Метод разреженных матриц

Методы разреженных матриц. Если выполнять вычисления, пользуясь (5.4), для всех элементов матрицы коэффициентов, то экономичность метода Гаусса характеризуется кубической зависимостью затрат машинного времени Т от порядка системы уравнений п. Это приводит к ограничению области целесообразного применения метода Гаусса значениями п в несколько десятков. Однако во многих практических задачах п имеет порядок сотен или тысяч. Применение метода Гаусса к таким задачам оказывается эффективным, если учитывать свойство разреженности матрицы коэффициентов в системе решаемых уравнений (5.3). [c.230]

Матрица жесткости также оказывается сильно разреженной, поэтому для решения (3.41) применяют методы разреженных матриц. [c.118]

Примечание. Одним из широко известных методов разреженных матриц является метод прогонки, используемый в случае трехдиагональных матриц коэффициентов в системе алгебраических уравнений. [c.118]

Что такое вторичные ненулевые элементы в методах разреженных матриц [c.152]

В чем заключается различие способов интерпретации и компиляции при реализации метода разреженных матриц [c.152]

Следовательно, в методе разреженных матриц при неявном интегрировании получаем аналогично (4.17) оценку [c.101]

По затратам машинной памяти неявные методы уступают явным, так как здесь нужно хранить дополнительные массивы ненулевых элементов матрицы Якоби и массивы, содержащие информацию о распределении этих элементов по строкам и столбцам. Для этих массивов нужен дополнительный объем, составляющий, по крайней мере, (2<7 + 1)(р—1) 6а. Учитывая также большую сложность программной реализации алгоритмов метода разреженных матриц, следует заключить, что для машин с малым объемом оперативной памяти (до 8-10 ячеек) более предпочтительны явные методы. При больших объемах памяти неявные методы более предпочтительны, если отношение отрезка интегрирования 7 кон (или периода колебаний Т при 7 кон>7 ) к минимальной постоянной времени анализируемой схемы превышает 0,5-104. [c.102]

Подматрицы Ян отражают свойства отдельных подсхем, Ян, Ян — связи между подсхемами, Яи — изменение граничных переменных. Здесь 1=1, 2,...,/—1 (I—1)—число подсхем. Можно показать, что применение метода Гаусса для решения систем ЛАУ с матрицей коэффициентов блочно-диагонального вида с окаймлением приводит к выполнению арифметических операций только с ненулевыми подматрицами, поэтому метод подсхем можно рассматривать как разновидность методов разреженных матриц. Существенное отличие метода подсхем — возможность организации автономных вычислений для каждой отдельной подсхемы в процессе выполнения прямого и обратного хода в методе Гаусса, что позволяет хранить в оперативной памяти только подматрицы Яге, Ян, Ян и Яи, а не всю матрицу Якоби. Алгоритмы формирования ММС зависят от выбранного координатного базиса V и конструируются на основании простых логических правил, разработанных для схем, содержащих многополюсные элементы (фактически происходит переход от подсхемы к многополюснику). Основной особенностью этих алгоритмов является автономное формирование уравнений моделей подсхем. [c.148]

Следует различать исходную и итоговую разреженность матрицы. Исходная разреженность определяется числом ненулевых элементов, имеющихся в матрице до начала выполнения исключений неизвестных по методу Гаусса, Такие нулевые элементы называют первичными. Однако в процессе вычислений по (5.4) некоторые коэффициенты Uij, бывшие нулевыми, могут стать ненулевыми. Такие коэффициенты называют вторичными ненулевыми элементами. Итоговая разреженность определяется суммарным числом первичных и вторичных ненулевых элементов, и эффективность учета разреженности матрицы тем выше, чем больше итоговая разреженность. [c.230]

Алгоритмы метода прогонки в отличие от более общих алгоритмов учета разреженности матриц с нерегулярной структурой характеризуются большей простотой программной реализации. [c.232]

Можно ли применять метод прогонки к решению системы уравнений (4.52) Одинаковы или нет исходная и итоговая разреженности матрицы Якоби в этой системе [c.260]

Примечание. Основные особенности этого шага — большая ра )мерность и сильная разреженность матрицы коэффициентов системы. В связи с этим для реализации МКЭ в САПР разработаны специальные способы хранения матрицы жесткости, позволяющие уменьшить необходимый для этого объем ОП. Для нахождения узловых значений функций применяются методы преобразования и решения системы, направленные на снижение затрат машинного времени. [c.39]

Представление компонентных уравнений в форме (3.6) удобно для формирования матрицы Якоби. Матрица Якоби, получаемая при использовании табличного метода, сильно разреженная. Чем меньше число ненулевых элементов в матрице, тем выше экономичность модели, поэтому следует стремиться получить максимальную разреженность матрицы. [c.124]

Метод сеток позволяет свести решение систем уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений, как правило линейных, с достаточно разреженными матрицами. При этом построение решения в методе сеток осуществляют в три этапа. [c.74]

Для реализации методов строительной механики, учитывая специфический способ хранения матриц, необходимо реализовать следующие процедуры ввод матрицы в список удаление матрицы из списка транспонирование матрицы умножение двух матриц решение системы линейных алгебраических уравнений с разреженной матрицей. [c.47]

Теоретически точное решение получается за п или менее шагов, в зависимости от способа выбора и начального приближения. Практически (за счет ошибок округления) иногда требуется и больше, чем п шагов, поэтому вопрос об окончании процесса является не тривиальным. Для сокраш,ения числа итераций, необходимых для получения точного решения, может быть применено масштабирование, т. е. элементы столбцов и строк матрицы и соответственно правая часть преобразуются так, чтобы они были величинами одного порядка. Метод сопряженных градиентов с разреженной матрицей реализуется процедурой MSG. Обращение [c.50]

Предложенные в данной работе итерационные методы позволяют хранить полностью заполненные матрицы жесткости каждого конечного элемента. Следовательно, применение известных методов и приемов работы с разреженными матрицами в данном случае нецелесообразно. Эти методы в отличие от многих других позволяют легко реализовать практически все необходимые варианты граничных условий. [c.43]

Преимущество этих методов состоит в простоте алгоритма, недостаток — в увеличении числа арифметических операций по крайней мере в 2 раза по сравнению с методами, при которых используются разреженные матрицы. Однако при работе с разреженными матрицами появляются дополнительные операции, связанные с организацией процесса обработки ненулевых элементов матрицы системы, а также усложняется структура программы. [c.43]

В рассматриваемом варианте МГЭ матрица коэффициентов А будет являться весьма разреженной матрицей общего вида. Решение системы уравнений с такой матрицей может быть осуществлено с помощью метода исключения Гаусса. Одной из особенностей матрицы является наличие [c.33]

Более подробную информацию об этих и других прямых методах можно найти в [8, 16,27, 28, 53, 75]. Доступное изложение прямых методов решения очень больших линейных систем с разреженными матрицами содержится в [29], см. также [20, 48, 80]. [c.128]

Одно из важнейших достоинств итерационных методов — возможность эффективного использования разреженности матрицы системы. Так, в общем случае для вычислений по формуле (5.10) требуется примерно 2т п(г) арифметических операций, где п(г)— число итераций, необходимых для достижения точности . Однако для разреженной матрицы с М(М т) ненулевыми элементами требуется лишь примерно 2Мп(е) операций. [c.128]

Важными достоинствами степенного метода являются его простота, возможность использования разреженности матрицы и отсутствие необходимости преобразования матрицы у4. Если матрица симметрична, то верна простая апостериорная оценка погрешности [c.131]

Преимущество прямых методов в том, что число арифметических операций, необходимых для получения решения, всегда конечно и может быть оценено предварительно. К их недостаткам можно отнести (если не разрабатываются специальные алгоритмы) неполное использование свойств разреженности матрицы коэффициентов. [c.26]

Преимущество итерационных методов — возможность использования свойств разреженности матриц (алгоритм этих методов не порождает новых ненулевых элементов, и структура матриц сохраняется). Кроме того, в отдельных случаях применения итерационных методов можно опустить операцию формирования глобальной матрицы жесткости системы. Недостатки итерационных методов медленная сходимость решения для плохо обусловленных матриц (например, при существенно разных характери- [c.26]

СИММЕТРИЧНЫМИ РАЗРЕЖЕННЫМИ МАТРИЦАМИ МЕТОДОМ / [c.409]

Модуль ОРТ обеспечивает минимизацию числа новых ненулевых элементов при решении системы линешп.к алгебраических уравнений в методе разреженных матриц, используемом з ПАРМ. [c.163]

Таким образом, методы разреженных матриц должны включать в себя способы оптимального упорядочения строк и столбцов матриц. Используют несколько критериев оптимальности упорядочения. Простейшим из них является критерий расположения строк в порядке увеличения числа первичных нену-лей, более сложные критерии учитывают не только первичные ненули, но и появляющиеся вторичные ненули. [c.107]

Методом разреженных матриц называют метод решения СЛАУ на основе метода Гаусса с учетом разреженности (первичной и вторичной) матрицы коэффициентов. [c.107]

Метод разреженных матриц можно реализовать путем интерпретации и компиляции. В обоих случаях создаются массивы ненулевых коэффициентов матрицы (с учетом вторичных ненулей) и массивы координат этих ненулевых элементов. [c.108]

Решатель — программа, которая ассемблирует (собирает) модели отдельных конечных элементов в общую систему алгебраических уравнений (3.41) и решает эту систему одним из методов разреженных матриц. [c.218]

Алгоритм вычисления матрицы Якоби в методе узловых потенциалов. Вычисление матрицы Якоби как матричного произведения AYA без учета разреженности матриц А и Y нерационально, так как приводит к излишне большим затратам машинных времени и памяти. Например, в схеме средней сложности, включающей р = 51 и а = 80, матрица А имеет размер 50X80, а матрица Y—размер 80 x 80, т. е. только эти две матрицы для хранения всех их элементов требуют около 10 000 ячеек памяти. В то же время статистические исследования показывают, что ненулевыми в этих матрицах оказываются лишь около 240 элементов. Поэтому на практике используют алгоритмы формирования матрицы Якоби, учитывающие сильную разреженность матриц А и Y. [c.178]

Разреженной называют ту матрицу, в которой преобладают элементы, равные нулю. Разреженность S оценивается отношением числа нулевых элементов к общему числу элементов матрицы. Анализ показывает, что в математических моделях большинства поректируемых объектов число ненулевых элементов пропорционально первой степени п. Поэтому если учитывать разреженность матрицы, то Тм можно сделать линейной функцией п и суш,ественно расширить пределы эффективного применения метода Гаусса. Учет разреженности при этом заключается в том, что арифметические действия по (5.4) не производят, если выполняется хотя бы одно из условий aik=0 или а = 0. [c.230]

Метод прогонки. Примерами сильно разреженных матриц являются матрицы Якоби в системах конечных уравнений, получаемых по методам конечных разностей или конечных элементов из дифференциальных уравнений в частных производных. Если алгебраизация дифференциального уравнения производится на основе регулярной сетки, то разреженная матрица Якоби оказывается ленточной, т. е. матрицей, у которой ненулевые элементы располагаются только на k главных диагоналях. Специфические особенности структуры ленточных матриц можно использовать для упрощения алгоритмов учета разреженности. [c.231]

Для метода Гаусса Я=1, и если не учитывать разреженность матрицы коэффициентов А, то 7 2(rtV3 + 2n). Неучет разреженности ограничивает целесообразность применения метода Гаусса решением задач только невысокой размерности. При п>50 учет разреженности становится необходимым. Для метода Гаусса при учете разреженности и оптимальном упорядочении строк и столбцов матрицы А в задачах проектирования технических объектов имеем [c.233]

Для решения систем ЛАУ итерационными методами с учетом разреженности матрицы коэффициентов имеем Я>1, а y—2Qn, где Q = 1—S—насыщенность матрицы. Так как Q = Kln, где К — среднее арифметическое для числа ненулевых элементов в одной строке матрицы А то у= 2К. Так, для моделей переключательных электрон ных схем получаем по результатам статистических иссле дований у ж 7,8, т. е. одна итерация выполняется быстрее чем по методу Гаусса. Однако из-за того, что И 1, ите рационные методы по показателю Г практически всегда проигрывают методу Гаусса. [c.233]

Для решения этой системы, как правило, используется интерационный метод Ньютона—Рафсона, основанньг на сочетании неявных методов интегрирования с методами обработки разреженных матриц. Это позволило разработать простые и эффективные алгоритмы форми ювания математических моделей электронных схем ни основании метода узловых потенциалов. [c.162]

К достоинствам рассмотренных итерационных методов следует отнести простоту их программной реализации и отсутствие принципиальной необходимости хранения в памяти ЭВМ всех коэффициентов матрицы. Действительно, при вычислении очередного приближения ц / согласно (1.22) нужны только отличные от нуля коэффициенты i-й строки А , bi, которые в принципе могут каждый раз вычисляться заново по исходным данным решаемой задачи. Это обстоятельство обусловливает широкое применение итерационных методов для систем с сильно разреженными матрицами большой размерности, в которых большинство элементов нулевые. Причем это делается как для матриц неленточной структуры, у которых ненулевые коэффициенты разбросаны по всему полю, так и для некоторых ленточных [c.14]

Такая организация пакета позволяет оптимально его спроектировать и реализовать. Основное внимание уделено разработке первой базовой части программного обеспечения. Пакет составлен на языке PL/1 в системе ДОС/ЕС. Так как матрицы [А], [5] и другие имеют очень много нулей (являются разреженными), то важным является вопрос об их хранении. Если их хранить в виде массивов, то существенно снизятся количественные возможности и возрастет время счета. Поэтому в пакете матрицы хранятся как разреженные, но при этом не удается воспользоваться стандартными программами, реализующими операции над матрицами, В пакете имеется набор операций над разреженными матрицами. Для решения системы алгебраических уравнений принят итерационный метод, который удобен при решении с матрицей разреженной структуры. В матрицах, используемых для решения задач строительной механики, число ненулевых элементов невелико, nosTOMy удобно хранить в памяти только ненулевые элементы вместе с необходимой информацией об их расположении, т. е. [c.45]

Матрица А имеет клеточную (блочную) структуру, которая затем нарушается после операции Л =Ло+С и перестановки строк. Использование метода Гаусса без выбора ведушцх элементов не приводит к накоплению опшбок при операциях исключениях. Связано это с большой разреженностью матрицы Л, в результате чего в каждой строке число ненулевых элементов невелико и, следовательно, мало число операций исключения. [c.387]

Матрица А этого уравнения обладает многими замечательными свойствами. Она является весьма разреженной матрицей общего вида, ее система фундаментальных ортонормированных функций обеспечивает хорошую устойчивость численного процесса решения краевой задачи, в определителе отсутствуют точки разрыва 2-го рода, формируется без привлечения матричных операций. Эти преимущества позволяют эффективно определять спектр собственных значений — корни уравнения (7.62). Точность спектра зависит, естественно, от точности исходной модели, где, напомним, используется только один член ряда (7.2). Уравнение (7.62) позволяет определять критические силы как статическим (при со=0), так и дцнамическим методами. При определении собственных значений пластин нужно учитывать, что из уравнения (7.62) можно получить спектры частот и критических сил при фиксированном числе полуволн в направлении оси ОХ (например, для коэффициентов А, В, С таблицы 7.1 одна полуволна в направлении оси ОХ и множество полуволн в направлении оси ОУ). Вычисляя коэффициенты А, В, С при второй частоте колебаний балки, из уравнения (7.62) можно получить спектры пластины для двух полуволн в поперечном и множества полуволн в продольном направлениях и т.д. Точность решения задач устойчивости и дцнамики прямоугольных пластин по МГЭ определим из примеров. [c.436]

Решение системы линейных алгебраических уравнений — более простая (и привычная) математическая задача, чем задача минимизации квадратичной формы (8.16), Матрица А — положительно определенная симметричная матрица, в общем случае она является плотной (не разреженной) матрицей, и поэтому для решения системы нормальных уравнений линейного МНК (8.17) следует применять соответствующие методы решения систем линейных алгебраических уравнений ([21, 25]), например метод Холецкого, называемый также методом квадратного корня. [c.471]

RSLEFP инвариантная для решения систем линейпых алгебраических уравнений с положительно определенными симметрично разреженными матрицами методом LDL -факторнзацин с упорядочением по алгоритму минимальной степени — Текст 409—412 [c.518]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...