Каноническая система условных

Определение 1.9. Канонической системой условных мер, принадлежащих разбиению i, называется система мер (i v 6g, обладающая следующими свойствами [c.16]

Разбиение называется измеримым, если оно обладает канонической системой условных мер. [c.16]

Каноническая система условных мер для измеримого разбиения единственна в том смысле, что любая другая система (1с совпадает с ней для почти всех Сб . [c.16]

Здесь повторяется ситуация, рассмотренная в предыдущих главах процедура усреднения может быть достаточно эффективной в случае исследования колебательных процессов, описываемых периодическими или условно-периодическими функциями. Некоторые вопросы применимости метода усреднения к каноническим системам решены в работах [8, 12, 29, 31, 125, 168]. Здесь мы изложим в некотором смысле более общий алгоритм реализации метода усреднения для уравнений (1). [c.205]

Следствие 1. Если в канонической системе с двумя степенями свободы известен один первый интеграл Г, не зависящий от функции Гамильтона Н, то система интегрируема в квадратурах, компактное связное двумерное подмногообразие фазового пространства П = к, Р = f есть инвариантный тор, а движение на нем условно-периодично. [c.239]

Гамильтоновы системы являются наиболее подходящей моделью для описания движений в динамических системах с потенциальными полями, когда существует так называемая характеристическая функция, зависящая от обобщенных координат и скоростей (импульсов) [159], которая порождает дифференциальные уравнения движения поэтому можно сказать, что она исчерпывающим образом описывает движения в динамических системах. Асимптотическое интегрирование канонических систем так или иначе связано с нахождение. периодических или условно-периодических решений, с изучением окрестности таких решении и с проблемой устойчивости частных решений гамильтоновых систем [12, 91, 160]. [c.195]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Расчет ребристо-кольцевого купола на осесимметричную нагрузку, подобно расчету ребристого, сводят к расчету плоских трехшарнирных арок с условными затяжками-кольцами, которые препятствуют горизонтальным перемещениям ребер, благодаря чему уменьшаются усилия в ребрах, а следовательно, снижается расход материалов на них (рис. 187, б). Влияние лишних неизвестных Xi, Хч,. .. определяют путем решения системы канонических уравнений. [c.214]

Таким образом, преобразование (35.10) сводится к взаимному переименованию координат и импульсов (новые координаты совпадают со старыми импульсами, а новые импульсы отличаются от старых координат только знаком). Этот пример наглядно указывает на равноправие координат и импульсов в методе Гамильтона, в силу чего переменные VI п называют канонически сопряженными величинами. Вместе с тем это указывает на условность наших представлений о переменных как о пространственных координатах и о р как динамических переменных, измеряемых произведением массы на скорость. Различие между ними практически состоит только в названии, и поэтому при рассмотрении любого механического процесса нельзя противопоставлять его кинематику динамике и наоборот, ибо кинематическое и динамическое в движении любой механической системы составляют единое целое. [c.200]

Следуя традиции, оправдавшей себя при введении канонических распределений (см. т. 2, гл. 1), рассмотрим сначала изолированную равновесную статистическую систему (см. рис.5а), т.е. систему, макроскопическое состояние которой определяется заданными параметрами ( , V, о, iV). Ради технического удобства параметр а временно отмечать не будем. Согласно микроканоническому распределению Гиббса все микроскопические реализации этого состояния, сосредоточенные в энергетическом слое ( , + б ), равновероятны, а число всех этих состояний определяет статистический вес данного макроскопического состояния системы Г( , У, ЛГ). Однако равновесному термодинамическому состоянию системы, обладающему всеми характерными для него свойствами (см. т. 1, 1), которое мы условно будем называть 0-состоянием (состоянием с нулевым отклонением от равновесного в любой точке внутри системы), отвечает только часть этих реализаций, которая составляет лишь главную асимптотическую (в предельном статистическом понимании) часть от статистического веса Г. Именно эта часть статистического веса связана с равновесным (а значит, в удельном выражении пространственно однородным) значением энтропии [c.31]

Будем рассматривать обобщенно-консервативные системы, т. е. такие системы, у которых функция Гамильтона не зависит явно от времени и, следовательно, существует обобщенный (или обычный) интеграл энергии ). Кроме того, предположим, что существует хотя бы одна система обобщенных координат, при которой переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. Относительно движения самой системы материальных точек и тел предположим, что оно условно-периодическое. Это означает, что при финитном изменении координат каждая пара канонически сопряженных переменных 9 -, изменяется периодически с одним и тем же периодом, следовательно, траектория изображающей точки в каждой плоскости ( 1, р1) будет замкнутой кривой. И если [c.348]

Пусть Ti есть факторавтоморфизм Т, и гомоморфизм ф таков, что прообраз ф (л 1) почти каждой точки Xi Mj конечен и состоит из N точек. Если Т эргодичен, то условная мера каждой из них, как условная мера на элементе разбиения, индуцированного отображением ф, равна N . Тогда автоморфизм Г можно представить как косое произведение над Т, в котором Мг есть пространство из N точек, а семейство T ixx) состоит из перестановок множества Мг. В общем случае, если Тх — факторавтоморфизм эргодического автоморфизма Г и ф М->--> Mi — соответствующий гомоморфизм, то разбиение пространства М на прообразы ф (лг1), Xi6Mi, измеримо. Ему отвечает каноническая система мер ( с Сб . [c.31]

Если исследуется устойчивость положения равновесия (не условная ), то в качестве Xi,. .., можно взять величины 9,.....Ч , Яп или 1,., ., /> . В первом случае уравнения (2) представляют собой уравнения Ла-граяжа, записанные в виде системы 2п дифференциальных урав-нений первого порядка с неизвестными функциями qi,, q . Во втором случае уравнениями (2) являются канонические уравнения Гамильтона [c.207]

Вообгце говоря, для произвольных линейных систем с условнопериодическими коэффициентами приводимость может не иметь места. Однако, как показал Г.А. Красинский [77], уравнения в вариациях, соответствуюгцие условно-периодическим движениям гамильтоновых систем, построенным с номогцью метода А.Н. Колмогорова и его модификаций, всегда приводимы, причем матрица соответствуюгцей линейной замены переменных имеет условно-периодические коэффициенты, а сама замена будет канонической. Следовательно, в этом случае можно надеяться на успешный анализ устойчивости нелинейной системы методом нормальных форм Пуанкаре. [c.124]

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот соо играют средние движения планет. [c.803]

Но этот случай, как мы показали, как раз является сомнительным, и для выяснения вопроса об устойчивости нужны с южные и тонкие исследования членов высших порядков. Например, рассмотрим частные решения ограниченной задачи о трех телах. Выло показано (см. главу VIII), что для решений первой группы характеристическое уравнение системы в вариациях при любом значении ji имеет два действительных корня и два чисто мнимых. Так как уравнения возмущенного движения имеют каноническую форму, то действительные корни имеют разные знаки, а, следовательно, частные решения первой группы неустойчивы, и может иметь место только условная устойчивость. [c.479]

Если для системы, вьшеленной воображаемыми стенками, такое представление можно даже считать естественным (рис, 26), как мысленное выделение небольшой, но макроскопической части равновесной системы (все остальные ячейки равноцен- ны с рассматриваемой и вместе с ней образуют то, что называют большим каноническим ансамблем), для систем, офаниченных частиценепроницаемыми стенками типа (/ ) (рис. 27) эта картина (так называемый канонический ансамбль Гиббса) воспринимается уже с некоторой натяжкой и условностью, то ансамбль изолированных [c.93]

П-образный листовой температурный компенсатор цилиндрической оболочки (рис. 20.13, г иг ). В системе имеются три неодинаково нагретых элемента. Зададимся равномепным приращением температуры на неодинаковую величину -1- 1 у каждого элемента (по сравнению с температурой условного нуля io) Задача трижды статически неопределима. Канонические уравнения метода сил приведены в выражениях (20.79), из которых можно найти Хи Х2, Хз и затем расчетные напряжения. Перемещения 8 и Д определяются по табл. 20.1. [c.446]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...