Понятие разностной схемы

Понятие разностной схемы [c.4]

Понятие сходимости разностной схемы тесно связано с понятиями точности и устойчивости. [c.46]

Основные понятия теории разностных схем [c.268]

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ [c.269]

ПОНЯТИЕ О РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ. [c.224]

Теория разностных схем в основном развита для линейных задач и опирается, как отмечалось ранее, на три основных понятия аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений, устойчивость вычислительного процесса, сходимость численного метода к решению. Для нелинейных задач теория, как правило, не развита исследование устойчивости в этих случаях сопряжено с большими трудностями и проводится обычно на линейных аналогах конкретной задачи. Например, при исследовании устойчивости задач газовой динамики часто рассматриваются уравнения в акустическом приближении. [c.232]

Понятие устойчивости. Разностная схема называется сходящейся, если при /г- -О сеточное решение стремится к точному Uh- u. Если U—Uh=0(hp), то порядок сходимости равен р. Схемы, обладающие свойством аппроксимации, могут быть ие-сходящимися. Приведем пример такой схемы. Для уравнения [c.83]

Поясним еще раз понятие устойчивости. Ошибки при вычислении начальных и граничных условий и правых частей уравнений из-за погрешностей округления и других причин можно рассматривать как возмуш,ения начальных и граничных условий и правых частей уравнений. Очевидно, что разностная краевая задача (или задача с начальными данными) корректна и устойчива, если решение разностной краевой задачи незначительно изменяется при малом изменении начальных и граничных условий и правых частей, связанном со случайными погрешностями. В противном случае разностная краевая задача неустойчива. Важно отметить, что для неустойчивых разностных схем измельчение сетки не приводит к устойчивости, поскольку любые малые возмущения решения со временем неограниченно возрастают. [c.92]

В данном разделе сначала коротко рассмотрим основные понятия теории численных методов, а затем более подробно остановимся на применении конечно-разностных схем для решения уравнений теплопроводности. Метод конечных элементов будет изложен в следующей главе. [c.69]

Теория численных методов решения уравнений в частных производных представляет собой весьма обширный и достаточно сложный раздел математики, называемый теорией разностных схем, с которым можно познакомиться, например, по книгам [4, 14, 24, 26]. В данном учебном пособии основное внимание уделяется практическим вопросам построения и реализации на ЭВМ различных численных методик, а не их теоретическому исследованию и обоснованию. Как правило, будем ограничиваться лишь объяснением основных понятий, которые понадобятся в дальнейшем, причем некоторые вопросы рассмотрим не вполне строго с позиции математики. [c.70]

Разностная схема и разностное решение. Основные понятия теории разностных схем разберем на примере одномерного нестационарного уравнения теплопроводности для пластины с внутренним источником теплоты [c.70]

Используя понятие нормы, сформулированное требование к разностной схеме можно записать в виде [c.75]

Требование сходимости приводит, в свою очередь, к требованию выполнения для разностной схемы двух условий—аппроксимации и устойчивости. Можно доказать (см. ниже), что при наличии аппроксимации и устойчивости всегда будет иметь место и сходимость. Остановимся на понятиях аппроксимации и устойчивости подробнее, начав с первого. [c.75]

Струна — Понятие 145 Схема разностная — Определение 187— Устойчивость 187 Сходимость — Скорость 84 --разностной аппроксимации 186 [c.350]

Выбор метода дискретизации тесно связан с выбором функционала. В частности, вариационно-разностные схемы могут быть построены на основе общей идеи расчленения сложной системы на элементы. При этом возникает понятие метода конечных элемен-70в (МКЭ). С математической точки зрения расчленение означает выбор определенного частного функционала и дополнительных условий к нему, т. е. расчленение всей разрешающей системы уравнений на две части, одна из которых (дополнительные условия) должна выполняться предварительно, до использования другой. Расчленение обычно сопровождается механической трактовкой, которая выражается в выборе так называемой основной системы (длд которой дополнительные условия выполнены) и неизвестных (отыскиваются с помощью частного функционала). [c.171]

Читателю, желающему подробнее познакомиться с понятием устойчивости разностных схем, можно рекомендовать книги [3, 8 ].— Прим. ред. [c.110]

Рассмотрим теперь кратко понятие первого дифференциального приближения разностной схемы. Вернемся к уравнению (2.7). Это есть некоторое уравнение в частных производных, порядок которого выше порядка исходно- [c.11]

Таким образом, возникает проблема интерпретации результатов газодинамических расчетов по однородным разностным схемам. Что взять в качестве критерия для определения положения, или локализации, фронта ударной волны в пределах зоны "размазывания" Н. Н. Яненко предложил понятие "дифференциального анализатора "как алгоритма локализации фронта ударной волны на основе результатов сквозного счета задач газовой динамики. В .6] была предложена теория, позволяюш,ая обосновывать алгоритмы локализации ударных волн в сквозных численных решениях. [c.48]

Цель данной главы — познакомить читателя в том объеме, который необходим для понимания дальнейшего содержания книги, с такими ключевыми понятиями теории разностных схем, как сетка, аппроксимация, устойчивость. Обозначения и терминология соответствуют принятым в известной монографии Самарского /12], которая может послужить источником для более глубокого изучения этих вопросов. [c.29]

Основные понятия и обозначения теории разностных схем [c.94]

В дальнейших пунктах этого параграфа мы напомним основные понятия теории разностных схем (подробнее см, [77]), [c.95]

Понятие устойчивости разностной схемы [c.152]

Основной интерес и основную трудность представляет исследование устойчивости схем. Понятие устойчивости разностной схемы является составной частью определения корректности разностной схемы. Напомним содержание определения корректности применительно 1с задачам математической физики для непрерывного случая. [c.154]

Понятие устойчивости разностной схемы связано с понятием корректности разностной схемы. Будем говорить, что разностная задача поставлена корректно, если решение существует и единственно при всех начальных и граничных условиях допустимого вида, причем решение разностной задачи непрерывно зависит от начальных данных и равномерно относительно величины шага сетки. Вторая часть условия корректности является как раз устойчивостью схемы по начальным данным. Для линейных задач условие устойчивости по начальным данным и устойчивость по правой части эквивалентны. Условие устойчивости связано с реакцией разностной схемы на ошибки, которые вносятся в правую часть Zu = f) в начальные и граничные условия. Рост возмущений приводит к неустойчивости численных расчетов. Если ошибки не накапливаются в процессе вычислений, то разностная схема устойчива. [c.128]

Разностная схема является важной (Составной частью математической модели. Рассмотрим, что же включается в понятие разностной схемы. Это прежде врего сетка, т. е. конечное множество точек, в которых определены харак теристики среды — решение разностных уравнений. Область, в которой ищется решение, разбивается на множество малых элементов — ячеек сетки. Выделенные точки внутри ячеек или на их контурах называются узлами сетки. Если моделируемый процесс развивается во времен, то одновременно с пространственной сеткой вводится сетка по времени, образуемая малыми временными интервалами. Пространственно-временные сетки могут строиться различными способами. [c.213]

Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используется понятие ее порядка. Аппроксимация имеет порядок р, если ее погрешность, обусловленная заменой дифференциального уравнения разностным, пропорциональна шагу сетки в степени р. Можно показать, что разностная схема (3.10) имеет первый порядок аппроксимации О (Ах), а (3.12)—второй порядок аппроксимации 0(Дх2). Здесь буква О представляет сокращение слова Order, что в переводе означает порядок . [c.60]

Лннроксимация, устойчивость и сходимость. Рассмотрим основные понятия теории разностных схем на примере разностной схемы (5.53), (5.54) для краевой задачи (5.50), (5.51), считая, что дифференциальный оператор L и разностный опе- [c.146]

Для понимания нелинейных явлений в волоконных световодах необходимо рассмотреть теорию распространения электромагнитных волн в нелинейной среде с дисперсией. Цель этой главы-получить основное уравнение распространения оптических импульсов в одномодовых световодах, В разд. 2,1 вводятся уравнения Максвелла и основные понятия, такие, как линейная и нелинейная индуцированная поляризация и диэлектрическая проницаемость, зависящая от частоты. Понятие мод волоконного световода вводится в разд, 2,2, в котором обсуждается также, при каком условии световод будет одномодовым, В разд. 2,3 рассматривается теория распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией в приближении медленно меняющихся амплитуд в предположении, что ширина спектра импульса много меньше частоты электромагнитного поля, В разд. 2,4 обсуждаются численные методы, используемые для решения уравнения распространения. Особое внимание уделено методу расщепления по физическим факторам с использованием быстрого преобразования Фурье на дисперсионном шаге (SSFM) он отличается большей скоростью счета по сравнению с большинством разностных схем. [c.33]

Важным требованием црп численном моделпровапнп негладких или ударно-волновых динамических процессов является выполнение дискретных аналогов интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии и термодинамического неравенства (второго закона термодинамики) [20, 161, 192], в частности построение разностных схем, аппроксимирующих дивергентные формы дифференциальных уравнений в частных производных [74, 75]. Эти требования входят в понятие консервативности разностных схем и полной консервативности [46, 47, 101, 162], при которой для копечио-разпостпой или дискретной системы также выполняются определенные эквивалентные преобразования, аналогичные дифференциальным преобразованиям системы уравнений в частных производных. [c.27]

Вводные замечания. Одним из важных требований, предъявляемых к разностным схемам, является требование однородности схемы [91], [92]. В это понятие пкладьпшется с. гедующий смысл. [c.124]

Суммируя результаты теоретического анализа и численных расчетов, мы можем заключить, что при расчете задач газовой динамики иолностью консервативные разностные схемы дают определенные количественные преимущества по сравнению с другими схемами того же порядка аппроксимации, в том числе и классическими консервативными схемами. Эти преимущества проявляются при расчете быстропеременных во времени и про-страпстпо решений па грубых роменпых разностных сетках, когда фактически неприменимо понятие аппроксимации. [c.139]

Ютасс разностных схем, описываемых в этой книге, практически обладает всеми указанными выше свойствами. Поскольку порядок этих схем выше второго, их можно отнести к категории схем повышенной точности. Для уточнения этого понятия целесообразно напомнить определения аппроксимации и устойчивости схем, а также теорему о связи между ними и сходимостью в том виде, как это представлено в [3]. Пусть имеется задача [c.5]

Решения полной пространственной системы уравнений Навье— Стокса трудно получить с удовлетворительно точным пространственным разрешением для ЭВМ настоянхего поколения. В задачах обтекания численные методы позволяют получить решения уравнений динамики вязкой жидкости при относительно небольших числах Рейнольдса порядка 10—10 При увеличении числа Рейнольдса физическое решение становится чувствительным к выбору начальных и граничных условий. При использовании конечно-разностных схем возникает понятие схемной вязкости, которая может стать одного порядка с физической вязкостью. Это приводит к тому, что вместо реальной картины течения численные методы предсказывают физически другую ситуацию. [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...