Особая траектория

Оказывается, что для выяснения качественной картины для системы второго порядка нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых из них, называемых особыми траекториями. К последним относятся состояния равновесия, предельные циклы и незамкнутые траектории, у которых хотя бы одна полутраектория (т. е. кривая, описываемая изображающей точкой при t +00 или при — XD из начального положения точки в момент времени t = о) является сепаратрисой какого-нибудь состояния равновесия. Если взаимное расположение этих особых траекторий известно и, кроме того, определена устойчивость состояний равновесия и предельных циклов, то мы получаем полную качественную картину разбиения плоскости ху на траектории. [c.42]

Особые траектории разделяют фазовую плоскость на конечное число ячеек, поскольку из аналитичности правых частей системы (3.1) вытекает, что число особых траекторий конечно. Граница каждой ячейки состоит из особых траекторий, причем точки одной и той же траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. Все ячейки заполнены неособыми траекториями, поведение которых одинаково. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же предельные множества. Если же внутри какой-нибудь ячейки существует хотя бы одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке. Основной топологической характеристикой, отличающей одну ячейку от другой, является ее связность. [c.42]

Число различных областей и взаимное расположение кривых (3.10) и (3.12) на плоскости t/gXo зависят от значений параметров I и Случай разбиения плоскости параметров уо, Хд, изображенный на рис. 3.8, заведомо осуществляется при значениях К, р, удовлетворяющих неравенству р Рассмотрим этот случай подробнее и выясним, какие из особых траекторий, кроме состояний равновесия, могут быть на фазовой плоскости ху при различных значениях параметров Хд, (/ . [c.57]

Теорема. Если Wl (WI,) содержит особую траекторию, не совпадающую с Z,i(Z,2), то бифуркационная поверхность Bi недостижима в точке о хотя бы с одной стороны. [c.139]

Определение особых траекторий является третьим этапом исследования. Мы продолжим обзор, по-прежнему ограничиваясь си- [c.37]

Новые динамич. свойства систем с О. с. возникают при увеличении числа степеней свободы. Так, для систем, описываемых двумя ур-ниями (1), на фазовой плоскости наряду с особыми точками — состояниями равновесия, могут также возникать особые траектории — предельные циклы, отвечающие автоколебаниям. Примером механич. системы с автоколебаниями являются часы с анкерным устройством, к-рое осуществляет О. с. между источником энергии (пружиной, гирей) и маятником. [c.386]

В исследованиях, описанных выше, предполагалось, что движение п тел регулярно, т. е. происходит без соударений и удаления на бесконечность. Между тем изучение особых траекторий динамических задач вообще и задачи п тел в частности имеет очень большое значение для определения условий, при которых данное движение будет устойчивым или неустойчивым. Могущественные методы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, созданные А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяют проникнуть в природу механического движения и исследовать особенности интегралов дифференциальных уравнений, описывающих это движение. Потребность в качественных методах исследования вызвана тем, что многочисленные и очень важные задачи механики, математического анализа, геометрии, математической физики и прикладных наук приводят к дифференциальным уравнениям, не интегрирующимся в конечном виде. Таким образом, возникает необходимость в разработке методов изучения свойств функций непосредственно по дифференциальным уравнениям, их определяющим. Вот почему доказательство теорем существования, изучение критических точек, особых траекторий и устойчивости решений составляли и составляют фундамент исследований ряда крупных отечественных и зарубежных ученых [c.111]

В нелинейных системах возможны режимы автоколебаний. Поэтому характер особых точек для нелинейных систем еще не определяет поведения изображающей точки на всей фазовой плоскости. В таких случаях требуется дополнительно выяснить характер движения изображающей точки вдали от точки равновесия. Для нелинейных систем имеется три типа особых траекторий точка равновесия, предельные циклы, усы седел. [c.24]

Примеры фазовых портретов, содержащие особые траектории, показаны на рис. 8. [c.24]

Кроме того, имеется несколько особых траекторий. К ним относятся неустойчивый предельный цикл, охватывающий устойчивый фокус Л, соответствующий большему расходу, и сепаратриса, разделяющая все семейство траекторий на несколько подсемейств. [c.86]

АВТОКОЛЕБАНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ [c.227]

Требуется отдельный анализ, чтобы выяснить характер движения изображающей точки вдали от точки равновесия. При таком анализе важную роль играет определение так называемых особых траекторий на фазовой плоскости. Имеются три типа особых траекторий точки равновесия, предельные циклы, усы седел. [c.227]

Изолированные замкнутые кривые—(предельные циклы). Мы видели, что замкнутым кривым на фазовой плоскости соответствуют периодические движения исходной системы. В консервативных системах вся фазовая плоскость заполнена вложенными одна в другую замкнутыми траекториями, и поэтому нет оснований выделять какую-либо из траекторий в качестве особой. Иное дело в неконсервативных системах. Здесь могут существовать только изолированные замкнутые траектории — предельные циклы, а все соседние траектории наматываются на предельные циклы или сходят с них. Естественно поэтому отнести предельные циклы к категории особых траекторий. [c.227]

При этом 6 = 0 соответствует особая траектория (точка) [c.243]

Линия II является особой траекторией системы (4.3.6) (типа скользящего режима). Поскольку движение по этой линии вызывается (рис. 17, б) моментом Мт силы трения покоя , то следует ожидать заметного сокращения времени торможения волчка с жидкостью по сравнению со временем торможения такого же твердого волчка. [c.357]

Эта система (ТСП) ограничена особой траекторией, уходящей на бесконечность (см. ил. 3). Уменьшим параметр 1 настоль- [c.226]

Помимо осцилляционного эффекта, связанного с интерференцией особых траекторий, в вероятности рассеяния имеются и другие интерференционные члены, которые сильно зависят от поля и приводят к беспорядочным флуктуациям на кривой магнитосопротивления. В противоположность тепловому шуму эти флуктуации полностью воспроизводимы для данного образца, ибо [c.201]

Первый аспект — это выяснение того, каковы вообще возможные свойства разбиения на траектории (при тех или других ограничениях на правые части). Как по своему характеру, так и по своим методам круг вопросов, который при этом возникает, непосредственно примыкает к содержанию главы И, т. е. к исследованию возможных типов отдельной траектории, а также к рассмотрению простейших основных свойств разбиения на траектории в целом, которое дается предложениями 4. Дальнейшее исследование свойств разбиения на траектории, естественно, поднимает целый ряд новых вопросов. Простейшие примеры разбиений на траектории ( 1) показывают, что не все траектории равноправны, что среди траекторий существуют некоторые исключительные траектории, которые естественно назвать особыми . Такими траекториями являются, например, состояния равновесия и замкнутые траектории. Естественно поставить вопрос о внесении точного смысла в понятие особой траектории, о выделении вообще всех возможных типов особых траекторий, об их роли в разбиении и т. д. Наконец, возникает вопрос, каковы сведения о траекториях, в частности об особых траекториях, необходимые для определения топологической структуры разбиения на траектории, хотя бы в случае некоторых сравнительно узких классов динамических систем. Последний вопрос непосредственно и органически связан с вопросом, затронутым в п. 2, [c.133]

ОСОБЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ) [c.256]

Рассмотрение частных примеров разбиений на траектории (например, разбиений в случае систем (9) и (11) 1, п. 14) приводит к заключению, что не все траектории равноправны, что во всяком разбиении есть такие траектории, которые естественно назвать особыми , в отличие от остальных неособых траекторий. В рассмотренных выше примерах такими особыми траекториями являлись состояния равновесия, предельные циклы и сепаратрисы седел. Непосредственно представляется очевидным, что при установлении топологической структуры разбиения на траектории знание числа и расположения таких особых траекторий играет фундаментальную роль. [c.256]

Естественно возникают вопросы исчерпываются ли встречавшимися в рассмотренных примерах типами вообще все возможные типы особых траекторий Как могут быть охарактеризованы особые траектории в общем случае какова их роль в разбиении на траектории [c.256]

Первые два вопроса рассматриваются в 15. В этом параграфе дается общее определение особой и неособой траектории, справедливое в случае траектории любого типа. По смыслу этого определения траектория является особой или неособой не в зависимости от того, каковы ее свойства самой по себе, а в зависимости от ее поведения по отношению к близким траекториям. Кроме того, в 15 устанавливаются все возможные типы особых траекторий. [c.256]

В 16 делается предположение, что число особых траекторий у рассматриваемой динамической системы — конечно. Устанавливается, что [c.256]

В ЭТОМ случае особые траектории разбивают всю совокупность траекторий на конечное число областей — ячеек . Каждая ячейка заполнена неособыми траекториями, поведение которых одинаково — в определенном смысле, уточняющемся в дальнейшем. Устанавливается, что ячейки могут быть либо односвязными, либо двусвязными. [c.257]

Выделение особых траекторий и установление возможного характера ячеек позволяет получить весьма полное представление о возможном характере разбиения на траектории. При этом вносится известная ясность в вопрос о том, какие из траекторий динамической системы должны играть основную роль при установлении топологической структуры разбиения на траектории. [c.257]

ОСОБЫЕ ТРАЕКТОРИИ II ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [[ГЛ. VII [c.258]

Поскольку качественная картина траекторий на фазовой плоскости определяется особыми элементами (особыми траекториями), только те значения параметра Я оказываются бифуркционными, при котор(з1х появляются особые элементы, имеющие негрубую природу. В том случае, когда при бифуркационном значении параметра Я на фазовой плоскости появляется только один особый элемент. [c.49]

Очевидно, особая траектория принадлежит классу внутренней эквивалентности, содержащему не более счетного множества траекторий. Положение равновесия, предельный цикл, гетерокли-ническая траектория, принадлежащая W(r[W2, dimH f + [c.139]

Кроме особых траекторий в системах иысшего порядка появляются особые поверхности. Качественное исследование в некоторой степени возможно лишь для систем третьего, но не более высокого порядка. [c.40]

Г. Схоутен и Д. Кортевег дали полную классификацию траекторий Ю7 центрального движения в четырех частных случаях Б. Н. Фрадлйн рассмотрел более общий закон центральной силы / (г), допускающий для функции г / (г) в интервале О <[ г оо конечное или бесконечное (без точек сгущения) множество экстремальных значений, и доказал ряд теорем, указывающих характер необходимых и достаточных условий для появления того или иного типа. Он исследовал также особые траектории соударения и бесконечного удаления в общей задаче двух тел. [c.107]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Для систем с одной степенью свободы, имеющих двухмерное фазовое пространство, задача о зависимости структуры фазового пространства от параметров полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера и Л. С. Понтрягина. При этом оказалось, что если ограничиться так называемыми грубыми системами, то качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории полностью определяется конечным числом ее особых траекторий состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис седловых состояний равновесия. В силу этого вопрос о зависимости качественной картины разбиения фазовой плоскости свелся к изучению бифуркаций перечисленных особых траекторий. [c.155]

В настоящей книге выделяется некоторый опредслеппый класс динамических систем ( динамические системы с конечным числом особых траекторий ), который, естественно, представляется наиболее иитсресным как с точки зрения приложений, так и с математической точки зрения. Для этого класса систем впоследствии (в главах VTI, X, XI) вводится понятие схе.иы разбиения на траектории или в другой терминологии — схемы динамической системы. Схема играет роль полной системы топологических свойств. Мы не останавливаемся здесь иа этом вопросе, подробно рассматривающемся в главах VII, X, XI). [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...