Движение трех вихрей

Анализ возможных движений трех вихрей с нулевой, суммарной циркуляцией, помещенных в двухслойную вращающуюся жидкость, проведен в [143]. [c.45]

Канонические координаты для относительного движения в задаче трех вихрей. Представление уравнений относительного движения трех вихрей в гамильтоновой форме со скобкой Ли-Пуассона (3.4) и Ли-алгебраическая классификация позволяют естественным образом определить в этом случае наиболее подходящие канонические переменные. [c.50]

Приведенные рисунки иллюстрируют аналогию между движением трех вихрей и динамикой твердого тела. Сравнивая рис. 3 а (в случае равных интенсивностей) с фазовым портретом задачи Эйлера—Пуансо (см., например, [12]), можно связать коллинеарные конфигурации (лежащие на прямой L = 0) с неустойчивыми перманентными движениями твердого тела вокруг средней оси эллипсоида инерции, томсоновские решения (при которых L/G = 1) — с вращениями вокруг большой (малой) оси эллипсоида инерции. Особые точки системы, которые соответствуют периодическим решениям задачи двух вихрей (два из трех вихрей всегда слиты в одной точке, а их интенсивности складываются), лежащие на прямой L = О, можно связать с устойчивыми перманентными вращениями вокруг малой (большой) оси эллипсоида инерции. При прохождении системой коллинеарного положения (три [c.51]

Бифуркационный анализ. Траектории системы (3.8), соответствующие относительным движениям трех вихрей, параметризуются значениями интегралов к, О (3.28). Те значения интегралов, при которых происходит перестройка типа траекторий, называются бифуркационными, они группируются в бифуркационные кривые, которые, как было сказано выше, соответствуют относительным равновесиям системы. Согласно (3.31) и (3.37), бифуркационные кривые имеют одинаковую степенную зависимость к 0) вида [c.60]

Рассмотрим другой случай движения трех вихрей, при котором также выполнено условие компактности (А > 0), но интенсивность одного из вихрей имеет противоположный знак по сравнению с двумя другими (например, Г1 < О см. рис. 4Ь, 8й). Условие А > О в этом случае означает, что —Г1 < Г2 + Гз, т. е. интенсивность выделенного вихря больше интенсивности двух оставшихся. Нетрудно видеть, что все остальные возможные случаи, при которых условие А> О справедливо, сводятся к двум рассматриваемым. [c.61]

Рис. 9. Фазовый портрет относительного движения трех вихрей при Гх = 1,Гг = 2, Гз = 3, = 1.

Геометрическая интерпретация для абсолютного движения. Приведем одно любопытное наблюдение, касающееся движения трех вихрей на сфере, указанное в [128]. Проведем плоскость через три точки на сфере, в которых расположены вихри. Можно показать, что во время движения вихрей эта плоскость всегда проходит через конец вектора Г ) (центр завихренности), определяемого интегралами (2.10). Таким образом, можно сделать некоторые качественные выводы о характере движения в зависимости от того, где находится центр завихренности по отношению к сфере. [c.80]

Движение трех вихрей [c.84]

Новый этап устойчивого интереса к динамике трех вихрей отражен в работах ( 54, 86, 232 ] обобщение современного представления об этой задаче содержится в [ 88, 234 ), где дана исчерпывающая классификация всех типов движения трех вихрей. [c.85]

Другие возможные случаи движения трех вихрей при Г=0 рассмотрены в [219]. [c.107]

Кроме того, изучено явление коллапса, а также взаимодействие вихревой пары с одиночным вихрем той же интенсивности. Подчеркнуто, что знание фазовых траекторий относительного движения трех вихрей недостаточно для описания траекторий абсолютного движения. [c.115]

Движение потоков в циклонной камере с пережимом выходного торца состоит в относительном перемещении вдоль общей оси двух или трех вихрей и незакрученного (или слабо закрученного) осевого обратного тока. [c.121]

Следовательно, система трех вихрей интегрируема при произвольных гамильтонианах инвариантных относительно группы движения сферы). Для интегрируемости задачи четырех вихрей не хватает лишь одного интеграла. [c.44]

Задача трех вихрей является интегрируемой и на плоскости Лобачевского. На ней мы не останавливаемся вследствие отсутствия реальной физической интерпретации. Отметим только, что в этом случае динамика вихрей утрачивает многие интересные особенности, присущие движению вихрей на сфере. Как и в небесной механике, эта система более родственна плоской ситуации. [c.45]

При прохождении системой вихрей коллинеарного положения (А = 0) знак в формуле (3.9) следует поменять, поэтому указанный траекторный изоморфизм является, вообще говоря, кусочным. Из этой аналогии, в частности, следует, что системы трех вихрей на плоскости и сфере траек-торно кусочно-изоморфны. (В данном случае речь идет об относительном движении). [c.47]

Фазовый портрет строится в нормированных канонических координатах (l,L/G), он описывает движение изображающей точки в цилиндрических координатах по поверхности двумерной сферы + 63 = Импульс L имеет смысл ориентированной площади параллелограмма, построенного на трех вихрях (L А). Развертка фазового портрета представлена на рис. 3 a-d для четырех различных случаев соотношения интенсивностей вихрей. [c.51]

Остальные движения системы трех вихрей, не являющиеся положениями равновесия на фазовых портретах, соответствуют квазипериодическим (двухчастотным) движениям вихрей на плоскости. В зависимости от топологии фазовой кривой эти движения обладают различными особенностями — некоторые из них многократно проходят коллинеарное состояние, другие — не попадают в него ни- [c.52]

Очевидно, что в компактном случае все взаимные расстояния между вихрями также остаются ограниченными. Как и в задаче трех вихрей, вид фазового портрета определяется типом и взаимным расположением неподвижных точек и особенностей системы, а также соединяющими гиперболические неподвижные точки сепаратрисами (см. рис. 21 - 25). Неподвижные точки приведенной системы соответствуют стационарным решениям, для которых вихри совершают движения, сохраняя взаимные расстояния. Вследствие однородности уравнений движения вихрей на плоскости, связь между энергией к = и моментом >4 для стационарных решений с [c.92]

Томсоновской конфигурации при 0=1 соответствует минимальное возможное значение энергии Ет = 1п2/тг = 0.22, при этом Н = С = Уз фазовый портрет на плоскости д,С) в этом случае состоит из единственной прямой С = Уз. Фазовые портреты при больших энергиях [Е > Ет) приведены на рис. 34 - 39. Закрашенным областям на рис. 34 - 39 соответствуют области, где движение невозможно (/(/г, Я ) = не имеет решений). Хорошо видно, что при уменьшении энергии стохастический слой сначала увеличивается, занимая фактически всю плоскость (рис. 36, 37), а затем уменьшается, сохраняясь лишь вблизи неустойчивых решений и сепаратрис рис. 38, 39. В пределе Е —оо одна из пар вихрей сливается и получается интегрируемая задача — задача трех вихрей. [c.121]

Таким образом, в задаче трех вихрей на плоскости все движения, удовлетворяющие условию (7.3), являются относительными хореографиями. Па бифуркационной диаграмме (см. рис. 41) условию (7.3) соответствует область между томсоновской и коллинеарной бифуркационными кривыми. [c.122]

Теорема 7.2. Для всякого решения задачи трех вихрей, для которого интегралы движения к, О (7.2) принадлежат области С см. рис. 42), существует (вращающаяся) система координат, в которой вихри движутся по одной замкнутой кривой см. рис. 43 а - е). [c.125]

Исследования Грёбли и Синга были частично забыты, и в известной книге Бэтчелора [16] проблема о движении трех вихрей представляется как нерешенная. Это утверждение инициировало исследования Е. А. Новикова [41], X. Арефа [67], которые, по существу, повторили работы Грёбли и Синга. Анализ стационарных коллинеарных конфигураций задачи трех вихрей содержится в работе [148]. [c.20]

В современный период задача движения трех вихрей на плоскости изучалась в работах [41, 67, 138, 147, 148], с точки зрения топологического анализа — в [48, 60]. Отметим, что задача трех вихрей на плоскости не принадлежит к тем интегрируемым системам, полный анализ которых возможен в классе достаточно простых (например, эллиптических) специальных функций (из-за логарифмических слагаемых в гамильтониане, общее решение имеет бесконечно-листное ветвление на комплексной плоскости времени). Исключение составляют некоторые частные случаи, например, случай равных по абсолютной величине интенсивностей вихрей. [c.45]

Здесь мы приведем анализ движения трех вихрей на К и , впервые выполненный в [81], основанный на алгебро-геометрическом исследовании приведенной системы (1.13), а затем и абсолютного движения, без использования явных квадратур. Такой подход, опирающийся на представление уравнений движения на соответствующих вихревых алгебрах, позволяет получить более наглядное описание движений системы при помощи аналогии с системой Лотки—Вольтерра [18]. [c.45]

Задача о движении трех вихрей на сфере рассматривалась в работе В.А. Богомолова [7], который хотя и указал явное решение задачи для случая равных интенсивностей, но не сделал заключения об ее интегрируемости при произвольных интенсивностях. Интегрируемость задачи трех вихрей на сфере была одновременно отмечена А. В. Борисовым, В. Г. Лебедевым в [81], а также П.Ньютоном и Р.Кидамби в [105, 106], которые также предложили свои методы для классификации движений. В этом сборнике мы в существенно модифицированной форме излагаем результаты [81]. [c.65]

Канонические неременные для относительного движения трех вихрей на сфере. Построение канонических переменных для редуцированной системы в переменных (Mf ,A) равносильно введению координат Дар-бу на двумерном симплектическом листе, определяемом общим уровнем функций Казимира (3.7). В общем случае получаются слишком громоздкие вычисления, поэтому опишем подробнее алгоритм построения таких координат для случая равных интенсивностей при D = О, (хотя эти симплектические листы не соответствуют реальным движениям идея, построения будет более понятна). [c.68]

В работе [81] и в книге [10] приведены также исследования в случае невыполнения условия компактности (А > 0). Здесь мы только отметим, что одновременно с выходом этих работ в 1998 году, появились результаты Кидамби и Ньютона, также занимавшихся проблемой исследования движения трех вихрей на сфере. Ими были фактически лишь получены уравнения, определяющие стационарные (и статические) конфигурации. Полный [c.79]

Дальнейшее доказательство вполне аналогично доказательству Зиглина [9]. Рассмотрим сначала систему трех вихрей. Пусть /31,/ 2,/Зз — углы при вершинах сферического треугольника, образованного единичными вихрями, аг, С(2, 3 — противолежащие им стороны. Тогда относительное движение трех вихрей описывается системой [3] [c.379]

Рис. 5. Схема трилинеарных координат (3.18) и фазовый портрет задачи о движении трех вихрей в физической области (3.19) случай 2а). Толстые линии представляют собой сепаратрисы, разделяющие подобласти 1 , 2 и 3 .

Чтобы дать читателям представление о духе диссертации, рассмотрим второй ее раздел, озаглавленный О движении трех вихрей . Здесь Грёбли объясняет свою стратегию интегрирования уравнений [c.688]

Рис. 3. Примеры движения трех вихрей для случая тг = тг = —гпз, проанализированного Грёбли в его диссертации. В (а) вихри 1 и 3 сначала движутся парой, приближаясь к вихрю 2. Для этого частного случая, где при t —оо вихрь 2 находится на биссектрисе отрезка 13, конфигурация превращается в равномерно вращающийся, равносторонний треугольник при t +оо ( сепаратрисное движение). На (Ь), (с) и (с1) изображено такое же движение (Ь) показывает как это движение представлено в работе Жуковского, (с) — в диссертации Грёбли, а (ё) — в современном моделировании. Волны траектории движения внешнего отрицательного вихря были преувеличены в старых работах, (е) изображает случай, рассмотренный Грёбли (но не проиллюстрированный им), в котором все три вихря распространяются по прямым параллельным линиям.

В следующих пяти разделах своей диссертации Грёбли рассматривает движения трех вихрей, когда какое-нибудь простое свойство вихревого треугольника остается инвариантным. Таким образом, твердотельные движения , в которых форма и размер вихревого треугольника остаются постоянными, описаны в разделе 9. Десятый раздел посвящен самоподобным движениям , при которых инвариантной остается форма вихревого треугольника, но не его размер. В разделе 11 предполагается, что треугольник остается равносторонним. И, наконец, раздел 12 рассматривает случаи, когда три вихря движутся по параллельным линиям. [c.698]

Детальная классификация всех возможных траекторий движения длн любых значений интенсивностей трех вихрей содержится в работе [234], которая развивает методику исследований, пред юженную в[232), и дополняет ее анализом ряда конкретных случаев соотношений интенсивностей. Можно сказать, что в [234] проведено исчерпывающее исследование всех возможных типов относительного движения трех вихрей. [c.115]

Методом расщепления асимптотических поверхностей можно установить неинтегрируемость задачи о движении четырех точечных вихрей [61]. Рассмотрим огргшиченную постановку задачи вихрь нулевой интенсивности (т. е. просто частица идеальной жидкости) движется в поле трех вихрей одинаковой интенсивности. Тогда уравнения движения нулевого вихря можно представить в гамильтоновой форме с периодическим по времени гамильтонианом они имеют гиперболические периодические движения с пересекающимися сепаратрисами. Поэтому задача не будет вполне интегрируемой, хотя (как и в неограниченной постановке) имеет четыре независимых некоммутирующих интеграла. [c.274]

Для анализа движения Грёбли получает (приведенную) систему трех нелинейных уравнений, обладающую двумя интегралами движения и позволяющую получить явную квадратуру. Далее он рассматривает вопрос восстановления по полученной квадратуре абсолютного движения. Более подробно он анализирует частные случаи равных интенсивностей и взаимодействия вихревой пары с единичным вихрем (случай, интересный с точки зрения теории рассеяния). Грёбли также вводит геометрическую интерпретацию, полезную при исследовании трех вихрей на сфере (последние исследования относятся уже к 1998 году). [c.20]

Исследования Грёбли задачи трех вихрей были продолжены Дж. Сингом [147], который сформулировал и доказал ряд теорем об абсолютном движении, и получил простое условие ограниченности траекторий. [c.20]

Первой нетривиальной интегрируемой системой вихревого движения на плоскости является задача о трех вихрях. Ей посвящены многочисленные работы, первыми из которых являются диссертация В. Грёбли 1877 г [98] и исследования Грин-хилла [97], работа Синга [147]. [c.45]

Как следует из 3 и приведенного выше описания абсолютного движения, задача адвекции для системы трех вихрей приводит к одностепенной гамильтоновой системе (1.17), (1.18) с квазипериодическим по времени (двухчастотным) возмущением. В литературе рассматривались лишь частные постановки этой задачи с периодическим возмущением, в частности, для доказательства неинтегрируемости ограниченной задачи четырех вихрей на плоскости [23]. В общем случае анализ подобных систем сводится к исследованию некоторого трехмерного точечного отображения (сечения) Пуанкаре [И] и в настоящее время не выполнен. [c.65]

Вопрос об устойчивости статической конфигурации трех вихрей на сфере не может быть решен при помощи линейного приближения (как для относительного, так и абсолютного движения). Исследование статических конфигураций N вихрей равной интенсивности, расположенных на экваторе, содержится в статье Л.Г. Куракина и В. Юдовича, представленной в этой книге. [c.74]

Помимо естественного представления траекторий приведенной системы в канонических координатах на симплектическом листе (рис. 21 - 25, слева), в данном случае геометрическая интерпретация задачи трех вихрей (см. 3 раздел 3) также дает наглядное представление о движениях системы в пространстве взаимных расстояний Mi, М2, М3 (рис. 21 - 25, справа). Рассмотрим подробнее возможные типы фазовых портретов и соответствующие геометрические интерпретации в случаях компактности и некомпактности фазового пространства приведенной системы. [c.93]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...