Интегральное представление первого рода

Выше (в 4) для решения краевых задач предлагалось использовать то или иное интегральное представление, тождественно удовлетворяющее дифференциальному уравнению при произвольной функции, входящей в представление. Эта функция находилась из интегрального уравнения, соответствующего поставленной краевой задаче. При этом ядра интегральных представлений выбирались таким образом, чтобы получаемые интегральные уравнения (первого рода) решались посредством тех или иных частных приемов. [c.88]

В представленном здесь методе центр тяжести лежит на решении системы уравнений (10), т, е. интегральных уравнений первого рода, теория которых развита еще не так хорошо, как теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода. [c.155]

Мы получили систему двух интегральных уравнений первого рода. Решение этой системы уравнений дает неизвестные функции p Q ) и 5(р ). После подстановки этих функций в интегральное выражение (24) получим составляющие перемещения упругой пластинки, представленной на рис. 6.18, а. Заметим, что ядра интегральных уравнений (25) симметричны, как вытекает из теоремы взаимности Бетти. [c.356]

Представление напряжений и перемещений контурными интегралами. Приведение осесимметричных граничных задач к интегральным уравнениям первого рода [c.106]

ИЗ принципа максимума следует, что малые изменения краевых условий приведут к малым изменениям решения. Если искомую функцию выбрать в виде потенциала двойного слоя, то для плотности получается интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которое является корректным уравнением (решение непрерывно зависит от правой части). Если же воспользоваться представлением в виде потенциала простого слоя, то получается уравнение первого рода, которое является некорректным. [c.191]

В рассматриваемой постановке при = s G S представление (3.9) выражает собой преобразование вектора напряжений на L в вектор перемещений на S. При известных векторах ы (i) иы°(5) и ядре интегрального оператора система уравнений (3,5) является системой интегральных уравнений Фредгольма первого рода относительно неизвестного вектора напряжений Р/с(х) на L. Решение этой системы представляет собой обратную задачу теории упругости, в которой искомый вектор напряжений недоступен для прямого исследования, а изучается его косвенное проявление в виде вектора перемещений на доступном для измерений участке поверхности. [c.65]

Таким образом, поставленная задача о восстановлении напряженно-деформированного состояния упругого тела по известному вектору перемещений на части поверхности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.9). Исходная информация, необходимая для однозначного нахождения неизвестного вектора реакций или нагрузки, в общем случае должна включать в себя данные о всех трех компонентах вектора перемещений на поверхности измерений. Но во многих случаях эффективному измерению поддаются лишь отдельные компоненты вектора перемещений. Например, при тензометрических исследованиях натурных конструкций или их моделей находят величины относительных удлинений (деформаций) в точках поверхности, что позволяет после предварительной обработки дискретных данных измерений (интерполирование, сглаживание и т.п.), путем интегрирования эпюр деформаций построить в локальной системе координат поверхности эпюры компонент вектора перемещений, касательных к поверхности измерений. В то же время нормальная к поверхности компонента вектора перемещений не может быть определена тензометрическими методами. В таких случаях определение неизвестного вектора напряжений может быть осуществлено по двум или даже одной компоненте вектора перемещений, при этом искомый вектор напряжений может восстанавливаться не однозначно. Это связано с возможностью появления нетривиальных решений для неполной системы однородных уравнений (3.9). В некоторых случаях характер нетривиальных решений можно предсказать. Выбор того или иного решения может быть осуществлен на основании некоторой дополнительной информации (например, информации о величине искомого вектора в какой-либо одной точке) или исходя- из общих представлений о напряженном состоянии исследуемой конструкции. [c.66]

Функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков /о(у) и /i(y), входящие в выражения (22)-(24), как и любые цилиндрические функции первого рода, имеют интегральные представления [89] [c.108]

Здесь /о—модифицированная функция Бесселя нулевого порядка первого рода [38], которую можно определить с помощью интегрального представления [c.177]

Однако выражения (34) и (35) совпадают с определением функции Бесселя первого рода целого порядка (см. приложение II). Таким образом, формула (33) дает интегральное представление функции / (а). В формуле (33), как уже говорилось, контур С должен лишь содержать внутри себя точку 2 = 0. Выберем в качестве С окружность единичного радиуса, тогда интегральное представление функции Бесселя / (а) запишется в виде [c.562]

Используя интегральные представления для функций Лежандра первого и второго рода [60], нетрудно показать, что [c.48]

Классический метод ортогональных функций, берущий свое начало с известной статьи П. И. Клубина [26], получивший свое развитие и математическое обоснование в работах Г. Я. Попова, В. М. Александрова и их учеников [44], является одним из эффективных алгоритмов решения плоских и пространственных задач математической физики со смешанными граничными условиями. Суть его состоит в следующем. Смешанная задача сводится к решению интегрального уравнения первого рода, ядро которого содержит безразмерный геометрический или физический параметр. Выделяется главная (сингулярная) часть ядра, соответствующая выбранной области изменения параметра. При этом второе слагаемое в представлении ядра является, чаще всего, достаточно гладкой функцией и играет роль малой добавки. Строится спектральное соотношение, точно обращающее интегральный оператор, соответствующий сингулярной части ядра. Собственными функциями таких операторов оказывается, как правило, какая-либо система ортогональных функций, в частности, система классических ортогональных полиномов. Регулярная часть ядра, решение и известная функция, входящая в правую часть интегрального уравнения, раскладываются в ряды по этим функциям, после чего оно сводится к бесконечной алгебраической системе. При соответствующем редуцировании (урезании) бесконечной системы получается конечная система с почти треугольной матрицей, что позволяет довести исследуемую задачу до числа. [c.125]

Преобразование, айалогичное использованному в п. 5 14, позволило представить Ф(г, z) интегралом по контуру области, занятой меридиональным сечением тела, и" йа этой основе привести задачу к интегральному уравнению первого рода. В работе [45] аналогичные представления использо-1 вались при решении граничных задач для функций, удов- летворяюш их уравнению (26.1). Отметим, что к задаче кручения однородного изотроп- ного тела вращения, а следовательно, и к указанному выше интегральному уравнению сводится широкий класс задач кручения неоднородных анизотропных тел враще- i ния (см. [77]). 3 В работе И. С. Аржаных и Б. А. Бондаренко [41 ] j общее решение системы уравнений (1.7) представлено в форме I [c.226]

Методы численного обращения преобразования Лапласа можно разбить на две группы. К первой группе относятся методы, основанные на непосредственном вычислении интеграла Меллина (второго интеграла в (6.76)). Методы первой группы основаны на определении оригинала из интегрального уравнения первого рода, представлен-нрго первой формулой (6.76). [c.155]

Далее рассматриваются работы, посвященные колебаниям прямоугольных двусвязных либо многосвязных пластинок. Внутренний контур таких пластинок имел форму прямоугольника или круга. Изложенные авторами исследования осуществлялись либо численными, либо аналитическими методами. В некоторых работах результаты, полученные различными методами, сопоставляются между собой. Одна из статей сборника, выполненная Линном и Кумбасаром, посвящена изучению собственных частот колебаний шарнирно опертых прямоугольных пластинок с узкими трещинами, параллельными внешнему контуру. Для осуществления исследования пластинка разбивалась на две части вдоль линии трещины. Используя в полученных пластинках для представления перемещений функции Грина и возвращаясь затем к исходной непрерывной пластинке, авторы показали, что уравнение собственных частот колебаний является задачей на собственные значения, описываемой интегральным уравнением Фредгольма первого рода. [c.5]

Для осуществления исследования пластинка разбивается на две части вдоль линии трещины. Используя для представления перемещений в полученных пластинках функции Грина и затем возвращаясь к исходной непрерывной пластинке, авторы показали, что уравнение собственных частот колебаний является задачей на собственные значения и эквивалентно однородному интегральному уравнейию Фредгольма первого рода. Это уравнение удовлетворяется только вдоль участка пластинки, не имеющего трещины. [c.131]

С помощью специально выведенного им интегрального представления М. А. Мартыненко [25] в рамках метода парных уравнений получил несколько более удобное, чем известное ранее [37], не требующее введения вспомогательных констант решение парных сумматорных уравнений по присоединенным функциям Лежандра первого рода и целого порядка. [c.117]

При выводе уравнешш (10.94) использовалось интегральное представление функции Бесселя первого рода то-го порядка [c.631]

Интегральное представление функций Бесселя. Представление фуякци Бесселя первого рода -го порядка в виде интеграла использовалось прн выведении соотношения (6.34а). Этот интеграл можно получить следующим образом. Производящая функция (И.28) для функции Бесселя / ( ) имеет вид [c.355]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...