Поле векторное фазовой скорости

ЭВОЛЮЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС математически описывается векторным полем в фазовом пространстве. Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения состояния. [c.88]

Движение точки по кривой в фазовом пространстве (по траектории фазовой точки) описывает движение всей системы. Скорость движения фазовой точки по этой траектории определяется самой точкой. Следовательно, в каждой точке фазового пространства задан вектор, который называется вектором скорости фазовой точки. Все векторы скорости фазовой точки образуют векторное поле скорости фазовых точек в фазовом пространстве. Это векторное поле определяет зависимость скорости движения фазовой точки от ее положения, т. е. определяет дифференциальное уравнение процесса. [c.83]

Если же сгустки расположены не на вершине волны ВЧ-генератора, то поля складываются векторно и суммарное поле изменит свою фазу, что эквивалентно изменению фазовой скорости волны в структуре. [c.90]

Система (2) определяет векторное поле фазовой скорости в четырехмерном пространстве, и тем самым ) фазовый поток нашей системы (однопараметрическую группу диффеоморфизмов четырехмерного фазового пространства). Фазовые кривые системы (2) являются подмножествами четырехмерного фазового пространства. Все фазовое пространство разбивается на фазовые кривые. Проекции фазовых кривых из четырехмерного пространства иа плоскость х , х дают траектории нашей движущейся точки на плоскости Ху , х . Эти траектории называют также орбитами. Орбиты могут иметь точки пересечения, тогда как фазовые кривые друг друга не пересекают. Уравнение закона сохранения энергии [c.27]

Доказательство. Симплектическая структура фазового пространства определяет оператор I, переводящий 1-формы в векторные поля. Этот оператор I переводит 1-форму йРх в поле I д,Рх фазовой скорости системы с функцией Гамильтона Рх. Покажем, что п полей I йРх касаются Mf, коммутируют и независимы. [c.240]

Обратно, в некоторых случаях (а именно, когда решения уравнения (1) продолжаются на всю ось времени) можно построить по данному векторному полю V фазовый поток, для которого V является полем фазовой скорости. Однако это не всегда так (пример — уравнение х=х ). В этом случае, как легко сосчитать, единственно возможный поток дается формулой g x=xf l—tx). Хотя g =g ° g , эта формула не задает фазового потока на аффинной прямой, а лишь на проективной, получаемой из оси х добавлением точки оо. [c.15]

Например, если дго —положение равновесия потека (3), то линейный поток Г (Хо) в Тх,М определяется некоторым линей ным векторным полем в (своим полем фазовой скорости), [c.174]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

При рассмотрении классической гидродинамики мы убедились, что для вывода термодинамических равенств удобно выполнить каноническое преобразование фазовых переменных частиц, исключающее макроскопическое движение жидкости. К сожалению, в случае сверхтекучей жидкости переход в движущуюся систему координат позволяет исключить лишь одно из векторных полей или которыми теперь описывается макроскопическое движение. Для определенности получим термодинамические равенства в системе координат, движущейся со скоростью v (r). Переход в эту систему координат можно осуществить с помощью унитарного преобразования [c.193]

Из всего сказанного выше относительно свойств фазовой плоскости и фазовых кривых, нанесенных на ней, для линейных систем следует, что фазовая плоскость, по сути дела, является своеобразным векторным полем, свойство которого характеризуют не только направление касательной к данной интегральной кривой в любой точке этой плоскости, но и направления движения по фазовой траектории нашей изображающей точки, определяющей ход процесса, и, следовательно, и свойства звена. Фазовая плоскость, следовательно, не есть чисто геометрическое понятие, а является областью, настолько пропитанной векторами, что всюду, за исключением особых точек, эти векторы заставляют двигаться в определенном направлении и с определенной скоростью нашу изображающую точку наподобие того, как струи воды в быстринах увлекают за собой щепку. Наблюдая такие области в этих быстринах, где имеются вихревые движения, мы можем заметить, что эти щепки иногда описывают замкнутую, иногда разомкнутую траектории и иногда, будучи подхвачен струей, уносятся из данной области дальше. [c.225]

В самом деле, пусть за время t течение жидкости осуществило диффеоморфизм gt, а скорость в этот момент времени задается векторным полем v. Тогда диффеоморфизм, осуществляемый течением за время i + т (где т мало) будет с точностью до малых по сравнению с т величин (здесь — это однопараметрическая группа с вектором скорости v, т. е. фазовый поток заданного полем v дифференциального уравнения). [c.296]

Ч Производной функции вдоль векторного поля называется скорость изменения функции вдоль фазовых кривых поля = f°g xU-o [c.29]

Гладкие потоки. Пусть на многообразии Лi задано гладкое векторное поле V (т. е. каждой точке х М сопоставлен вектор у(.х)еГ И, в понятном смысле гладко зависящий от х). Рассмотрим дифференциальное уравнение (3). Для гладкой функции х(0 скалярного аргумента 1 со значениями в М определена производная х( )еГ ,)Л1. Такая функция является решением (3), если x(t) =v(x(t)) при всех t из интервала определения x t). Как и в случае Л1=К , с этим связывается наглядное представление о фазовой точке, движущейся в М (как бы среди неподвижных фазовых точек). Движение происходит таким образом, что в каждый момент времени t вектор скорости х () равен вектору у(х( )), который в нашем поле сопоставлен той точке фазового пространства, где в этот момент находится дви- [c.167]

Каустики потенциальных систем невзаимодействующих частиц. Рассмотрим потенциальное векторное поле ь д)=д8/дд в евклидовом пространстве. Невзаимодействующие частицы с таким полем скоростей через время t перейдут из в q- -tv q). Возникшее таким образом отображение пространства в себя лагранжево (этот вывод сохраняется и в более общем случае движения в потенциальном поле, так как гамильтонов фазовый поток переводит исходное лагранжево многообразие p=дS/дq в лагранжево). [c.104]

Из теоремы 15 можно вывести ряд полезных следствий. Рассмотрим, например, распространение света в неоднородной изотропной среде. Световые лучи описываются каноническими уравнениями с гамильтонианом Н = у /п х), где и — показатель преломления. Кроме того, на действительных траекториях Н = 1. Рассмотрим систему лучей в = х она порождает векторное поле скоростей световых частиц у х). Этой системе лучей отвечает трехмерное инвариантное многообразие в шестимерном фазовом пространстве Е хЖ = х,у . Соответствующее поле импульсов и х) находится из уравнений [c.89]

Г. с. определяет скорость и направление переноса энергии волнами. В анизотропных средах (напр., кристаллах, плазме в ноет. маги, поле), где показатели преломления волн зависят от частоты и наиравлеиия распространения, Г. с. определяется как векторная производная v p=d(u/dk и обычно не совпадает по направлению с фазовой скоростью. В средах с сильным поглощением вместо Г. с. вводят величину, характеризующую скорость переноса энергии <>S>/, где < S> — ср. плотность потока энергии, а — ср. плотность энергии в волнах. В прозрачных средах величины Гэи и Vj-p совпадают. [c.545]

Рассмотрим плоскость с координатами х, у. Эта плоскость называется фазовой плоскостью уравнения (1). Точки фазовой плоскости называются фазовыми тмками. Правая часть системы (2) определяет на фазовой плоскости векторное поле. Это поле называется векторным полем фазовой скорости. [c.22]

Однако квадратичная часть функции Гамильтона в устойчивом положении равновесия может и не быть знакоопределенной. Простейший пример доставляет функция Я = 9 — р. — Исследование устойчивости систем с такой квадратичной частью должно учитывать члены ряда Тейлора следующих степеней, прежде всего кубические члены функции Гамильтона (т. е. квадратичные члены векторов поля фазовой скорости). Исследование это удобно производить, приводя функцию Гамильтона (и следовательно, гамильтоново векторное поле) к возможно более простому виду подходящей канонической заменой переменных. Иными словами, для изучения решений полезно подобрать систему канонических координат вблизи положения равновесия так, чтобы по возможности упростить вид функции Гамильтона и уравнений движения. [c.351]

I траектории назывались фазовыми кривыми, что неупотребительно в ТДС, а положения равновесия — особыми точками, что-уместно в гладкой ситуации, если иметь в виду, что они являются нулями векторного поля фазовой скорости и, значит, оно не задает в них никакого направления.) Родственное понятие в гладком случае — интегральная кривая поля направлений (I ч татья,-глт-Ь ------------------------------------------------ [c.162]

Положение равновесия называется изолированным, если оно является изолированным нулем векторного поля фазовой скорости, т. е. если в некоторой его окрестности нет других положений равновесия. В других случаях периодическая траектория потока или каскада- с периодом т, необязательно минимальным (а также соответствующая периодическая точка, каскада), называется изолированной, еслн в некоторой ее окрестности нет других периодических траекторий с периодом, близким к т (для каскада — равным т). Может случиться, что периодическая траектория является невырожденной или изолированной как однообходиая и не является таковой как А-обходная (гиперболичнрсть же не зависит от числа обходов). Невырожденная периодическая траектория (включая положе-)ние равновесия потока) является изолированной- - (в понятном . еь ыслё) сохраняется при малом возмущении, а еслн она гиперболична, то и после возмущения остается таковой. Малость-здесь понимается в смысле С. [c.175]

Для положения равновесия х индекс Кронекера (L. Кгопе-скег)—Пуанкаре равен вращению поля фазовой скорости на малой сфере, охватывающей х (с помощью локальных координат поле и сфера переносятся в R ). В топологии в этом случае говорят об индексе нуля векторного поля. Индекс ind (а, f) изо-,. лированной неподвижной точки а непрерывного отображения -f -.(необязательно гладкого) равен, в терминах локальных координат, индексу соответствующего нуля поля смещения f(x)—x. (Топологи часто берут индекс для поля х—f(x) тогда пропадает множитель (—1)" в формуле Лефшеца см. в) ниже). Индекс периодической (с периодом I) точки а отображения f равен ind(a,f ). Оказывается, что все точки f a имеют такой же Индекс, так что его можно приписать соответствующей периодической траектории. (Это очевидно, если f в точках этой траектории является локальным диффеоморфизмом. В общем случае можно использовать аппроксимационные соображения, сочетая [c.182]

Картина. Шрёдингера —подход, основаппый на гамильтоновом векторном поле. Гамильтониан И (ф-ция на С, ы.) задаёт векторное поле гд ио правилу отвечающее гд поле ковекторов должно совпадать с дифференциалом ёН ф-ции Гамильтона. Движение фазовой точки со скоростью од описывается системой дифференциальных ур-ний, к-рая в координатах Дарбу принимает вид ур-вий Гамильтона [c.521]

Векторное поле скоростей v и вихревое поле и>, определенные на всей группе 50(3), обладают рядом замечательных свойств. Во-первых, фазовый поток динамической системы х = v x), х G е 50(3), сохраняет двустороннюю инвариантную меру на группе 50(3). Эта мера инвариантна относительно всех левых и правых сдвигов группы. В локальных координатах на 50(3) — углах Эйлера —она имеет следующий вид (см. [135, гл. 1]) <1ц = = sind de dtp ф. Если положить rot и = aw, то в углах Эйлера функция а равна в точности sin0 (ср. с п. 4, следствие из теоремы 2). [c.72]

Линии тока , определяемые векторным полем к, являются ортогона.льными траекториями семейства фазовых поверхностей 6 = onst. В изотропной среде грзгпповая скорость имеет то же направ.ление, что и к, и линии тока являются лучами. Можно представить себе, что фазовые поверхности движутся вдоль этих лучей и фокусировка связана с тем, что лучи сходятся. При анализе удобно преобразовать уравнения (16.32) — (16.34) и ввести координаты (g, т]), связанные с этими лучами и фазовыми поверхностями. Ес.ли ввести [c.521]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...