Флуктуации в большом каноническом ансамбле

Интересно сравнить термодинамические равенства (1.3.82) и (1.3.89), выведенные для различных равновесных ансамблей. Заметим, что они совпадают только в случае N) = N. Таким образом, возникает вопрос о термодинамической эквивалентности статистических ансамблей, поскольку некоторые величины могут флуктуировать в одном ансамбле и иметь фиксированные значения в другом. Например, количество частиц фиксировано в каноническом ансамбле и флуктуирует в большом каноническом ансамбле. С другой стороны, из термодинамики известно, что все термодинамические потенциалы эквивалентны в том смысле, что один потенциал может быть получен из другого с помощью замены переменных — так называемого преобразования Лежандра. В статистической механике этому соответствует замена одного ансамбля другим, требующая обоснования. Вопрос о термодинамической эквивалентности ансамблей Гиббса мы рассмотрим в разделе 1.3.9, где будет показано, что в большинстве случаев различные ансамбли эквивалентны, поскольку флуктуации аддитивных динамических переменных в этих ансамблях относительно малы и ими можно пренебречь в термодинамическом пределе. [c.65]

Аналогичным способом можно вычислить, например, флуктуации числа частиц в большом каноническом ансамбле, если записать формулу для среднего числа частиц [c.69]

Флуктуации плотности в большом каноническом, ансамбле 185 [c.185]

ФЛУКТУАЦИИ ПЛОТНОСТИ В БОЛЬШОМ КАНОНИЧЕСКОМ АНСАМБЛЕ [c.185]

Рассмотрим теперь вопрос об эквивалентности большого канонического ансамбля и канонического ансамбля. Их эквивалентность тривиальна, если почти все системы в большом каноническом ансамбле имеют одно и то же число частиц. Поскольку все системы имеют в точности одинаковый объем, это означает, что флуктуации плотности малы. Найдем вначале те условия, при которых флуктуации плотности действительно малы. [c.185]

Формализм большого канонического ансамбля — 213 Функциональные методы — 213 Фазовый переход в системе твердых сфер — 214 Флуктуации — 214 [c.240]

Флуктуации Атг числа электронов в меньшем проводнике можно определить либо путем применения результата для флуктуаций заряда конденсатора (задача 21.3), либо путем использования выражения для флуктуаций числа п, выведенного для большого канонического ансамбля (задача 20.5). Показать, что эти два подхода приводят к одинаковому результату. [c.524]

Поскольку мы вывели большой канонический ансамбль из канонического ансамбля, сосредоточив свое внимание на некотором объеме внутри всей системы, большой канонический ансамбль не может содержать информации больше, чем канонический ансамбль. Большой канонический ансамбль, однако, более удобен при рассмотрении флуктуаций плотности. Эти флуктуации ведут к физически наблюдаемым явлениям, например флуктуационному рассеянию света. Формула (8.49) показывает, что вблизи критической точки газа, где дР/дю — О, флуктуации плотности становятся аномально большими. Это проявляется на опыте в явлении критической опалесценции. [c.187]

Физически значения V, для которых дP дv = Q, соответствуют переходной области при фазором переходе первого рода. Согласно (8.49), мы ожидаем, что в этой области флуктуации плотности в данном объеме системы будут большими. Физически это также очевидно, так как в переходной области система состоит из двух или более фаз, имеющих различную плотность. Следовательно, число частиц в любом данном объеме может изменяться в широких пределах и зависит от относительного содержания в нем различных фаз. В критической точке системы газ — жидкость флуктуации плотности также должны быть большими, так как в этой точке по всей системе молекулы спонтанно образуют большие связанные группы, которые затем распадаются. Ясно, что в этих условиях большой канонический ансамбль должен по-прежнему приводить к термодинамическим соотношениям, согласующимся с теми, которые дает канонический ансамбль. В противном случае справедливость рассмотрения системы на основе этих ансамблей ставится под сомнение, ибо эксперимент говорит нам, что термодинамическая информация будет той же самой независимо от того, рассматриваем ли мы всю систему или только часть ее. [c.187]

Чтобы сделать более наглядной эту идею, рассмотрим газообразную систему, описываемую большим каноническим ансамблем, т. е. погруженную в большой резервуар, имеющий ту же природу, что и сама система. Предполагается, что температура имеет фиксированное значение, лежащее ниже критического. Начиная с нулевого давления, будем увеличивать фугитивность системы. Пока система является гомогенной, флуктуации плотности описываются уравнением (1.64). Физическая причина этого заключается в том, что корреляции движений отдельных частиц, входящих в систему и покидающих ее, являются достаточно слабыми, что соответствует образованию только малых скоплений (гроздьев) частиц. [c.71]

Ввести функцию распределения флуктуаций энергии и числа частиц w E N) в большом каноническом ансамбле. Найти эту функцию в гауссовом приближении и с ее помощью вычислить средние значения ((А ) ), ((АД/ ) ), AEAN). Сравнить результаты вычисления с теми, которые получаются дифференцированием логарифма статистической суммы для большого канонического распределения по Т и /х. [c.78]

Исследуем теперь свойства большого канонического ансамбля. Убедимся в его эквивалентности каноническому ансамблю, показав, что флуктуации числа частиц около среднего значения малы. Расчеты проводятся совершенно аналогично предыдзш] ему случаю. Исходя, как и прежде, из условия нормировки [c.156]

Рассмотрим теперь родственную величину — изотермическую сжимаемость. Как известно из разд. 4.6, эта величзша связана с флуктуациями числа частиц теперь выразим ее через каноническую парную корреляционную функцию. Выделим в нашей полной системе часть, ограниченную объемом Q. Так как зта парциальная система предполагается незамкнутой, ситуация очень похожа на рассмотренную в разд. 4.5, когда мы вводили большой канонический ансамбль. Заметим теперь, что среднее число частиц в объеме Q легко получить из выражения (3.1.3) для плотности. [если использовать также (3.1.11), (3.1.12)] [c.260]

Простое рассуждение, принадлежащее еще Гиббсу [1], показывает, что в предельном случае системы бесконечно больших размеров аномальные флуктуации могут возникать только при сингулярных значениях параметров. Рассмотрим большой канонический ансамбль при этом флуктуации молекулярной плотности р даются уравнением (1.56). Пусть теперь (при 0 = onst) для значений jx лежащих между а" и [а [c.71]

Как видно из формулы (12.52), относительная флуктуация Э1 ргии системы в термостате не будет малой тогда, когда дП/д оо (бесконечно большая теплоемкость), и аналогично из формулы (12.55) видно, что относительная флуктуация не будет малой при (dP/dV)e, jv O (нулевая величина коэффициента устойчивости). Это имеет место-, как известно из термодинамики, в критическом состоянии и в двухфазных системах. В этих случаях канонические ансамбли не эквивалентны. [c.208]

Это уравнение имеет форму термодинамического уравнения для обобщенной функции Массьё — Планка. Если флуктуации около значения XJ достаточно малы, то не возникает вопроса об идентификации Х1 н XJ с соответствующими термодинамическими переменными. Это нетрудно показать для систем с большим числом степеней свободы. Таким образом, нам надо показать, что и обладают свойствами соответствующих термодинамических интенсивных параметров. Подробности этого доказательства можно найти в общих курсах статистической механики, поэтому здесь мы их опустим. В результате мы приходим к выводу, что является статистическим аналогом функции Массьё — Планка Ф (Р , Х . Тем же путем мы можем, применяя микроканониче-ский ансамбль, обнаружить соответствие между А1п2 и энтропией, а применяя канонический ансамбль, — соответствие между и свободной энергией Гельмгольца. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...