Конечный элемент множество узлов

В МКЭ исходная область определения функции разбивается с помощью сетки, в общем случае неравномерной, на отдельные подобласти — конечные элементы. Искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно-непрерывной, определенной на множестве конечных элементов. Аппроксимация может задаваться произвольным образом, но чаще всего для этих целей используются полиномы, которые подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов. [c.13]

Различные виды анализа, выполняемые в программных системах первой, второй и третьей групп, основаны на классических инженерных подходах к разработке математических моделей поведения изделия при различных воздействиях. В конечно-элементной постановке задачи моделирования исследуемая область предварительно разбивается на ограниченное множество конечных элементов, связанных между собой конечным числом узлов. Искомыми переменными уравнений математических моделей являются перемещения, повороты, температура, давление, скорость, потенциалы электрических или магнитных полей. Эти переменные определяют степени свободы узлов. Их конкретное содержание зависит от типа (физической природы) элемента, который связан с данным узлом. Например в задачах прочностного анализа для каждого элемента с учетом степеней свободы его узлов могут быть сформированы матрицы масс, жесткости (или теплопроводности) и сопротивления (или удельной теплоемкости). Множество степеней свободы, определяющих состояние всей системы в данный мо- [c.58]

Определение данных и ограничений. Исходные данные анализа, введенные на этапе предварительной подготовки, становятся частью базы данных пакета. Содержанием базы данных являются множества типов элементов, свойств материала, параметров узлов, нагрузок и др., которые соответствующим образом группируются и этим группам присваиваются идентификаторы (число или имя). Выбор необходимых данных осуществляется либо путем указания графических примитивов расчетной модели на экране монитора, либо используя идентификаторы групп конечных элементов, видов материалов, узлов и элементов и др. Например, граничные условия можно вызвать из базы данных и отредактировать, используя геометрию модели, а не номера отдельных узлов или элементов. [c.71]

Для всех деталей двигателя должны быть предусмотрены уровни деформаций и максимальных напряжений, определяемые из анализа различных условий полета, в которых двигатель будет эксплуатироваться. Этими условиями обусловлено возникновение множества симметричных и асимметричных нагрузок, которые будут испытывать двигатель и его узлы в дополнение к нагрузкам, создаваемым самим двигателем в процессе работы. Представляет интерес, например, каково взаимное влияние подверженных прогибу вращающихся деталей и неподвижного корпуса, а также прогиб опорных элементов. Вследствие анизотропии свойств композиционных материалов процесс проектирования усложняется и возможно использование метода конечных элементов с привлечением компьютеров для точной проверки напряжений и прогибов в зависимости от оптимальной ориентации слоев. [c.62]

Условно разделим тело на множество конечных элементов простой формы. Присвоим номера всем элементам, а также в определенной последовательности обойдем все узлы и пронумеруем по порядку все степени свободы (или обобщенные перемещения) в узлах. Такую нумерацию степеней свободы в дальнейшем будем называть глобальной. Рассмотрим отдельный элемент с номером е. В заранее установленной последовательности обхода для элементов данного типа обойдем все узлы элемента и пронумеруем по порядку, начиная с единицы, все степени свободы в узлах элемента. -Такую нумерацию степеней свободы назовем локальной. Пусть общее число степеней свободы в элементе будет п. Таким образом, для элемента имеются две нумерации локальная и глобальная. Условно их представим в виде следующих упорядоченных массивов номеров или индексных массивов [c.103]

В результате решения системы уравнений (7.96) с учетом граничных условий задачи определяются скорости узловых перемещений в глобальной системе координат. Для определения напряжений в каждом элементе осуществляется переход к локальным координатам. Затем по соотношениям (7.85) и (7.88) вычисляются скорости деформаций и компоненты напряжений во множестве точек деформируемой мембраны. В конце интервала времени координаты узлов сетки конечных элементов изменяются и расчет продолжается далее. Для выхода из нуля необходимо задать первоначальную форму мембраны одним из возможных способов. Наиболее просто начальная форма задается приблизительно таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия. [c.191]

Метод конечных разностей основывается на замене уравнения Лапласа набором линейных алгебраических уравнений, связывающих друг с другом значения потенциала в узлах расчетной сетки. Эта связь может быть установлена и другим способом. В методе конечных элементов используется расчетная сетка, состоящая из треугольных элементов переменных размеров, покрывающих всю область, для которой необходимо найти решение уравнения в частных производных, -Затем аппроксимируемая вариация потенциала на каждом таком элементе некоторым образом связывается с положением угловых узлов, и строится функционал (интегральная величина, определенная на множестве функций), минимизация которого по значениям потенциала в узлах треугольников эквивалентна решению уравнения в частных производных [122]. Эти два подхода математически эквивалентны, поэтому любая задача, сформулированная в виде уравнения в частных производных, может быть переформулирована в виде вариационной задачи. Конечно-разностная процедура аппроксимирует решение задачи в форме уравнения [c.154]

Основные этапы применения метода конечных элементов указаны на рис. 5.8. Первый этап состоит в разделении тела на малые элементы простой формы, соприкасающиеся в точках, которые называются узлами. Разделение на элементы можно выполнить множеством разных способов, так как выбор размеров, формы и ориентации элементов целиком определяется представлениями инженера о том, как проще решить данную задачу. Элементы плоского тела имеют обычно треугольную или четырехугольную форму, а элементы трехмерных тел — форму тетраэдров или гексаэдров. Те участки тела, для которых из физических соображений требуется получить более детальную информацию, разбиваются на большее число мелких элементов. Если физические свойства тела изменяются в точке или вдоль линии, то можно изменять форму, размеры или ориентацию элементов на этом участке тела. На рис. 5.9 показано разбиение равномерно нагруженной квадратной пластинки с эллиптическим отверстием в центре на 26 треугольных конечных элементов. Так как пластинка имеет две оси симметрии, то рассматривается только одна ее четверть. Следует обратить внимание на уменьшение размеров элементов вблизи эллиптического отверстия. Это позволяет получить более подробную информацию о тех участках пластинки, на которых велики градиенты напряжений. Как видно из рнс. 5.9, обычно нумеруют и элементы, и узлы, так как это [c.126]

Метод конечных элементов основан яа идее аппроксимации непрерывной функции (температуры, давления, перемещения и т. д.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых элементами. В качестве функции элемента чаще всего применяется полином. Порядок полинома зависит от числа используемых в каждом узле элемента данных [c.30]

В случае использования эрмитовых конечных элементов ситуация менее простая Рассмотрим, например, случай эрмитовых п-симплексов типа (3 ), когда множество узлов триангуляции совпадает со множеством всех вершин триангуляции. Тогда для каждого граничного узла Ь Л Г через ф), у Г (/ ), обозна- [c.101]

Заметим, что точки а,—узлы конечного элемента К, Р, X). Основное преимущество изопараметрических конечных элементов состоит в том, что свобода в выборе точек а,- позволяет получать более общие геометрические формы множеств К, чем рассматривавшиеся до сих пор многоугольные формы. Как мы увидим в следующем разделе, это свойство решающее для получения хорошей аппроксимации криволинейных границ. [c.225]

Граница множества К = Г К) составлена из граней, т. е. образов Г К. ) граней К, -симплекса К. Так как всякая базисная функция ф -симплекса К типа (2) обращается в нуль вдоль всякой грани из К, не содержащей соответствующий ф узел (см. замечание 2.3.10), то мы заключаем, что всякая грань изопараметрического п-симплекса типа (2) определяется только узлами, через которые она проходит (см. также упр. 4.3.4). Это свойство, выполняющееся для всех рассматриваемых в дальнейшем изопараметрических конечных элементов, позволяет строить триангуляции, составленные из изопараметрических конечных элементов (см. разд. 4.4). [c.227]

ЛГд- множество узлов конечного элемента. [c.502]

Как следует из основной концепции МКЭ, вся модель конструкции (или отдельной ее части) делится на множество конечных элементов, соединенных между собой в вершинах (узлах) (рис. 1.9 а, б). Силы действуют в узлах. Конечный элемент не является абсолютно жестким телом. [c.22]

Сегментация модели обеспечивает многие полезные возможности. Она облегчает создание больших моделей, так как их естественнее всего создавать по частям. При этом появляется отдельная задача - формирование КЭМ для прочностного расчета (выходной КЭМ). Она выполняется соединением конечно-элементных компонент из нужного набора сегментов. Результат - выходная КЭМ - помещается в отдельный новый сегмент. Конечные элементы в ней сгруппированы в так называемые сетки, причем обычно это распределение по сеткам отражает имевшееся распределение элементов по сегментам. Выходная КЭМ имеет общее множество узлов. Получение выходной КЭМ связано с перенумерацией множества узлов КЭМ, участвующих в сборке модели сегментов, а также в соответствующей замене имен узлов в описании конечных элементов. Тем не менее удобство работы с независимыми сегментами компенсирует расходы на дополнительные операции. [c.103]

Принципиально смешанную задачу (2.7) — (2.10) можно рассматривать как единую, т. е. одновременно оптимизировать Хн и Хд, если те и другие переменные считать принадлежащими некоторому конечному множеству дискретных элементов. Тогда в качестве метода оптимизации для решения вновь полученной задачи можно выбрать некоторый метод направленного перебора узлов дискретной пространственной сетки. В этом случае дискретность выбора каждого следующего значения оптимизируемой переменной не нарушит непрерывного характера изменения Хн- [c.17]

Введенная Пуанкаре классификация периодических решений не учитывает все множество таких орбит. Его исходная точка зрения состоит в отыскании периодических орбит при ц = О и затем в определении условий, при которых периодические орбиты могут быть также при малых значениях р. Прежде всего при этом, конечно, исключаются такие периодические орбиты, для которых настолько велико, что координаты тела не могут быть разложены по степеням Нельзя также быть уверенным, что [I при этом должно иметь весьма большое значение. Известно. что (А встречается в качестве множителя в вековых неравенствах долготы перигелия и узла периодических орбит, и разложения координат (или элементов) содержат одновременно со степенями р и степени 1. Таким образом, нельзя быть уверенным в том. что при помощи разложений по степеням ц можно получить такне орбиты, для которых период Т превышает определенную величину. [c.453]

В нашем примере допустимым пространством Же будет пространство непрерывных функций. Кусочно постоянные функции сразу отбрасываются. Поэтому проще всего взять в качестве множество функций, линейных на каждом интервале [(/—1)/г,/Л], непрерывных в узлах х = к и равных нулю при л = 0. Производная от такой функции кусочно постоянна и обладает, очевидно, конечной энергией таким образом, S — подпространство пространства Же- Такие пробные функции мы будем называть линейными элементами. [c.39]

Тогда как для лагранжева конечного элемента множество степеней свободы определено однозначно —в действнтельности оно может быть условно отождествлено с множеством узлов,— для эрмитового конечного элемента, соответствующего тому же самому конечному элементу, всегда имеется несколько возможных определений для степеней свободы. Более точно будем говорить, что два конечных элемента (К, Р, S) и (L, Q, Е) равны, если [c.87]

Обозначим множество полиномов от п переменных степени k по совокупности переменных через Р , множество полиномов от н переменных степени k по каждой переменной в отдепьности — через Q / . Как было выяснено, для треугольных и тетраэдральных элементов в обычной постановке задач теории упругости подходят полиномиальные аппроксимации перемещений полиномами из P k, для четырехугольных и параллелепипедов — аппроксимации полиномами из Ql- В рассматриваемом случае ни один из этих типов полиномов не может быть использован, тем не менее попытаемся аппроксимировать прогиб w полиномом, вид которого будем выбирать из тех соображений, чтобы обеспечить непрерывность w при переходе через границы конечных элементов. Так как величины прогибов и поворотов в узлах (вершинах) являются общими для соседних элементов, то в случае непрерывности прогибов форма прогиба на границах рассматриваемого элемента будет определяться четырьмя параметрами (по два в каждом узле) —ш и 6 на границе л-2 = onst, 02р—на границе Xi = onst. [c.147]

Для решения плоских задач механики разрушения, а также сквозных трещин в толстых пластинах, подвергнутых растягивающим и изгибающим нагрузкам, был использован еще один вариант описанной выше концепции суперпозиции [76—78]. В рамках этого подхода, который аналогичен глобально-локальной формулировке метода конечных элементов [79], пробные функции перемещений, используемые в гфинципе виртуальной работы, состоят из двух частей (1) из множества обычных (несингулярных) конечно-элементных базисных функций, которые, если их рассматривать в качестве глобальных функций формы, соответствующих единичному перемещению на каждом узле, будут иметь ненулевые значения только на элементах, содержащих рассматриваемый узел в качестве общего (т. е. имеют локальный носитель) (2) из аналитического решения, которое включает в себя изменения напряжения типа l/ /r и О (г), причем это решение справедливо глобально. [c.210]

Переход к многомерному случаю связан со значительными усложнениями. Пусть задана область V тела, ограниченная поверхностью S. Выберем множество точек i, V, i = 1,2,..., N, называемых узловыми или узлами. Если 2,- V, то узлы называются внутренними если , S — то граничными. Совокупность всех узлов называется сеточной областью Vh или сеткой. Каждый узел 2,- Sft называется граничным узлом, а совокупности всех таких узлов — границей сетки. Для построения разбиения области V необходимо задать форму конечного элемента. Если это треугольник (в случае V С Кг) или тетраэдр (в случае V С Кз), то разбиение называется триангуляцией области. Мы будем рассматривать простейпше случаи разбиения, когда конечные элементы представляют собой прямоугольные параллелепипеды или прямугольники одинаковой формы. Тогда координаты узлов могут быть заданы формулами [c.165]

Легко проверить, что в каждом из перечисленных случаев достаточное (и очевидным образом необходимое) условие обращения в пуль вдоль Г функции ь Х состоит в ее обращении в нуль во всех граничных узлах, т. е. узлах пространства X, принад-лежапхих границе Г. Другими словами, если оЛГ обозначает множество узлов пространства X,,, то пространство конечных элементов X/, нз (2.3.33) задано соогношением [c.101]

Пусть К, Рк, к)—лагранжев конечный элемент со множе-сгвом узлов о) Г, т. е. множество степеней свободы имеет вид р(а) а аТ. Если К — произвольная грань множества К, [c.103]

Хотя пространство не определяется однозначно единственным уравнением = Хслсуществует, однако, канонический выбор Предположим для определенности, что используются лагранжевы конечные элементы. Тогда пространство о//д состоит из тех функций пространства X, которые обращаются в нуль во внутренних узлах, т. е. в тех узлах, которые расположены в множестве [c.391]

Предположим, что пространство конечных элементов X,, составляется из лагранжевых конечных элементов, а состоит из тех функций пространства которые принимают нулевые значения во всех узлах, принадлежащих множеству О. Пусть, кроме того, ( , — скалярное произведение пространства (Г), Цель этой задачи —показать, что (см. Сьярле, Гловински [1]) определенная в (7.2.42) величина о,, удовлетворяет условию [c.392]

Разностная схема является важной (Составной частью математической модели. Рассмотрим, что же включается в понятие разностной схемы. Это прежде врего сетка, т. е. конечное множество точек, в которых определены харак теристики среды — решение разностных уравнений. Область, в которой ищется решение, разбивается на множество малых элементов — ячеек сетки. Выделенные точки внутри ячеек или на их контурах называются узлами сетки. Если моделируемый процесс развивается во времен, то одновременно с пространственной сеткой вводится сетка по времени, образуемая малыми временными интервалами. Пространственно-временные сетки могут строиться различными способами. [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...