Равновесие и колебания струны

Равновесие и колебания струны 65 [c.65]

Равновесие и колебания струны. Струна — это нитевидное упругое тело, длина которого настолько превышает поперечные размеры, что это тело оказывает сколько-нибудь заметное сопротивление только изменению его длины. Пусть длина струны /. Струна натянута приложенной к ней силой 5 и закреплена в начале и в конце. Примем за ось X прямую линию, с которой совпадает натянутая, не имеющая никаких других нагрузок струна, и поместим начало координат.в одном из ее концов. Вычислим работу, необходимую для того, чтобы сообщить струне поперечное отклонение. Результатом этой работы должно быть удлинение отдельных элементов ( /5) струны. Элемент йв находится под действием продольного натяжения 5 если длину этого элемента после деформации обозначим через то работа силы 5 будет [c.65]

По скрипичной струне ведут равномерно смычком, сила трепия смычка о струну должна бы оттянуть струну, однако всем известно, что при этом возникают периодические колебания струны. Если бы в отсутствие ветра и смычка мы отклонили струну от положения равновесия и отпустили, то возникли бы собственные колебания, которые через некоторое время прекратились бы. Но при наличии ветра или движении смычка силы, действующие на колеблющуюся струну, изменяются таким образом, что поддерживают колебания работа этих сил идет на компенсацию работы остальных сил трения, неизбежно возникающих при колебании струны. При колебаниях струны возникают такие условия, при которых появляется определенная периодическая сила, поддерживающая эти колебания в отсутствие колебаний внешнее воздействие со стороны смычка оставалось бы постоянным. [c.454]

Но после определенного начального -возмущения струна может совершать гармонические собственные колебания. Представим себе, что Ёсе участки струны отклонены от положения равновесия ио синусоидальному закону так, как показано на рис. 414, а, и затем освобождены. Каково будет движение частиц струны Оно будет таким же, как и движение их в стоячей волне на той же струне с длиной волны X 21. [c.497]

Колебания, принадлежащие ко второму классу, — это поперечные колебания, т. е. при них частицы струны движутся заметно только в плоскостях, перпендикулярных к струне. В этом случае потенциальная энергия смещения зависит от общего натяжения струны, и поэтому малые колебания натяжения, сопровождающие добавочное растяжение, можно не учитывать. Здесь, таким образом, предполагается, что натяжением струны, возникающим при ее движении, можно пренебречь по сравнению с тем, которому она уже была подвергнута в положении равновесия. Убедившись однажды в том, что это условие выполняется, мы в наших исследованиях поперечных колебаний струн не будем интересоваться дальнейшими подробностями, касающимися закона растяжения. [c.194]

Можно показать методом, разобранным ранее, что если мы приводим струну в колебание, сообщая ей начальное смещение у х) от линии равновесия и начальную скорость [х) (сверх [c.140]

Эта формула относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Часто задачу о колебаниях струны ставят в других предположениях считают, что перемещения малы, а растягивающая сила задана и остаётся неизменной в процессе колебаний. [c.207]

Однородный твердый брусок массы М и длины L, шириной которого мы пренебрегаем, симметрично подвешен на двух вертикальных струнах, каждая из которых имеет коэффициент упругости а расстояние между струнами равно х (х < L). При равновесии брусок занимает горизонтальное положение. Показать, что при условии = L/K3 возможно возбудить такие колебания бруска в вертикальной плоскости, при которых наперед заданная точка бруска останется в покое. [c.96]

КОВ струны относительно горизонтали. Таким же образом конфигурация паровой машины и всего приводимого ею в движение оборудования определяется угловой координатой маховика. Разнообразие систем подобного рода бесконечно однако, если исключить силы трения и другие диссипативные силы, то все эти системы, будучи каким-либо образом приведены в движение и затем предоставлены самим себе, движутся, подчиняясь уравнению сохранения энергии. Для случая малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия дифференциальное уравнение движения, как мы увидим, всегда сводится к тому же уравнению (1) 6. [c.27]

Если же каким-нибудь иным способом возбудить струну, ударить как-то или как-то отклонить из положения равновесия, то возбудится несколько собственных колебаний с различными частотами и движение будет сложным, но состоящим из собственных гармонических колебаний. [c.499]

Щипковые струнные инструменты, в которых звуковые колебания получаются за счет мгновенного смещения струны из положения равновесия либо с помощью пальцев, либо с помощью небольшого заостренного куска (медиатора) дерева, слоновой кости, черепахи, пластмассы и т.д. Примерами служат [c.201]

В точках 2=а, 2а,..., Ь а. Полная длина L равна (Л - -1)а. Масса каждого груза равна М., отрезки струны (пружины) между грузами одинаковы, невесомы и подчиняются закону Гука. Натяжение в равновесии равно Т0. Если пружины (струны) удовлетворяют приближению пружины (натяжение пропорционально длине), то колебания могут иметь произвольно большую амплитуду и все же будут описываться линейными уравнениями движения. Если же пружины не являются пружинами , то для того, чтобы получить линейные уравнения движения, следует ограничиться рассмотрением малых колебаний, [c.79]

Пример 4. Гладкая тонкая сферическая оболочка массой М и радиусом а удерживается иа гладкой наклонной плоскости при помощи упругой струны, которая прикреплена к сфере и шпильке на том же самом расстоянии от плоскости, что и центр сферы. Точка массой т покоится на внутренней поверхности сферы. В положении равновесия струна параллельна плоскости. Найти период колебаний системы, когда ей сообщается небольшое отклонение в вертикальной плоскости доказать, что дуга, описываемая точкой, и перемещение центра сферы, отсчитываемые от их положений равновесия, равны, если Мт- -т соз а) gl = Еа (I соз а), где Е — коэффициент упругости струны, I — ее длина в нерастянутом состоянии на — угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости. [c.404]

В этих опытах практически невозможно пустить маятник, не сообщив сфере малого вращения вокруг диаметра, который в положении равновесия вертикален. Рассматривая сферу и струну, к которой оиа подвешена, как твердое тело, вращающееся вокруг струны с угловой скоростью п, из результатов п. 268 получаем, что период колебания такой системы равен 2я Подставляя [c.409]

Если система совершает малые колебания перпендикулярно к отрезку прямой АС, то периоды будут определяться тем же самым уравнением, если и E. заменить натяжением Тд струны в положении равновесия. [c.492]

Если точка приложения силы совпадает с узлом колебания (s), то Фд = О, и мы заключаем, что эта сила совершенно не оказывает никакого влияния на данную компоненту. Этот принцип очень важен он показывает, например, что если струна находится в покое в положении равновесия, то никакая сила, приложенная в ее центре, в форме ли щипка, удара или движения смычка, не может образовать ни одной из четных нормальных компонент ). Если, после того как сила подействовала, точку ее приложения остановить хотя бы прикосновением пальца, то все движение немедленно прекращается это объясняется тем, что компоненты, не имеющие узла в данной точке, уничтожаются в результате прикосновения к струне, а те, которые имели бы его здесь, отсутствуют в движении с самого начала ), В более общей форме это можно высказать так заглушая движение в какой-нибудь точке звучащей струны, мы устраняем все компоненты колебания, которые не имеют узла в этой точке, и оставляем совершенно незатронутыми компоненты, которые его здесь имеют. [c.210]

Струна, натянутая на гладкой кривой поверхности, в положении равновесия будет расположена вдоль некоторой геодезической линии и, будучи подчинена определенным условиям устойчивости, при смещении начнет колебаться около этой конфигурации. Самый простой случай, который можно себе представить,— это тот, когда поверхность представляет собой цилиндр какой-либо формы и когда положение равновесия струны перпендикулярно к образующим. Изучающий легко покажет самостоятельно, что движение не зависит от кривизны цилиндра и что колебания во всех существенных чертах таковы же, как если бы данная поверхность была развернута в плоскость. Заслуживает внимания случай бесконечной струны, образующей кольцевую обмотку вокруг цилиндра. [c.235]

До сих пор мы рассматривали только продольные колебания но легко показать, что аналогичные результаты получаются и для поперечных колебаний. В изображенной на рис. 37 винтовой пру жине могут быть возбуждены колебания в направлении, перпенди кулярном направлению х. Тогда пружина колеблется как натяну тая струна, и в основу следующего ниже вывода может быть поло жен рис. 38. Отклонения струны, перпендикулярные теперь на пр>авлению х, обозначены через . Составим уравнение равновесия элемента струны длиной Ах. Если л — масса единицы длины, то сила инерции равна [c.44]

В качестве простого примера применения этой теории к сплошной среде рассмотрим случай гибкой струны, на которую действует постоянное натяжение т. Концы струны закреплены, и она совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия — интервала О л 1 оси х. Если (х, О — перемещение точки струны перпендикулярно оси х, то [c.43]

Лагранжу принадлежат также многочисленные работы по механике сплошной среды. В Аналитической механике немало моста уделено гидростатике, гидродинамике, теории упругости. В этих разделах Лагранж систематизировал все результаты, полученные им п его пред-шествентшами. В теории упругости Лагранж не располагал общими уравпеинями (они были выведены позже, в 20-е годы XIX в.) и рассматривал равновесие и колебания около положения равновесия упругих тел одномерных или двумерных — типа ннти, струны, мембраны. В гидродинамике Лагранж оперировал уравнениями для идеальной жидкости (т. е. совершенно лишенной внутреннего трения), выведенными до него Эйлером. [c.206]

Из Д. у. с частными производными 2-го порядка рассмотрим как пример ур-ие колебания струны. Если г. обозначает время, X — расстояние точки струны от одного конца (ж = 0), X = I — второй конец струны, z — уклонение точки струны от положения равновесия, а — постоянную, то Д. у. напишется так [c.455]

Нормальные частоты стержня зависят от его размеров, плотности и упругих свойств материала, из которого он изготовлен. Поэтому для данного стержня его пор.чальные частоты имеют вполне определенные значения. Нормальные частоты поперечных колебаний данной струны зависят, кроме того, еще и от ее силы натяжения. Выбирая соответствующим образом на-чал1)Иые условия в стержне, можно возбудить те или иные свойственные им нормальные колебания. Например, если струну, закрепленную по концам, слегка оттянуть в средней ее точке, а затем отпусппь, то мы возбудим в ней первое нормальное колебание. При этом все точки струны, кроме крайних, колеблются в одинаковых фазах, а отклонения различных точек от по.чожения равновесия находятся в определенном отношении, которое все время сохраняется и равно отношению их амплитуд (рис, 161, а). Такое колебание струны происходит с наиболее низкой нормальной частотой п является основным тоном собственных колебаний струны (см. 49). Как мы видели, второе нормальное колебание связанной системы из трех маятников происходит так, что средний маятник все время остается в покое, а крайние колеб.тются в противоположных фазах. Подобное нормальное колебание (рис. 161, б) можно возбудить и в струпе. Для этого нужно оттянуть средние точки каждой половины струны па одинаковое расстояние, но в противоположные стороны, и затем их одновременно отпустить. Тогда струна начнет колебаться так, что ее средняя точка будет все время находиться в покое, а точки одной половины струны колебаться в противофазе по отношению к точкам другой половины струны. [c.198]

Продольные колебания струны. Рассмотрим продольные одномерные колебания струны, т. е. будем считать, что каждый элемент струны может перемещаться только вдоль ее длины. Если XI—координата какого-либо элемента струны, а и — смещение этого элемента от положения равновесия, тогда относительная деформация (относительное изменение длины) 8 = (1и/с1х. Если деформация происходит под действием силы Е, то отношение Е/8 = с опредляет упругую постоянную струны. [c.26]

Рассмотрим для примера, как воз иикают автоколебания струны у смычкового инструмента. При движеини волоска смычка струна под действием силы трения покоя начнет удаляться от положения равновесия. Когда сила упругости деформированной струны превосходит силу трения покоя, струна отрывается от волоска, переходит на другую сторону от положения равновесия и в момент наибольшего отклонения снова захватывается смычком. Так, два раза за период струна получит пополнение энергии, что и обеспечивает колебания с неизменной амплитудой. [c.403]

Первая попытка такого обоснования была сделана в начале XVIII в. Её Предпринял один из учеников Ньютона — Брук Тэйлор. В своем труде О методе приращений он исследует задачу о поперечных колебаниях звучащей струны. Его схема такова. Струна длиной I натянута, образуя прямолинейный отрезок, концы которого закреплены. Пусть, для определенности, это отрезок оси Ох от начала (О) до точки с абсциссой I. В плоскости хОу струна натягивается из положения равновесия и затем предоставляется самой себе, вследствие чего она начинает совершать (свободные) колебания. Тэйлор не располагает общим уравнением движения струны и не пытается вывести такое уравнение — его подход можно охарактеризовать как полуэмпи-рический-полутеоретическнй. Он принимает такие допущения 1) все точки струны одновременно проходят через свои положения равновесия (т. е. через ось Ох) 2) сила, которая действует на какую-либо точку струны, пропорциональна расстоянию этой точки от оси (в наших обозначениях — координате у). [c.262]

Вспомним, что основной физический процесс при распространении звуковой волны, — это непрерыйный переход кинетической энергии в потенциальную и обратно. То же самое происходит и при колебании струны когда струну дергают, отклоняя ее в одну сторону, она растягивается и приобретает потенциальную энергию когда струну отпускают, сила натяжения стремится вернуть ее в положение равновесия, струна приобретает кинетическую энергию и импульс и, минуя по инерции положение равновесия, отклоняется в другую сторону, то есть снова в положение, в котором струна имеет потенциальную энергию, и т. д. Такие колебания совершаются до тех пор, пока струна [c.44]

В соответствии с общей теорией малых колебаний перемещения и и производные ди/дх и ди/д1 считаются величинами первого порядка малости. Покажем, что в сделанных предположениях с точностью до членов высшего порядка малости при колебаниях струны ее натяжение будет все время одинаково во всех точках. Действительно, пусть и 5о= йх — длина элемента М1М2 нити в момент времени t и в положении равновесия соответственно. Тогда [c.205]

Продольное и поперечное смещения. Выражение (1) имеет значп-тельно более общую форму, чем нужно для изучения колебаний струны. Предположим, что в состоянии равновесия струна растянута вдоль оси Z. Тогда координата z дает положение равновесия каждого груза и выражение (1) может быть записано в более простом виде [c.60]

Однородная струна, имеюгцая массу М и длину L подвешена вертикально за один из концов. На другом конце струны закреплен шарик массы т (рис. 1.21). Найдите частоты собственных колебаний струны при малых отклонениях от положения равновесия. [c.39]

На кяждую иа двух параллельных горизонтальных проволочек надето закрепленное невесомыми растяжками кольцо массы ш когда кольцо смещается на расстояние у от положения равновесия, на него действует возвращающая сила ку. Когда кольца находятся в положении равновесия, линия, соединяющая их, перпендикулярна обеим проволочкам, а расстояние между ними равно L Однородная струна с линейной плотностью р растянута между кольцами до натяжения Т. Исследовать нормальные колебания системы. [c.96]

Возбуждение волн. Источниками В. могут служить любые движения, нарушающие равновесное состояние среды (системы) камень, брошенный в воду, движущееся по воде судно, полёт снаряда, вибрации мембраны, струны, голосовых связок человека, колебания за-рядоп и токов в антеннах радиостанций и т. д. Во всех этих случаях источники поставляют энергию, уносимую бегущими В. Если источники синусоидальны [напр., ф-ция / и волновом ур-нии (5) — синусоида], то в линейных системах они возбуждают гармонич, волны. Источники В. классифицируются либо по типам создаваемых ими полей, либо по механизмам возбуждения. Так, пульсирующий шар создаёт в сжимаемой среде (газе, жидкости) симметричную сферич. звуковую В. типа (21а). Такой источник наз. монополем (рис. 13, а). Малые колебания тела как целого, напр, вдоль оси 2 около нек-рого положения равновесия (г—0), дают несимметричную сферич. В, вида [c.322]

Динамика колебаний. Свободные, пли собственные, К. являются движением системы, предоставленной самой себе, в отсутствие внеш. воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют суперпозиции принципу, согласно к-рому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы такие движения описываются линейными (в частности, дифференц.) ур-ниями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь или притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени (о переменных параметрах будет сказано ниже), то любое собств. К. может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определ. собств. частотами. В колебат. системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из JY связанных осцилляторов напр., цепочка из колебат, электрич. контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных К. (мод) равно 7V. В системах с распреде лёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких К. существует бескопечное множество. Напр,, для струны с закреплёнными концами длиной L моды отличаются числом полуволн , к-рые можно уложить на всей длине струны L — nX 2 (д=0, 1, 2,. . ., оо). Если скорость распространения волн вдоль струны равна v, то спектр собств. частот определится ф-лой [c.401]

Рассмотрим плоские поперечные колебания однородной струны. Будем считать ее абсолютно гибкой. Пусть в начальный момент времени струна была натянута с силойЖи ее положение совпадало с осью X. При отклонении струны от положения равновесия ее бесконечно малый элемент dx растягивается и переходит в элемент dl. [c.27]

Предположим, что точка а струны, имеющая координату Za=IO M, совершает гармоническое колебание с частотой 10 гц и амплитудой 1 см. Фаза колебаний такова, что в момент времени i= О точка проходит положение равновесия со скоростью, направленной вверх (положительное смеш,ение отсчитывается вверх). [c.245]

Эти уравнения показывают, что проекция точки пересечения прямых на ось лг-ов движется равномерно взад и вперед между х = 0 к х = 1 и что сама точка пересечения находится на одной из двух параболических дуг, для которых положение равновесия струны служит общей хордой. Движение струны, как таковое, определяется движением точки пересечения двух ее прямолинейных частей и не связано как-либо особо с Xq (точкой наблюдения). Отсюда следует, что согласно этим уравнениям такого же рода движение можно наблюдать и в любой другой точке струны. И это приблизительно верно. Однако следует помнить, что теоретический результат был получен только в предположении, что налицо имеются в некоторых пропорциях составляющие колебания с узлами в atq, хотя в действительности законы механики требуют, чтобы они отсутствовали. Вопрос о том, имеются эти компоненты или нет, совершенно несуществен в том случае, когда точкой наблюдения является узел, в других же случаях это не так. При отходе от узла кривая колебания обнаруживает рябь, возникающую благодаря отсутствию данных компонент. Некоторые дальнейшие подробности относительно этого можно найти у Гельмгольца и Донкина. [c.234]

После того как по струпе рояля ударит один из молоточков, струпа продолл ает сама по себе совершать колебания — свободные колебания. Такие колебания возможны благодаря тому, что струна обладает двумя свойствами. Во-первых, опа имеет массу, и поэто.му при своем дпи кепии может накапливать кинетическую энергию. Второе свойство такл е является весь.ма обычным — это способность струны накапливать потенппальпую энергию при отклонении ее от состояния равновесия. [c.36]

Из уравнения следует, что отклонение а струны от положения равновесия пропорционально ее начальному отклонению h и зависит от длины струны, места возбуждения и точки наблюдения колебаний (последнюю зависимость удобно проанализи [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...