Многообразие риманово

А н ос о в Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Тр. матем. инст. им Стек-лова 90 (1967). [c.381]

Пример 8.12 4. Свободная материальная точка, вынужденная перемещаться только по связи, представляющей собой гладкое риманово многообразие, движется по геодезической линии. Действительно, для такой точки будем иметь [c.620]

Кинетическая энергия и риманова геометрия Использование произвольных обобщенных координат для описания движения механической системы является одной. из существенных черт аналитической механики. Структура уравнений аналитической механики такова, что они могут быть записаны в виде, не зависящем от применяемых координат. Это свойство общих уравнений движения связывает аналитическую механику с одним из крупнейших достижений математики девятнадцатого века — теорией инвариантов и ковариантов. Эта теория окончательно созрела в наши дни, когда теория относительности Эйнштейна показала, как законы природы связаны с проблемами инвариантности. В основе теории относительности лежит требование, чтобы формулировки законов природы не зависели от какой-либо специальной системы координат. Математическое решение этой проблемы показало, что между законами, управляющими материей, и римановым основанием геометрии, существует глубокая внутренняя связь. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, истинная геометрия природы не евклидова, а более общая— риманова эта геометрия связывает пространство и время в единое четырехмерное многообразие. [c.39]

А. Пусть имеется точка а на римановом многообразии ЗЯ с метрикой dl. Тогда для всех точек Ь, достаточно близких к а, существует геодезическая, идущая из а в 6, причем длина ее будет минимальной в классе всех кусочно-гладких кривых, соединяющих эти точки. [c.172]

Б. На компактном связном римановом многообразии любые две точки можно соединить геодезической. [c.172]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

Особенно полезно рассмотрение равновесных состояний в случае гиперболич. ДС. В частности, инвариантная мера на гиперболич. аттракторе, к к-рой сходятся ср. арифметические сдвигов риманова объёма, служит равновесным состоянием для ф-ции ф, равной в каждой точке X логарифму локального коэф. растяжения / j ) риманова объёма на неустойчивом многообразии, проходящем через [c.635]

Телесное многообразие также будет римановым, а величины уга являются компонентами симметричного кова- [c.390]

Точнее, пространство конфигураций q = q . .., q ) нашей системы есть риманово многообразие с длиной дуги [c.215]

Риманово многообразие V, определяемое формулой (19) по пространству конфигураций твердого тела 2 в бесконечной идеальной жидкости, замечательно тем, что оно обладает простой транзитивной группой изометрий (движений твердого тела), оставляющих инвариантным ds. По современной математической терминологии оно является однородным пространством. Это объясняется следующим очевидным теоретико-групповым принципом относительности относительно рассматриваемого тела все положения эквивалентны. Формально это можно выразить следующим образом. [c.219]

Кроме того, так как полная кинетическая энергия при стационарном движении постоянна, то, очевидно, s = v постоянна в соответствующем римановом многообразии V. Отсюда, согласно 108, при стационарном движении вектор силы Q равен произведению вектора геодезической кривизны однопараметрической подгруппы а (h) на постоянную Следовательно, сила, действующая на твердое тело при его стационарном движении в идеальной жидкости, пропорциональна вектору геодезической кривизны соответствующей однопараметрической подгруппы евклидовой группы V при надлежащей лево-инвариантной метрике в группе V. А эта лево-инвариантная метрика определяется во всех точках уже рассмотренными в 100—102 инерциаль-ными коэффициентами Tij (0). [c.221]

Пусть теперь О — произвольное г-параметрическое риманово групповое многообразие, и пусть С — любая однопараметрическая подгруппа группы О, порожденная бесконечно малым преобразованием Е, [c.223]

Следовательно, для существования стационарного движения частицы в некотором римановом групповом многообразии О вдоль Еь требуется внешняя сила (44 ). Другими словами, лй (суммирование по /, но не по А) есть геодезическая кривизна однопараметрической подгруппы ехр (Ен) на группе О. Если мы выберем нормальный ортогональный базис Е, . .., Еп в метрике < 5 при О, то эта кривизна будет равняться просто с/, [c.226]

Можно отметить ряд новых направлений в современной математике, обладающих потенциальными возможностями применения к исследованию проблем механики. Данные направления в известной мере примыкают к тензорным дифференциально-геометрическим методам и теории римановых пространств, но в то же время связаны и с развивающимися за последние десятилетия новыми областями. Из них можно назвать теорию дифференцируемых многообразий, теорию расслоенных пространств, теорию внешних форм Картана и связанные с ней симплектические методы (например в гамильтоновой механике). [c.15]

Натуральная механическая система — тройка (М, йз, У), где М — гладкое п-мерное многообразие (конфигурационное пространство), ds — риманова метрика на М (которая задает кинетическую энергию системы = ds/dt) /2), У — гладкая функция на М (потенциал поля сил). Движения натуральной системы — это отображения т А М (Д — интервал в К), удовлетворяющие в локальных координатах на М уравнениям Лагранжа с лагранжианом = 5 + У. Так как форма [c.130]

Натуральная механическая система — это тройка М,Т,У), где N—гладкое многообразие (пространство положений), Т — риманова метрика на N (кинетическая энергия), V — гладкая функция на N (потенциал силового поля). Движения такой системы — гладкие отображения К —> Л , являющиеся экстремалями функционала действия Ь[д 1),д 1)) <И, где д 1) — касательный вектор к в точке д[1), Ь — Т — V — функция Лагранжа. Изменение со временем локальных координат д на. N описывается уравнением [c.23]

Гамильтонова система (8.1) представима в виде градиентной динамической системы. Пусть (, ) — риманова метрика на многообразии М, Ф — функция на М. Дифференциальные уравнения X = v(x) на М называются градиентными (или эволюционными), если [c.55]

Пусть ds — метрика Мопертюи на М. Зафиксируем точку q G е М, удовлетворяющую условию б). Поскольку [M,ds) — гладкое двумерное компактное ориентируемое риманово многообразие, не [c.137]

Укажем одно из применений этого результата. Рассмотрим движение по инерции по п-мерному замкнутому риманову многообразию М с фиксированной (скажем, единичной) скоростью. Пусть —расслоенное пространство единичных касательных векторов многообразия М. Риманова метрика на М (кинетическая энергия системы) задает на Е динамическую систему, которая обычно [c.149]

На самом же деле 2Вь не является римановым многообразием, поскольку ds = О на границе Bh. Чтобы избежать этой трудности, надо сначала отступить от края Bh на небольшое расстояние в метрике Мопертюи, а уже затем произвести склейку. Детали доказательства можно найти в работе [1]. [c.153]

Гиперкалерова структура (на 4п-мернои вещественном многообразии) состоит из трёх комплексных структур /, У, К, удовлетворяющих соотношениям для образующих алгебры кватернионов Н, и такой метрики Дирака (, ), что соответствующие кососкалярные произведения о)т, иJ, ии замкнуты. Т.о., касательные пространства к гиперкэлерову многообразию несут структуру кватернионного пространства, а само многообразие — риманову метрику, согласованную ч тремя вещественными С. с., или в комплексной интер- [c.521]

Понятия В. а., (Пфеделённые выше для евклидова пространства, мо/Кпо обобщить па риманово пространство И 7(р. многообразия. Дифференц. операции приводят К понятию котриалтпой производной, интегральные теоремы фор.мулируются на языке дифференциальных форм. [c.253]

Отметим, что риманова метрика на 4-мерном (га = 1) гиперкэлеровом многообразии имеет антиавтодуальную ферму кривизны и автоматически удовлетворяет ур-нию Эйнштейна (см. Тяготение). Само гиперкэлерово многообразие ваз. в атом случае гравитац. инстантоном, чем подчёркивается, что речь идёт не о метрике Минковского, а о евклидовой версии общей теории Относительности. [c.521]

T, в многообразии определяется так подмножество в М" открыто, если открыто его пересечение с каждой картой. Дополнительно в определении многообразия требуется, чтобы пересечение любых двух карт было открыто, а также чтобы М" было хаусдорфовым тоггологич. пространством. Многообразие наэ. чамкнутым, если оно компактно и связно. Все понятия дифференц. исчисления ф-ций многих переменных и локальной дифференц. геометрии (гладкие ф-пии и отображения, векторные и тензорные поля, дифференц. формы, римановы метрики и др.) несложно переносятся на многообразия. Многообразия М" и iV" наз. диффеоморфными, если определены взаимооб-ратные гладкие отображения и [c.145]

С изложенными концепциями поля, определенного на многообразии, движущемся через другое многообразие, можно познакомиться в книге Схоутена р ]. Производные по времени с сомножителями в правых частях уравнений (12.57), (12.58) (без слагаемого djdt) называются производными Ли. Они находят применение в исследованиях римановых многообразий, жестко движущихся одно через другое [c.408]

Пусть теперь а изменяется рассматривая V как групповое многообразие евклидовых групп, мы видим, что V имеет просто транзитивную ) группу изометрий (т. е. движений, оставляющих инвариантной метрику ds ). Подобное многообразие мы будем называть римановым групповым многообразием и мы всегда можем рассматривать изометрйи как левые переносы. [c.220]

Теперь мы выведем формулу для геодезической кривизны однопараметрических подгрупп произвольного риманового группового многообразия. Этот результат, между прочид , представляет интерес и в геометрии групп Ли — это еще одно свидетельство того, что вся математика по существу едина. [c.221]

Но, по определению риманового группового многообразия, инвариантно относительно левых переносов. Поэтому, в силу условия (40) и соотношения (42), можно записать следующие равенства [c.225]

Когда Н > тахм(—У), то В совпадает с М и В, dp) — риманово многообразие. В противном случае граница дВ области В не пуста, и метрика Якоби dp имеет на дВ особенность (длина кривых, лежащих на границе, равна нулю). [c.130]

Если Н > тахто(—У), то В совпадает со всем конфигурационным пространством, и задача о существовании периодических решений уравнений движения сводится к нахождению замкнутых геодезических линий гладкого риманова многообразия (М, йр). Каждой замкнутой геодезической отвечают два различных периодических решения исходной задачи (движения по этой кривой в противоположных направлениях). Они являются, конечно, вращениями. Существуют оценки числа замкнутых геодезических, зависящие отчасти от топологического строения М, отчасти от римановой метрики йр [52]. Наилучшей универсальной нижней оценкой является пока 2 [53]. Таким образом, на (2п — 1)-мерных уровнях интеграла энергии с постоянной Н > тах(—У) существуют, по крайней мере, четыре различных периодических решения. [c.141]

Будем считать, что В — подмногообразие гладкого многообразия М той же размерности, полученного склеиванием двух многообразий В и дВ х [О, оо) по диффеоморфпым краям (подробности см. в [47, 54]). Метрика йр определена в N С В С М и в некоторой окрестности множества N в В. Пусть йр — гладкая метрика на т такая, что йр совпадает с йр на N, и риманово пространство (М, йр ) полно (т.е. каждый отрезок геодезической 70 [а, Ь] М продолжается до бесконечной геодезической 7 К М ). Такую метрику легко построить, используя утверждение о гладком продолжении тензорных полей [51]. Ясно, что геодезические в повой метрике йр совпадают на ТУ с геодезическими линиями в метрике йр. [c.142]

Оказывается, с каждой компактной римановой поверхностью рода т естественным образом связано поле абелевых функций от т комплексных переменных. Напомним, что риманова поверхность X — это двумерное многообразие, покрытое комплексными картами, причем переход от карты к карте является голоморфным отображением. Простейший пример компактной римановой поверхности — двумерный тор (факторпространство комплексной плоскости по двумерной решетке). Ее род равен единице. [c.113]

Из результатов Аносова, Клингенберга и Такенса следует, что в множестве всех геодезических потоков на гладких замкнутых римановых многообразиях существует открытое всюду плотное подмножество потоков без устойчивых периодических траекторий [7]. Поэтому свойство геодезического потока не иметь устойчивых периодических траекторий является свойством общего положения. Рассмотрим геодезические потоки на двумерной сфере. В этом случае М = T S , S = 50(3) и = Ъг. Следователь- [c.150]

Поля Киллинга на Л/" образуют алгебру Ли размерности к n(ii- -1)/2, причем равенство имеет место для римановых многообразий постоянной кривизны. Например, на двумерных сферах а = onst в евклидовом пространстве = ж поля е х х, е = onst, являются киллинговыми. Их алгебра Ли изоморфна алгебре so(3). [c.151]

В частности, при dim М = 2 линейный интеграл может быть лишь в тех случаях, когда М диффеоморфно сфере или тору. Доказательство теоремы 1 основано на использовании результатов Кобаяси [210] о действии коммутативных групп изометрий на римановых многообразиях. Поскольку М компактно, то все кил-линговы поля vy,..., Vk полны на Л/ их фазовые потоки определены при всех значениях а. Каждая группа д изоморфна либо окружности Т (если ее орбиты замкнуты), либо прямой К (если орбиты некомпактны). Поля Киллинга v ,..., Vk независимы и коммутируют, поэтому на римановом многообразии М эффективно действует коммутативная группа Ли изометрий G = Т" х X (О m к). Эффективность действия означает, что лишь [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...