорными соединениями (рис. 92,6, в). Такую сосредоточенную массу назовем расщепляющей. Если v — расщепляющая масса, то с учетом непрерывной зависимости собственных значений динамической модели от изменения ее упруго-ннерционных параметров всегда можно выбрать такие значения этих параметров, чтобы выполнялось равенство = > o s+i Тогда в соответствии с теоремами Рэлея о влиянии связей на сиектр собственных частот динамической системы АЧХ i ( o) г-мерной модели можно представить следующим образом [c.305]

Основная идея приближенных методов расчета, основанных на формуле (11.71), заключается в том, что входящей в эту формулу функцией У (л ) задаются исходя из тех или иных качественных соображений этим путем нетрудно получить хорошее приближение, особейно для 1-й собственной частоты, поскольку структура формулы (11.71) такова, что результат вычислений по ней слабо зависит от конкретного вида задаваемой функции, лишь бы она была похожа качественно на истинную форму прогиба при колебаниях и, в частности, удовлетворяла всем геометрическим граничным условиям задачи. При этом имеет место следующая теорема Рэлея [c.79]

Сформулированная выше теорема Рэлея позволяет применить для нахождения метод Ритца. С этой целью задаются входящей в (11.72) / х) в виде суммы [c.80]

Метод Ритца можно построить на простой идее коэффициенты i, С2,. . Сп ДОЛЖНЫ быть выбраны так, чтобы вычисление по формуле (11.256) дало наименьшее значение для р . Из теоремы Рэлея (см. стр. 34) вытекает, что такой выбор будет наилучшим (при данной системе функций / ). [c.135]

Главный вклад Рэлея в нашу науку содержится в его книге Теория звука ( Tie theory of sound ) ), В первом томе этой замечательной книги исследуются колебания струн, стержней, мембран, пластинок и оболочек. Автор демонстрирует те преимущества, которые может извлечь инженер из применения понятий обобщенных сил и обобгценных координат. Введение этих понятий и использование теоремы взаимности Бетти—Рэлея внесло большое упрощение в расчеты статически неопределимых систем. Труд этот охватывает не только собственно звуковые колебания, но и колебания не акустические. Автор обращает внимание на те удобства, которые может представить применение нормальных координат, и показывает, каким образом, приравнивая скорости нулю, можно извлекать решения для статических задач из исследования колебаний. Таким путем он находит прогибы для стержней, пластинок и оболочек, выражая их через нормальные функции эта методика приобрела в технике большое значение. [c.404]

Заметим, что, хотя для собственно физики, где неголономные связи не играют существенной роли, работа Гамеля не представляла большого интереса и не оказала заметного влияния на развитие концепции взаимосвязи в релятивистский период, она все-таки упоминается в статье Э. Нетер как один из конкретных примеров, предшествующих установлению первой ее теоремы 242 Итак, мы рассмотрели несколько характерных и важных моментов в развитии взаимосвязи симметрия — сохранение в предрелятивистский период (от С. Ли до Эйнштейна). Разумеется, этим не исчерпываются все направления этого периода, так или иначе связанные с обсуждаемой закономерностью (например, методы подобия и размерности в механике сплошной среды, берущие начало в трудах Галилея, Ньютона и Фурье и развитые затем трудами Стокса, Гельмгольца, Рэлея и др. проблемы геометризации механики, поднятые и развитые в работах Якоби, Бельтрами, Липшица, Дарбу, Герца я др. , и т. д.). [c.242]

Авторы получили строгое решение газодинамической задачи для плоского потока около крыла при достаточно малых значениях числа М на бесконечности, доказали существование ее решения . Для тех же значений числа М были доказаны теорема Жуковского [Р — pFF) и сходимость метода Рэлея — Янцена. [c.320]

Даже беглого взгляда на оглавление достаточно, чтобы увидеть, какие темы освещаются в этой книге. Сюда входят и методы расчета элементов конструкций при продольном нагружении, кручении и изгибе, и основные понятия механики материалов (энергия преобразование напряжений и деформаций, неупругое деформирование и т. д.). К частным вопросам, интересующим инженеров, относятся влияние изменения температуры, поведение непризматических балок, большие прогибы балок, изгиб несимметричных балок, определение центра сдвига и многое другое. Наконец, последняя глава представляет собой введение в теорию расчета конструкций и энергетические методы, включая метод единичной нагрузки, теоремы взаимности, методы податливостей и жесткостей, теоремы об энергии деформации й потенциальной энергии, метод Рэлея — Ритца, теоремы о дополнительной энергии. Она может служить основой для дальнейшего изучения современной теории расчета конструкций. [c.9]

Stokes, см. примечание на стр. 521.Другое очень простое доказательство этой теоремы было дано Рэлеем, см. примечание на стр. 328. [c.523]

Вычисления Кирхгофа и Рэлея дают верный результат, что сопротивление пропорционально квадрату скорости, как это и требуется на основе их допущений по теореме импульсов и как это подтверждается внутри некоторых пределов и практикой, но распределение давления по поверхности пластинки оказывается совершенно различным. Имеется не только избыток давления на передней стороне, но и недостаток давления, или подсос, на задней оба обстоятельства способствуют увеличению общего сопротивления. Эти результаты иллюстрируются на прилагаемых вдаграммах (фиг. 83) ), [c.858]

Книга американского ученого Дж. Серрина, несмотря на свой малый объем, содержит не только тот материал, который обычно входит Б курсы гидродинамики, но и ряд новых или необычно изложенных результатов. Особенно типичными в этом отношении являются разделы, посвященные изложению вариационных принципов, теории динамического подобия, теории тензора напряжений, обобщению теоремы Гельмгольца — Рэлея. [c.4]

Другие вариационные принципы. Кроме рассмотренных выше основных вариационных принципов, существуют различные вариационные формулировки частных задач динамики жидкости. Некоторые из этих вариационных задач мы будем рассматривать ниже в соответствующих разделах нашей статьи. Отметим, в частности, теорему Кельвина о минимуме энергии (п. 24), вариационные принципы Б ейтмена (п. 47), теоремы Гельмгольца и Рэлея (п. 75) и т. п. [c.48]

Теорема Гельмгольца — Рэлея о диссипации. Некоторые интересные общие результаты относительно диссипации энергии в движении вязкой жидкости были получены Гельмгольцем ) и Рэлеем 2). В основе этих результатов лежит предположение о потенциальности поля вектора rotto, т. е. предположение, что [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...