Флуктуации в большом каноническом

Интересно сравнить термодинамические равенства (1.3.82) и (1.3.89), выведенные для различных равновесных ансамблей. Заметим, что они совпадают только в случае N) = N. Таким образом, возникает вопрос о термодинамической эквивалентности статистических ансамблей, поскольку некоторые величины могут флуктуировать в одном ансамбле и иметь фиксированные значения в другом. Например, количество частиц фиксировано в каноническом ансамбле и флуктуирует в большом каноническом ансамбле. С другой стороны, из термодинамики известно, что все термодинамические потенциалы эквивалентны в том смысле, что один потенциал может быть получен из другого с помощью замены переменных — так называемого преобразования Лежандра. В статистической механике этому соответствует замена одного ансамбля другим, требующая обоснования. Вопрос о термодинамической эквивалентности ансамблей Гиббса мы рассмотрим в разделе 1.3.9, где будет показано, что в большинстве случаев различные ансамбли эквивалентны, поскольку флуктуации аддитивных динамических переменных в этих ансамблях относительно малы и ими можно пренебречь в термодинамическом пределе. [c.65]

Аналогичным способом можно вычислить, например, флуктуации числа частиц в большом каноническом ансамбле, если записать формулу для среднего числа частиц [c.69]

Флуктуации плотности в большом каноническом, ансамбле 185 [c.185]

ФЛУКТУАЦИИ ПЛОТНОСТИ В БОЛЬШОМ КАНОНИЧЕСКОМ АНСАМБЛЕ [c.185]

Рассмотрим теперь вопрос об эквивалентности большого канонического ансамбля и канонического ансамбля. Их эквивалентность тривиальна, если почти все системы в большом каноническом ансамбле имеют одно и то же число частиц. Поскольку все системы имеют в точности одинаковый объем, это означает, что флуктуации плотности малы. Найдем вначале те условия, при которых флуктуации плотности действительно малы. [c.185]

Формализм большого канонического ансамбля — 213 Функциональные методы — 213 Фазовый переход в системе твердых сфер — 214 Флуктуации — 214 [c.240]

В гл. 12, 13 мы рассмотрели микроканоническое, каноническое и большое каноническое распределения Гиббса, соответствующие различным способам выделения системы (различным граничным условиям) и наборам переменных, описывающих состояние системы Е, V, N Т, V, N и Т,. у, (j,y. Значения этих параметров для каждого данного распределения фиксированы и входят в него в качестве параметров. Поэтому их флуктуации в рамках этого распределения равны нулю. Сопряженные этим параметрам динамические величины испытывают флуктуации. [c.293]

Рассмотрим теперь флуктуации в неизолированных системах. Поступая так же, как при выводе канонического и большого канонического распределений из микроканонического, выделим в объединенной изолированной системе макроскопическую область (подсистему), содержащую локальное флуктуационное отклоне- [c.300]

К оценке роли взаимодействия между частицами в эволюции состояния можно подойти и с несколько иной точки зрения. Важнейшей характеристикой равновесного состояния замкнутой системы является равновероятность любых равновеликих площадей на гиперповерхности постоянной энергии. Именно этим свойством мы руководствовались при выводе микроскопического распределения Гиббса в 61. Для системы, погруженной в термостат, аналогичное утверждение заключается в равновероятности любых равновеликих фазовых объемов, заключенных в тонком энергетическом слое, толщина которого определяется флуктуацией энергии. Справедливость всех равновесных распределений статистической физики (канонического, большого канонического и т. д.) основана на этом фундаментальном свойстве. Между тем в произвольном неравновесном состоянии такая равновероятность равновеликих фазовых объемов отсутствует. Например, в рассмотрен- [c.547]

Флуктуации Атг числа электронов в меньшем проводнике можно определить либо путем применения результата для флуктуаций заряда конденсатора (задача 21.3), либо путем использования выражения для флуктуаций числа п, выведенного для большого канонического ансамбля (задача 20.5). Показать, что эти два подхода приводят к одинаковому результату. [c.524]

Поскольку мы вывели большой канонический ансамбль из канонического ансамбля, сосредоточив свое внимание на некотором объеме внутри всей системы, большой канонический ансамбль не может содержать информации больше, чем канонический ансамбль. Большой канонический ансамбль, однако, более удобен при рассмотрении флуктуаций плотности. Эти флуктуации ведут к физически наблюдаемым явлениям, например флуктуационному рассеянию света. Формула (8.49) показывает, что вблизи критической точки газа, где дР/дю — О, флуктуации плотности становятся аномально большими. Это проявляется на опыте в явлении критической опалесценции. [c.187]

Физически значения V, для которых дP дv = Q, соответствуют переходной области при фазором переходе первого рода. Согласно (8.49), мы ожидаем, что в этой области флуктуации плотности в данном объеме системы будут большими. Физически это также очевидно, так как в переходной области система состоит из двух или более фаз, имеющих различную плотность. Следовательно, число частиц в любом данном объеме может изменяться в широких пределах и зависит от относительного содержания в нем различных фаз. В критической точке системы газ — жидкость флуктуации плотности также должны быть большими, так как в этой точке по всей системе молекулы спонтанно образуют большие связанные группы, которые затем распадаются. Ясно, что в этих условиях большой канонический ансамбль должен по-прежнему приводить к термодинамическим соотношениям, согласующимся с теми, которые дает канонический ансамбль. В противном случае справедливость рассмотрения системы на основе этих ансамблей ставится под сомнение, ибо эксперимент говорит нам, что термодинамическая информация будет той же самой независимо от того, рассматриваем ли мы всю систему или только часть ее. [c.187]

В качестве примера рассмотрим флуктуации числа молекул сорта г в системе, представляемой большим каноническим ансам- [c.49]

Чтобы сделать более наглядной эту идею, рассмотрим газообразную систему, описываемую большим каноническим ансамблем, т. е. погруженную в большой резервуар, имеющий ту же природу, что и сама система. Предполагается, что температура имеет фиксированное значение, лежащее ниже критического. Начиная с нулевого давления, будем увеличивать фугитивность системы. Пока система является гомогенной, флуктуации плотности описываются уравнением (1.64). Физическая причина этого заключается в том, что корреляции движений отдельных частиц, входящих в систему и покидающих ее, являются достаточно слабыми, что соответствует образованию только малых скоплений (гроздьев) частиц. [c.71]

Добавления озаглавлены так О нечувствительности формулы Больцмана это добавление естественно относится к 6, 10 12, имеющим то же название, но имеет значение для лекций первой, второй и начала третьей в целом О каноническом собрании Гиббса всецело покоится на предыдущем и относится к началу лекции третьей О системах с переменным числом частиц — дополнение по вопросу, не затронутому в книге о системах, в которых происходят химические превращения дается обоснование метода больших собраний Гиббс а О флуктуациях числа частиц относится к 26, 27 и примечанию III К примечанию V содержит просто разъяснение О броуновском движении относится к 32-35. [c.15]

Термодинамические соотношения, которыми мы пользовались в разделах 2-5, относятся только к усредненным величинам. Это усреднение в реальных физических условиях может происходить как бы само собой, за счет медленности протекающих процессов. Соответственно, и усреднение формально должно производиться только по времени. В статистической физике показывается, что в случае большого числа частиц соответствующее усреднение может производиться не только по времени, но и по фазовому пространству, что в конце концов приводит к каноническому распределению. Однако дискретность, т.е. атомарная структура вещества, полностью не исчезает и проявляется во флуктуациях — малых отклонениях от статистического равновесия. В данном разделе мы познакомимся с простейшими примерами флуктуаций и обсудим их связь с необратимостью. [c.93]

Ввести функцию распределения флуктуаций энергии и числа частиц w E N) в большом каноническом ансамбле. Найти эту функцию в гауссовом приближении и с ее помощью вычислить средние значения ((А ) ), ((АД/ ) ), AEAN). Сравнить результаты вычисления с теми, которые получаются дифференцированием логарифма статистической суммы для большого канонического распределения по Т и /х. [c.78]

Здесь необходимо подчеркнуть, что, хотя флуктуирующие параметры в открытой системе могут в принципе принимать любые значения, фактически отклонения от средних величин для макроскопических систем не велики (относительные флуктуации параметров малы). В термодинамическом пределе (1 - -оо, Л/ -voo, l//A/= onst) выражения для термодинамических величин, получаемые на основе применения микроканонического (7.1), канонического (7.5) и большого канонического (7.9) распределений, отличающихся условиями взаимодействия системы с окружающей средой, совпадают. Более детальное обоснование положения о малости относительных флуктуаций в открытых системах будет дано в 7.5. [c.157]

Исследуем теперь свойства большого канонического ансамбля. Убедимся в его эквивалентности каноническому ансамблю, показав, что флуктуации числа частиц около среднего значения малы. Расчеты проводятся совершенно аналогично предыдзш] ему случаю. Исходя, как и прежде, из условия нормировки [c.156]

Рассмотрим теперь родственную величину — изотермическую сжимаемость. Как известно из разд. 4.6, эта величзша связана с флуктуациями числа частиц теперь выразим ее через каноническую парную корреляционную функцию. Выделим в нашей полной системе часть, ограниченную объемом Q. Так как зта парциальная система предполагается незамкнутой, ситуация очень похожа на рассмотренную в разд. 4.5, когда мы вводили большой канонический ансамбль. Заметим теперь, что среднее число частиц в объеме Q легко получить из выражения (3.1.3) для плотности. [если использовать также (3.1.11), (3.1.12)] [c.260]

Когда мы рассчитываем, например, величины (АЕУ и ANy с помощью канонического распределеиия, то мы определяем флуктуацию общей величины энергии Е и общего числа N в статистической системе, помещенной в термостат (температура, входящая в каноническое и большое каноническое распределение w , не флуктуирует). Эти флуктуации для всей системы в целом, конечно, малы (мы получим, см. задачи 8,10, что АЕу N ANy ЛГ и что 6е ЛГ / 6if ЛГ / ). По, помимо флуктуаций общего уровня энергии изотермической системы и общего числа частиц в ней, в отдельных областях системы могут происходить гораздо ббльшие по относительной величине отклонения локальных значений плотности энергии и числа частиц от среднего уровня (эти отклонения не обязательно должны [c.21]

Расчет дисперсий по указанной в предыдущем парафафе схеме с помощью канонического или большого канонического распределений представляет в основном математическую задачу. В связи с этим, отобрав точно решаемые примеры таких расчетов, мы отнесли весь их цикл в раздел задач (не скрывая сложности некоторых из них). В этом парафафе мы подробно остановимся на использовании метода равновесных корреляционных функций Н. Н. Боголюбова и на простейшем примере — оценке флуктуаций плотности числа частиц с помощью парной корреляционной функции. [c.22]

Расчет дисперсии какой-либо величины при выборе дополнительных условий типа /3 или 7, соответствующих каноническому или большому каноническому распределениям Гиббса, выполненный в рамках полуфеноменологической теории или с помощью канонических распределений для термодинамических флуктуаций, должен приводить к одним и тем же результатам (отличие может быть только в членах, не составляющих главной асимптотики по N), так как и канонические распределения Гиббса, и рассмотренная теория флуктуаций основываются на одних и тех же исходных положениях. Заметим, кстати, что по отношению к каноническим распределениям (в которых в = onst и = 0) результат для дисперсии (Л У является новым, т. к. получить его при выборе вариантов /3 или 7 невозможно в силу исходной заданности величины в. [c.41]

Простое рассуждение, принадлежащее еще Гиббсу [1], показывает, что в предельном случае системы бесконечно больших размеров аномальные флуктуации могут возникать только при сингулярных значениях параметров. Рассмотрим большой канонический ансамбль при этом флуктуации молекулярной плотности р даются уравнением (1.56). Пусть теперь (при 0 = onst) для значений jx лежащих между а" и [а [c.71]

Из состояний равновесия, определяемых условиями (1) или (2), практически реализуются лишь те, к-рые явл. устойчивыми (см. Устойчивость равновесия). Равновесия жидкостей и газов рассматриваются в гидростатике и аэростатике. с. М Тарг РАВНОВЕСИЕ статистическое состояние замкнутой статистич. системы, в к-ром ср. значения всех физ. величин, характеризующих состояние, не зависят от времени. Р. с.— одно из осн. понятий статистической физики, играющее такую же роль, как равновесие термодинамическое в терлюдинамике. Р. с. не явл, равновесным в механич. смысле, т. к. в системе при этом постоянно возникают малые флуктуации физ. величин около ср. значений. Теория Р. с. даётся в статистич. физике, к-рая описывает его при помощи разл. Гиббса распределений (микроканонич., канонич. или большого канонического) в зависимости от типа контакта системы с окружающей средой, запрещающего или допускающего обмен с ней энергией или ч-цами. В теории неравновесных процессов важную роль играет понятие неполного Р. с., при к-ром параметры, характеризующие состояние системы, очень слабо зависят от времени. Широко применяется понятие локального Р. с., при к-ром темп-ра и химический потенциал в малом элементе объёма зависят от времени и пространств, координат её ч-ц. См. Кинетика физическая. д. н. Зубарев. РАВНОВЕСИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ, состояние термодинамич. системы, в к-рое она самопроизвольно приходит через достаточно большой промежуток времени в условиях изоляции от окружающей среды. При Р. т. в системе прекращаются все необратимые процессы, связанные с диссипацией энергии теплопровод ность, диффузия, хим. реакции и др. В состоянии Р. т. параметры системы не меняются со временем (строго говоря, те из параметров, к-рые не фиксируют заданные условия существования системы, могут испытывать флуктуации — малые колебания около своих ср. значений). Изоляция системы не исключает определённого типа контактов со средой (напр., теплового контакта с термостатом, обмена с ним в-вом). Изоляция осуществляется обычно при помощи неподвижных стенок, непроницаемых для в-ва (возможны также случаи подвижных стенок и полупроницаемых перегородок). Если стенки не проводят теплоты (как, напр., в сосуде Дьюара), то изоляция наз. адиабатической. При теплопроводящих (диатермических) стенках между системой и внеш [c.601]

Как видно из формулы (12.52), относительная флуктуация Э1 ргии системы в термостате не будет малой тогда, когда дП/д оо (бесконечно большая теплоемкость), и аналогично из формулы (12.55) видно, что относительная флуктуация не будет малой при (dP/dV)e, jv O (нулевая величина коэффициента устойчивости). Это имеет место-, как известно из термодинамики, в критическом состоянии и в двухфазных системах. В этих случаях канонические ансамбли не эквивалентны. [c.208]

Это уравнение имеет форму термодинамического уравнения для обобщенной функции Массьё — Планка. Если флуктуации около значения XJ достаточно малы, то не возникает вопроса об идентификации Х1 н XJ с соответствующими термодинамическими переменными. Это нетрудно показать для систем с большим числом степеней свободы. Таким образом, нам надо показать, что и обладают свойствами соответствующих термодинамических интенсивных параметров. Подробности этого доказательства можно найти в общих курсах статистической механики, поэтому здесь мы их опустим. В результате мы приходим к выводу, что является статистическим аналогом функции Массьё — Планка Ф (Р , Х . Тем же путем мы можем, применяя микроканониче-ский ансамбль, обнаружить соответствие между А1п2 и энтропией, а применяя канонический ансамбль, — соответствие между и свободной энергией Гельмгольца. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...