Уравнение бесконечно малых

Если Z не бесконечно велико по сравнению с X, то второй член левой части последнего из этих уравнений бесконечно мал по сравнению с правой частью тогда указанное уравнение примет вид [c.358]

Пренебрегая в первом уравнении бесконечно малыми величинами второго порядка и деля на F , получим [c.259]

Если поверхность задана уравнением г=г х, у), то уравнения бесконечно малых изгибаний будут [c.71]

Пусть I, т), I—составляющие изгибающего поля поверхности по осям X, у, г соответственно. Из уравнения бесконечно малых изгибаний получается следующая система уравнений для функций Т], [c.82]

Пренебрегая в этом уравнении бесконечно малыми более высокого порядка малости по сравнению с йх или dM , приходим к зависимости [c.19]

Пренебрегая в этом уравнении бесконечно малыми величинами dr и dN и сокращая на О ф, получим [c.60]

Здесь dX — произвольный бесконечно малый вектор, а X + dX — точка, получаемая суммированием X и вектора dX. в смысле, определенном в разд. 1-2. Можно показать, что вектор V/, определяемый уравнением (1-4.1), является единственным, т. е. не зависящим от dX. Очевидно, так как вектор V/ определен во всех точках, где определено поле / (X), он сам представляет собой поле, а именно векторное поле. [c.30]

Периодические течения представляют практический интерес в рео-метрии в предельном случае бесконечно малых деформаций, например когда может быть применимо уравнение (4-3.24). Действительно, в периодическом течении полная деформация, переводящая конфигурацию материала в некоторый момент времени [c.172]

Кривые линии общего вида имеют графики указанных зависимостей криволинейными. Рассмотрим криволинейные графики уравнений n Jls) и F(s) пространственной кривой линии произвольного вида как предельные, состоящие из бесконечно большого числа бесконечно малых их хорд, а соответствующий им криволинейный график уравнения Ь=ф(з) как предельный, состоящий из бесконечно большого числа бесконечно малых ступеней. [c.352]

Так как условия устанавливают чаще в отношении давления, чем в отношении температуры, то необходима функциональная зависимость для изменения температур от изменения давления. Уравнение (1-73) для обратимого бесконечно малого изменения примет вид [c.54]

В начальный момент тело А имеет внутреннюю энергию температуру и величина W для него будет Wa тело В имеет внутреннюю энергию Eg, температуру Гд и величина W для него будет Wq. Для бесконечно малого количества теплоты, переданного от тела А к телу В, изменение внутренней энергии тела А может быть вычислено согласно уравнению (6-1) [c.190]

Сравнительно недавно запись исходных -уравнений дисперсных потоков в дифференциальной форме проводилась по аналогии с однородной средой, молчаливо полагая, что свойства двухкомпонентной среды уже осред-нены IB пределах бесконечно малого объема. Более обоснованы уравнения, представляемые в исходной интегральной форме. [c.30]

При использовании метода исходных интегральных уравнений основная трудность заключается в операциях осреднений и в переходе к бесконечно малому объему двухкомпонентного потока. Поэтому остановимся на этих вопросах несколько подробнее. [c.30]

Связывая оси координат с неподвижным башмаком и располагая начало координат на уровне нижней движущейся плоскости, выделим в зазоре бесконечно малый элемент жидкости и составим уравнение его движения. Пренебрегая силами инерции по сравнению с силами давления и трения, получаем [c.199]

Предположим, что по каналу переменного сечения перемещается газ (рис. 13-1). Выделим сечениями / — / и II — II элементарную массу газа. В сечение I — / действует сила pf, а в сечении II — II — сила (р + dp) (/ + df), действующая противоположно силе в сечении I — I. Обе силы в сечениях / — / и // — II совершают работу алгебраическая сумма этих работ будет работой, затраченной на проталкивание элементарной массы газа. Элементарную работу проталкивания газа на бесконечно малом пути между сечениями I — / и // — II за I сек находим из уравнения [c.198]

Будем решать одномерную задачу распространения теплоты в пористой стенке (см. рис. 6.1) при допущениях о бесконечно малой толщине зоны испарения К - L -> О (поверхность испарения с координатой L) и о локальном тепловом равновесии T = t между матрицей и охладителем. Распределение температуры на паровом участке течения охладителя (i < Z < б) описывается уравнением [c.157]

Для бесконечно малого изменения состояния 1 кг любого газа уравнение (50) примет следующий вид [c.53]

Предположим, что мгновенный точечный источник теплоты мощностью q действовал в течение бесконечно малого отрезка времени dt и с тех пор прошло время /. Тогда приращение температуры точек тела на основании уравнения (6.2) [c.163]

Для составления уравнений, описывающих процесс распространения теплоты от движущихся непрерывно действующих источников, используют принцип наложения. С этой целью весь период действия источника теплоты разбивают на бесконечно малые отрезки времени dt. Действие источника теплоты в течение бесконечно малого отрезка времени dt представляют как действие мгновенного источника теплоты. Суммируя процессы распространения теплоты от действующих друг за другом в разных местах тела мгновенных источников теплоты, получают уравнение температурного поля при непрерывном действии движущегося источника теплоты. [c.167]

В общем виде для бесконечно малых изменений состояния системы уравнение первого закона термодинамики можно представить в следующей форме [c.253]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

Так как смещения атомов Хп бесконечно малы, то разложением в ряд Тейлора по Хп выражения для потенциальной энергии взаимодействия и (хп) может быть определена сила, действующая на п-й атом, и, написав уравнение для системы сил, соответственно получим закон движения цепочки, который описывается системой дифференциальных уравнений [c.49]

Если масса материальной точки изменяется в результате непрерывного присоединения или отделения частиц бесконечно малой массы, то уравнение движения этой точки имеет вид (уравнение И. В. Мещерского) [c.576]

Полный дифференциал любой функции состояния согласно выводам 2 должен содержать хотя бы один частный дифференциал внутренней переменной, например температуры. Выражение (5.7) не удовлетворяет этому требованию, следовательно, оно не является полным. дифференциалом (нарушено условие (4.8)), что означает зависимость работы в термодинамике от способа изменения переменных в процессе ее совершения, т. е. работа — функция процесса, а не состояния. Это же следует и непосредственно из определения (5.2). Действительно, термическое уравнение состояния, например (2.1), указывает на зависимость X,- не только от у/, но и от Т. Поэтому при разных температурах под интегралом в (5.2) стоят по существу разные функции Х(у), т. е. работа W — функционал. (Этим. объясняется знак вариации б, используемый часто для обозначения бесконечно малых и Q.) [c.44]

В отличие от элементарное количество теплоты dQ можно выразить в виде линейной формы (4.8), в которой представлены дифференциалы всех независимых переменных. Для этого в уравнении (5.1), записанном для бесконечно малых величин [c.45]

Эти линейные уравнения с постоянными коэффициентами и без вторых частей представляют собой шесть уравнений бесконечно малых колебаний маятника, о которых было сказано выше. В этом случае также имеется один первый интеграл, известный а priori. В самом деле, имеем рз y2 1, [c.151]

Заменим в этом уравнении бесконечно малые величины конечными лриращеннями [c.140]

Исследовалие поведения tuq (х) связано с пзучеппем системы уравнений бесконечно малых изгибаний поверхностей, порождаемой тензором е [c.148]

Кроме того, тот факт, что уравнения мембранной теории тесно связаны с уравнениями бесконечно малых изгибаяий поверхно- [c.12]

К обоснованию правила (29,6) можно подойти также с другой точки зрения, путем введения в кинетическое уравнение бесконечно малого интеграла столкновений, представленного в виде St / = — v6/. Добавление такого члена в правую сторону уравнения (29,1) эквивалентно замене со—>- o + iv в члене dbfldt= = — соб/ устремляя затем v —> О, получим снова правило (29,6) ). [c.154]

На рис. 7.7 и 7.8 приведены результаты решения уравнений (7.42) — (7.44) для различных значений R1IR2, RID и Разрыв значений эффективных коэффициентов излучения на стыках цилиндрической стенки с основанием возникает из-за различия углов, под которыми стенка и основание видны из апертуры. Это становится совершенно ясным, если обратиться к вычислению Еа(х) и Еа(г) методом отражений. Величина разрыва уменьшается по мере того, как эффективные коэффициенты излучения цилиндрической и плоской стенок приближаются к единице, так что в пределе бесконечно малой апертуры разрыв, как и следовало ожидать, стремится к нулю. [c.333]

Для решения выделим в слое жидкости бесконечно малый элемент с гранями Фд и с1у (рис. VIII—2). Ширину грани, перпендикулярную плоскости чертежа, примем равной В. Рассмотрим приложенные к этому элементу силы и составим уравнение его движения. К элементу в направлении оси х приложены только касательные [c.187]

Чтобы найти закон распределения скоростей по сечению зазора, выделим бесконечно малый кольцевой элемент, расс.мотрим действующие на него силы и составим уравнение его движения [c.194]

Применяя для кольцевого элемента бесконечно малой радиальной длины dr выведенное ранее уравнение течения между параллельными пластинками, учитывая осевую симметрию течения и пренебрегая спламн инерции по сравнению с силами давления и трения, можем написать [c.201]

Как уже указывалось, теплота q не является функцией состояния и dq не будет полным диффер енциалом dq представляет собой только некоторую бесконечно малую величину. Для того чтобы проинтегрировать правую часть уравнения первого закона термодинамики dq = du + pdv, необходимо знать характер процесса, который совершается с газом, т. е. должна быть известна зависимость р от v. В математике доказывается, что дифференциальный двучлен всегда можно превратить в полный дифференциал путем, деления (или умножения) на интегрирующий делитель. Таким интегрирующим делителем для элементарного количества теплоты dq является абсолютная температура Т° К. [c.81]

Выше указывалось, что дифференциалы dU, dl, dF и ofZ, взятые с обратным знаком, представляют собой максимальную полезную внешнюю работу, которая может быть совершена системой в определенных заданных условиях при бесконечно малом процессе. Тогда из уравнения (9-48) следует, что химический потенциал будет численно равен максимальной полезной работе, отдаваемой в этих условиях системой во вне при обратимом уменьшении массы системы на едиЕшцу. Применительно к химическим реакциям химический потенциал представляет собой максимальную полезную работу, которая может быть совершена реагирующим телом над внешним объектом при уменьшении массы тела на единицу массы. [c.151]

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими даннь7Й процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача тепла теплопроводностью, при установлении зависимости между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче тепла теплопроводностью, устанавливается в этом случае так называемым дифференциальным уравнением теп- лопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величии, характеризующих процесс. [c.352]

Если левый конец балки защемлен (рис. 420, а), то защемлеппе можно заменить дополнительным пролетом бесконечно большой жесткости или бесконечно малой длины (рис. 420, б). Уравнения трех моментов для 1-й и 2-й опор следующие [c.417]

Для получения соотнощений между функциями в точке фокусировки характеристик к достаточно рассмотреть плоское течение. Это объясняется тем, что и в осесиметричном течении бесконечно малая окрестность точки, находящейся вне оси симметрии, подчиняется уравнениям плоских течений. [c.54]

Подставим в это уравнение наиболее общие возможные иереме-meunii точек системы (V , вызванные одновременными бесконечно малыми приращениями всех обобщенных координат системы. Эти пе[)емещения равны геометрической сумме возможных перемещений, вызванных приращениями отдельных обобщенных координат, т, е. [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...