Непрерывные группы линейных преобразований

Привлечение аппарата теории представлений непрерывных групп Ли преобразований там, где это возможно, существенно упрощает алгоритм асимптотической декомпозиции, сводя его к простейшим задачам линейной алгебры. [c.11]

Представлением алгебры Ли в линейном пространстве будем называть гомоморфное отображение F- t F) алгебры в множество линейных операторов в . При этом очевидно, что благодаря свойству гомоморфизма, [f, f ]- [/(f), t F )], тождество Якоби (1.6) удовлетворяется для i F) автоматически. Аналогичным образом определим представление (непрерывной) группы Ли G, g- T(g), geG, в линейном пространстве как непрерывную функцию T g) на G со значениями в группе невырожденных непрерывных линейных преобразований являющуюся решением функционального уравнения [c.55]

Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между классами сопряженности подгрупп Г[(М) и классами накрытий по модулю гомеоморфизмов, коммутирующих с накрывающими преобразованиями. В частности, универсальное накрывающее пространство единственно. Это взаимно однозначное соответствие может быть описано следующим образом. Предположим, что (М, ir) — накрытие М и х. ir y). Так как многообразие М линейно связно, существуют такие кривые с [0,1]— М, что с( ) = х для = 1,2. Под действием тг они проектируются в замкнутые кривые на М. Любое непрерывное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп. Любое непрерывное отображение обладает поднятием, так что гомотопия цикла тг о с, сохраняющее точку jf, может быть поднята до гомотопии кривой с, и, так как по предположению множество у) дискретно, эта гомотопия сохраняет концы. В частности, гомотопные кривые проектируются в гомотопные кривые, и если положить X, = Х2, то фундаментальная группа пространства М вкладывается в фундаментальную группу М как подгруппа. Это подгруппа, соответствующая накрытию. Кроме того, эта подгруппа является собственной, если проекция тг не является гомеоморфизмом, т. е. накрытие нетривиально. Таким образом, у односвязного пространства нет нетривиальных собственных накрытий. Можно также показать, что любые два накрытия М, и многообразия М обладают общим накрытием М", так что универсальное накрывающее определено однозначно. Любое топологическое многообразие обладает универсальным накрывающим. [c.696]

Функции (р11, определяющие закон умножения в группе, предполагаются диф ренцируемыми по всем своим аргументам. Кроме того, на них должны быть наложены определенные ограничения, обусловленные общими групповыми постулатами. Рассматриваемые нами группы линейных преобразований, удовлетворяющие перечисленным требованиям, принадлежат к классу непрерывных групп Ли. Если параметры а, изменяются в некоторой ограниченной области г-мерного пространства, то группу называют компактной. [c.118]

Сложение деформаций. Если тело, испытавшее однородную деформацию, подвергнуть еще одной такой деформации, то результирующая деформация также будет однородной. Если вообще совокупность точек подвергается двум последовательным линейным однородным преобразованиям, то результирующие перемещения могут быть получены при помощи одного линейного однородного преобразования. Это обстоятельство может быть выражено утверждением, что линейиые однородные преобразования образуют группу. Частные лннейные однородные преобразования, с которыми мы имеем дело, удовлетворяют условиям, указанным в 31, и образуют непрерывную группу. Преобразования поворота, описанные в 35, также образуют группу, эта группа есть подгруппа, принадпежащая группе линейных однородных преобразований. Группа линейных однородных преобразований заключает в себе также все однородные дгформацнн з) но эти деформации сами не образуют группы, так как две последовательные однородные деформации могут быть эквивалентны повороту. [c.83]

Примером неабелевой группы может служить совокупность всех неособых матриц п-го порядка (или соответствуюидах им линейных преобразований в п-мерном пространстве), которые образуют так называемую общую линейную группу СЬ(п). Очевидно, что элементы этой труппы зависят от непрерывно изменяющихся параметров (элементов матриц). Бесконечные группы, элементы которых зависят от непрерывно изменяющихся параметров, называются непрерывными группами. Единичным элементом в группе СЬ п) является единичная матрица обратным элементам соответствуют обратные матрицы. Операция группового умножения совпадает с правилом умножения матриц, которое, как известно, свойством коммутативности не обладает. [c.11]

С помощью дифференц. выражений формулируют и дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования, единственности, зависимости от нач. данных для решений дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке свойств д. о. как вопросы об области определения, ядре, непрерывности обратного оператора. Нанр., теоремы существования решений доказывают с номон(ью метода сжатых отображений — классич. метода теории операторов. Существенную информацию дают исследование спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложение по ого собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о. Наиб, развита теория линейных Д. о., к-рые вооби ,е являются важнейшим примером неограниченных операторов (см. Линейный оператор). Б дифференц. геометрии и физ. приложениях особую роль играет класс Д. о., не меняющихся или меняющихся спец. образом при действии на дифференц, выражение преобразований из пек-рой группы (см., напр., Ковариаптпая производная, Лапласа оператор). Д. о. служат для описания структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщённую функцию медленного роста можно представить как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию степенного роста. [c.684]

Основные определения. П. г. G в пространстве V ваз. отображение D(G, Р) этой группы в набор преобразований V. Каждому заеиенту g е, G ставится в соответст-вва оператор Tfg), действующий в пространстве V, причем Tfgigt) = T(gi)T(gt) для любых gl и gl из б Г(е) = /, где е — единичный элемент группы G, а / — ёдкяичяый оператор в У. П. г. ваз. линейным, если V — линейное пространство, а Tfg) — линейный оператор. В дальнейшем речь будет идти только о линейных П. г. Если G — топологич. группа, то обычно требуют, чтобы Tfg) непрерывно зависел от g, такие П. г. наз. непрерывными. [c.101]

Для непрерывных грунп особое значение имеют бесконечно малые преобразования, близкие к тождественному отображению. Эти преобразования образуют линейное многообразие—векторное пространство с числом измерений, равным числу независимых параметров группы (например, для группы вращений в трёхмерном пространстве—трёхмерное векторное многообразие). Действительно, из Т 0,. .., 0) = / следует [c.169]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...