Уравнения связей голономной системы

Обсуждается вопрос о рассмотрении первых интегралов уравнений движения голономной системы как неголономных связей. Автор приходит к выводу, что составление дифференциальных уравнений движения с использованием этих неголономных связей приводит к дифференциальным уравнениям, эквивалентным исходным уравнениям данной голономной системы. [c.118]

Сравним уравнение (18) с общим уравнением динамики. Общее уравнение динамики голономной системы с функцией Лагранжа Ь и идеальными связями (1) имеет вид [c.144]

Уравнения Гамильтона в избыточных координатах. Уравнения (35) в случае вполне интегрируемых связей являются уравнениями Гамильтона голономной системы, записанными в избыточных координатах. В качестве примера рассмотрим движение материальной точки (m, г) в евклидовом пространстве по гладкой регулярной поверхности 2, заданной уравнением f(r)=0. Пусть на точку действует потенциальная сила с потенциалом U(r). Положим (согласно (33)) [c.49]

Использование уравнений Лагранжа для систем, содержащих механические голономные связи. Если система содержит механические связи, но все они голономны, то можно в качестве новых координат использовать обобщенные координаты qi,. .., q (их число = ЗЛ/ — / 3/V равно числу степеней свободы системы), а формулы (8) получаются так, как это было пояснено выше (см. рассуждения, приводящие к формулам (60)). [c.155]

Связи делятся также на голономные и неголономные. Г тоном-ными (интегрируемыми) называются связи, которые накладывают ограничения на положения точек материальной системы (конечно, после дифференцирования уравнения связи по времени можно получить также зависимость между координатами и скоростями точек системы). [c.337]

В настоящей книге основное внимание уделено голономным системам, т. . рассматриваются материальные системы, на которые наложены связи, уравнения которых могут быть записаны в форме [c.10]

Формула (8.34) была получена на базе уравнений Лагранжа второго рода. Но можно сделать и наоборот — принять эту формулу за исходное положение механики консервативных голономных систем со стационарными связями и получить из нее уравнения движения материальной системы ). [c.230]

В первом случае движение шара подчинено голономной связи, а во втором — неголономной. Вообще, голономными, или конечными, связями называют связи, накладывающие ограничения только на положение материальных точек системы. Они выражаются аналитически конечными соотношениями между координатами точек системы, причем в эти соотношения может явно входить и время. Обратим внимание на тот факт, что, продифференцировав по времени такое уравнение, мы получим уравнение связи, содержащее явно проекции скоростей точек. Но это уравнение явится лишь следствием того уравнения, из которого оно было получено путем дифференцирования. Оно будет автоматически выполняться при удовлетворении голономной связи. [c.427]

Пример. Система состоит из двух течете Л и В. Согласно связям, наложенным на эти точки другими материальными телами, точки А н В могут двигаться только в плоскости хОу и находиться на постоянном между собой расстоянии г. Связи голономные и их уравнения =0, 2д = 0, г = ]/"(ха— иУ -ЫУл —УаУ - Очевидно, что из шести координат х , Уд, 2 1, хц, уц, гц) независимых остается только три, а остальные три определяются из уравнений связи. Выбор этих независимых координат мы можем сделать по собственному усмотрению. Можно принять за независимые, например, и Лд, а уц определить по независимым координатам и по урав- [c.428]

Допустим, что рассматривается некоторая система Л/ точек, на которые наложены голономные связи, выражающиеся несколькими, например, I уравнениями связей вида [c.322]

Иногда, вместо числа степеней свободы N, рассматривается число Л 1 степеней свободы по координатам . Это число степеней свободы равно числу независимых координат, определяющих положение точек системы. Зависимые координаты определяются из уравнений геометрических связей и из уравнений проинтегрированных голономных связей. Таким образом, [c.23]

Уравнения движения голономных систем со стационарными связями в неголономных системах координат [c.156]

Голономные связи накладывают ограничения только на координаты точек системы, т. е. на ее положение в пространстве. Вместе с тем, будучи продифференцированы по времени, уравнения голономных связей представляют ограничения, накладываемые на скорости точек системы. В противоположность этому неголономные связи ограничивают и координаты, и скорости точек системы, так как уравнения связей не могут быть проинтегрированы и, следовательно, не существует конечных соотношений между координатами, соответствующих неголономным связям. [c.302]

Составляя соответственно дифференциалы или вариации от обеих частей уравнений связей, получаем аналитические выражения ограничений, налагаемых связями на бесконечно малые перемещения точек несвободной системы. Рассмотрим ограничения, налагаемые на общие бесконечно малые перемещения системы голономными связями. [c.307]

Если s=3n, то из Зп уравнений вида (1) определяются все Зп координат точек механической системы и, следовательно, эти координаты будут иметь некоторые постоянные значения, а потому механическая система двигаться не будет. Для того чтобы эта система могла двигаться, необходимо, чтобы s было меньше Зп. В этом случае не все Зп координат точек голономной системы являются независимыми друг от друга, так как из s уравнений связей (1), можно s каких-нибудь координат выразить через остальные Зп—s координат. Следовательно, только Зп—S координат можно рассматривать как независимые переменные, которые могут принимать произвольные значения, все же остальные s координаты найдутся из уравнений связей (1) как функции этих независимых координат. Так что для определения положения рассматриваемой голономной механической системы относительно какой-либо системы отсчета достаточно задать из Зп координат этой системы только лишь Зп—S координат. [c.751]

При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа второго рода равно числу независимых обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы этой голономной системы. [c.792]

Если Ij отличны от нуля, то действительные перемещения dx , dy,, dz , не удовлетворяя уравнениям (5.7), не находятся среди возможных перемещений. Если система дифференциальных уравнений связей (5.6) интегрируема в том смысле, что она сводится к системе dfj t, Xi, г/,, Zi,. .., Хп, г/ , z ) = О (7 = 1,. ... .., т), то связи носят название голономных если уравнения [c.141]

Положение механической системы, состоящей из п материальных точек, определяется Зп декартовыми координатами. Но если на систему наложено s голономных стационарных удерживающих связей, то уравнения связей можно разрешить относительно s произвольных декартовых координат и выразить эти координаты через остальные Зп — s. Тогда число независимых координат, определяющих положение системы, будет равно Зи — s. При решении некоторых задач для определения положения системы вместо декартовых координат точек могут использоваться другие геометрические параметры криволинейные координаты, углы, площади, объемы и т. д. Любые независимые параметры, однозначно определяющие положение механической системы, называются обобщенными координатами этой системы и обозначаются через 5,, да,. .Чт- Их число совпадает с числом независимых декартовых координат, т. е. [c.295]

В более полных курсах доказывается, что движение механической системы с голономными удерживающими связями описывается системой аналогичных уравнений, число которых соответствует числу степеней свободы механической системы, т. е. числу обобщенных координат, однозначно определяющих ее положение. При этом каждой обобщенной координате будет соответствовать свое уравнение [c.303]

Системы голономные и неголономные. С точки зрения аналитического выражения связей существующие системы делятся на две категории на системы голономные, в которых все связи могут быть выражены уравнениями с конечными членами, и на системы неголономные, такие, как, например, обруч, велосипед, в которых некоторые из связей (условие качения колес по неподвижной поверхности) выражаются дифференциальными соотнощениями. [c.267]

Голономные системы.—Связь называется голо-номной, если она выражается уравнением в конечной форме между координатами точек системы. Система, все связи которой голономны, называется голономной системой. [c.304]

Система называется голономной, если связи выражаются конечными соотнощениями, т. е. соотнощениями, не содержащими дифференциалов, между координатами точек системы и временем. Это наиболее часто встречающийся и наиболее важный случай. Мы можем здесь ограничиться только им. Предположим, что Зл координат точек системы связаны Л< 3л уравнениями связей [c.214]

Уравнения движения Лагранжа и их инвариантность относительно точечных преобразований. При выводе принципа наименьшего действия были использованы прямоугольные координаты. Однако иа механическую систему могут быть наложены связи если эти связи голономны, то 2>N прямоугольных координат системы могут быть выражены [c.140]

Теперь рассмотрим случай голономной системы, отнесенной к избыточным лагранжевым координатам. Положения ее точек попрежнему выражаются уравнениями (2) но координаты этом случае связаны V независимыми уравнениями (4) эти последние в момент будут иметь вид [c.279]

Теорема и интеграл живых сил. Так как уравнения Лагранжа вполне определяют движение голономной системы, то всякое свойство движения должно являться следствием из этих уравнений. В виде примера полезно проверить, что, когда связи не зависят от времени, уравнения (43) будут содержать в себе теорему живых сил, которая, как уже известно, справедлива для всякой системы с такими связями (п. 30). [c.294]

Но в то время как в случае голономной системы (с п степенями свободы) все были произвольными (и независимыми), здесь они связаны между собой так, что могут принимать только значения, удовлетворяющие равенствам (78), сообразно с выбором v произвольных ЙЕд. Таким образом, подставляя вместо 8 их выражения (78) и принимая во внимание произвольность мы заключаем, что общее уравнение (35) равносильно системе v уравнений [c.325]

Заметим, между прочим, что в динамических случаях, когда мы имеем голономные системы со связями, не зависящими от времени, находящиеся под действием консервативных (или даже только позиционных) сил, уравнения движения остаются неизменными при замене на —t, т. е. все движения обратимы. Поэтому в таких случаях, как и в случаях равновесия, понятие устойчивости приложимо без ограничения времени, т. е. от наиболее отдаленного прошедшего до наиболее далекого будущего (при t, изменяющемся от — оо до-[-оо). Но, как мы увидим далее, в некоторых случаях, в частности, когда входят силы трения, вязкости или вообще так называемые диссипативные силы ( 7), движения оказываются необратимыми тогда необходимо ограничиться для каждого отдельного движения разбором устойчивости в будущем, т. е. только при [c.379]

Получить уравнения движения голономной системы с идеальными связями можно, воспользовавщись теоремой 7.1.1 о форме принципа Даламбера-Лагранжа в лагранжевых координатах. Основное [c.539]

Изучение малых колебаний неголономной системы, опирающееся на исследование линейных дифференциальных уравнений (2.5) и (2.6), по существу ничем не отличается от аналогичного исследования линеаризованных уравнений движения голономной системы. Так же, как и в случае голономной системы, при наличии решения, нарастающего во времени, результаты такого исследования будут справедливы лишь на конечном интервале времени и т. д. В этом смысле на неголономные системы полностью распространяются все положения обычной теории малых колебаний. Что же касается связи линеаризованных ураднений (2.5), (2.6) с движением исходной неголономной системы, то здесь есть особенность, присущая только неголономным системам. Эта особенность проявляется в наличии нулевых корней и в несимметричности матрицы коэффициентов характеристического уравнения, в случае консервативной системы. Обычный подход с позиций теории малых колебаний здесь не дает полного ответа ка вопрос об устойчивости и не позволяет вскрыть природу нулевых корней. Как мы увидим, эти вопросы тесно связаны между собой. Более подробное рассмотрение вопроса об устойчивости и малых колебаниях неголономных систем позволяет не только объяснить природу нулевых корней характеристического уравнения, но и обнаружить еще одну особенность неголо- [c.268]

В случае стационарных связей время явно не входит в уравнения связей. Поэтому и в (12) оно войде только неявно, через обобщенные координаты, если система движется. Для голономных систем вектор возможного перемещения точки в соответствии с (12) можно выразить в форме [c.392]

Езольшое достоинство уравнений Лагранжа заключается в том. что при наличии идеальных и голономных связей в них не входят силы реакций связей. (При применении других методов решения задач приходится в ходе решения исключать силы реакций связей из системы составленных уравнений.) [c.473]

Теорема 4.4.4. (Фробёниус). Система дифференциальных связей голономна тогда и только тогда, когда для любых дифференциалов 6q Е J q) и dq Е (q) обращаются в нуль внешние производные левых частей всех уравнений соответствующей пфаффовой системы [c.320]

Перейдем от п независимых декартовых координат к каким-то п независимым обобщенным координатам по определенным формулам перехода, т. е. выразим независимые декартовы координаты через п тоже независимых между собой обобш.енных координат Затем благодаря уравнениям связей (3) выразим и остальные зависимые декартовы координаты через эти же обобщенные координаты. В результате окажется, что если на систему точек наложено I голономных связей, то все декартовы координаты точек системы могут быть выражены при помощи конечных соотношений через какие-то подходящим образом выбранные обобщенные координаты, число которых равно п = ЗЫ — / [c.323]

Вторую внутреннюю сумму в уравнении (119) назовем обобщенной силой, соответствующей данной независимой координате Яа- Вследствие наличия неголоиомных связей каждая обобщенная сила выра- кается более сло.жно, чем в голономных системах, т. е. [c.380]

В качестве примера голономной несвободной системы, состоящей из нескольких тел, рассмотрим плоское движение четырехзвенного механизма 0iM M202 (рис. 352). Если для заданий положений движущихся его звеньев 0 М, и О2М2 пользоваться координатами точек М и М2, то уравнения связей будут (размеры звеньев указаны на рисунке) [c.303]

Если уравнение связи можно записать в виде /(г , t) = 0, не содержащем проекщ1И скоростей точек системы, то связь называется геометрической конечной, голономной). В примерах 1, 2 связи геометрические. Если же в уравнение связи /(iv, Vv, t)=0 входят проекции скоростей Vv, то связь называется дифференциальной (ки-нелшгаческой). Дифференциальную связь /(г,, Vv, i)=0 называют интегрируемой, если ее можно представить в виде зависимоспи между координатами точек системы и временем (как в случае геометрической связи). Неинтегрируемую дифференциальную связь называют еще неголономной связью. [c.24]

Переменные ji,. .., предполагаются веществепнымы и иезавп-симыми пх численные значения определяют положение системы. Такие неременные носят название определяющих (или голономных) обобщенных координат Лагранжа. Отсюда возможные перемещения бхм, бу,,, 6zv при бесконечно малых изменениях определяющих переменных находятся варьированием уравнений связи [c.79]

Уравнения Лагранжа второго рода дают общий метод составления дифференциальных уравнений движения механической системы с голономными идеальными удерживающими связями в обобщенных координатах. Строгий вывод этих уравнений выходит за рамки данного курса, поэтому проиллюстрируем их справедливость на очень частном случае механической системы с одной степенью свободы, когда наложенхсые на нее связи являются не только голономными идеальными удерживающими, но и стационарными. [c.300]

Принцип Гамильтона можно распространить и на неголо-номные системы. При выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона или из принципа Даламбера мы использовали требование голономности связей только на последнем этапе, когда считали вариации 6qj независимыми. В случае неголономной системы ее обобщенные координаты не являются независимыми и не могут быть связаны друг с другом уравнениями связи вида f(q,, q2,. .., qn, t) — Q. Однако рассмотрение неголономных систем оказывается возможным, если уравнения их связей можно представить в виде [c.53]

Избыточные лагранжевы координаты. Если голономная система 8, определяемая независимыми лагранжевыми координатами q , до,, д и имеющая поэтом п степеней свободы, подвергается действию новых голономных связей, то это получает выраясение в том, что параметры д связываются одним пли несколышии уравнениями [c.277]

Первая формл уравнени Ллгрлнжа. Попытаемся теперь составить уравнения движения материальной системы со связями и предположим, что речь идет о голономной системе, состоящей из /V точек Я,- и имеющей I независимых связей (без трения) [c.285]

После этого выразим остальные связи (которые, если исключить случай голономной системы, будут или все чисто кинематическими (неголономными), или частью голономными и частью кинематическими (неголономными), накладывая на координаты q , q , некоторое число s условий в виде лине1шо независимых уравнений вида (т. 1, гл. VI, п. 10, 17) [c.322]

Члены неголономности. После этих предпосылок вернемся снова к уравнениям (82) движения системы, связи которой не все голономны (п. 55) вспоминая, что на основании уравнений (78) н. 54 имеем [c.330]

ГолономныЕ СИСТЕМЫ. Вернемся к общему уравнению импульсивного движения в его первоначальной форме (48) для того, чтобы приложить его к любой голономной системе, число степеней свободы которой пусть будет п. Естественно, что голономность связей должна существовать и в течение промежутка времени t, когда действуют ударные силы, так что, если обратимся прямо к обозначениям п. 22, уравнения (49), число г которых надо принять связанным с числом степеней свободы п и числом N точек системы известным соотношением г- -п = 3N, должны получаться при помощи дифференцирования по времени такого же числа соотношений между координатами. Эти соотношения, как мы уже знаем, можно представить себе написанными в виде гтараметрических выражений [c.508]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...