Ось симметрии третьего порядка

В случае осевой симметрии, или симметрии относительно прямой л-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси симметрии) на угол 360°/ . Например, для куба (см. рис. 5.20) прямая АВ — ось симметрии третьего порядка, СО — ось симметрии четвертого порядка. Вообще правильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. [c.70]

Рассмотрим, наконец, равнонаклоненную к координатным осям ось симметрии третьего порядка (/3). Нетрудно видеть, что поворот вокруг этой оси па угол 2я/3 = = 120° переводит первую координатную ось во вторую, вторую — в третью и третью — в первую. При этом неизменность модулей упругости имеет место при [c.34]

На рис. 7, а изображен кристалл турмалина, принадлежащий к группе симметрии Ът ромбоэдрической системы (ось симметрии третьего порядка и три плоскости, проходящие через ось). Направление, совпадающее с осью [c.20]

Одна ось симметрии третьего порядка J. [c.23]

Одна ось симметрии третьего порядка Сд, три вертикальные плоскости симметрии [c.23]

Одна ось симметрии шестого порядка Се. одна ось симметрии третьего порядка Сз. одна ось симметрии второго порядка Со, (обе совпадающие с осью Се), шесть вертикальных плоскостей симметрии ст . [c.23]

Одна ось симметрии третьего порядка Са, одна горизонтальная плоскость симметрии одна зеркально поворотная ось третьего порядка 5 (совпадающая с осью Су). [c.23]

Как указывалось выше, в молекулах, имеющих ось симметрии, эта ось совпадает с одной из главных осей инерции. Если молекула имеет ось симметрии третьего порядка (например, имеется молекула, подобная СН. С ), то [c.34]

В качестве второго примера рассмотрим нормальные колебания молекулы типа Хз, образующей равносторонний треугольник (ось симметрии третьего порядка), изображенные на фиг. 32, а. На фиг. 32,6 и в показаны результаты поворота молекулы по часовой стрелке на угол 120 и 240° (или—120°). Мы видим, что колебание Vj остается при этих поворотах без изменения, т. е. оно симметрично относительно оси симметрии третьего порядка, два же колебания и вырожденные между собой (см. ниже), не являются ни симметричными, ни антисимметричными, а превращаются в другие колебания, имеющие, однако, как это очевидно, ту же частоту. Единственное отличие этих колебаний состоит в том, что, например, атом N , находящийся на вершине треугольника, после поворота вместо движения вверх и вниз (колебание v ), движется под углом 120° [c.98]

Для молекулы, имеющей ось симметрии третьего порядка С , введенное выше число I может принимать значения 1 и 2. Однако, так как 2= р — 1=3 — 1, то имеется только один тип вырожденных колебаний, а именно тот, при котором векторы смещения, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, поворачиваются на угол 120° при повороте молекулы на 120°. Мы уже видели (фиг. 32 и 33, б), что это действительно выполняется для пары вырожденных колебаний и Vjj, молекулы типа Xj при а = 120° (положительный знак соответствует вращению против часовой стрелки). Обратно, если нам была неизвестна форма вырожденного нормального колебания, мы могли бы ее определить, исходя из сформулированного выше условия, что при повороте [c.102]

Это имеет место независимо от симметрии молекулы, однако какие-либо следствия отсюда можно делать лишь для молекул, имеющих ось симметрии третьего порядка (дальнейшее см. ниже). Аналогичные утверждения, разумеется, справедливы для вращений на угол 2т 1р при любом р, если К является кратным р. [c.435]

Полуметаллы, в частности, образуются атомами висмута и сурьмы. Они имеют по 5 электронов во внешней оболочке и образуют кристаллы с кубической решеткой, слегка вытянутой вдоль одной диагонали куба. Направление растяжения образует ось симметрии третьего порядка и приводит к большой-анизотропии. Чистый кристалл висмута — полуметалл. Он имеет в 10 раз меньше электронов, нежели медь, но его сопротивление в некоторых направлениях только в 100 раз меньше из-за очень высокой подвижности электронов и дырок. В висмуте и сплавах, богатых висмутом, подвижность электронов в определенных кристаллографических направлениях значительно больше подвижности дырок, поэтому эти сплавы относят к /г-типу. В сур ьме и сплавах, богатых сурьмой, подвижность дырок выше, поэтому эти сплавы относят к р-типу. [c.148]

Кристалл кварца (рис. 3) имеет одну ось симметрии третьего порядка (ось Z) и три перпендикулярные к ией оси симметрии второго порядка Л А , А, А, , Х2 2 ось 2 называют оптической осью, оси А А---электрическими осями. [c.19]

Главные компоненты (собственные значения) е для кристалла (б) 2, 4 и 4. Две из них равны, и, следовательно, кристалл должен иметь ось симметрии третьего, четвертого или шестого порядка (тригональная, тетрагональная или гексагональная системы). Главные оси (собственные векторы) в этом случае [110], [110] и [001] (заметим, что этот выбор осей не единственно возможный). Кристалл одноосный, и оптической осью является направление [ПО]. [c.379]

Если три плоскости симметрии пересекаются по одной линии, то эта линия называется осью симметрии третьего порядка и тело может иметь три симметричных положения если пересекаются четыре плоскости симметрии, то они образуют ось симметрии четвертого порядка и тело может иметь четыре симметричных положения и т. д. [26]. Таким образом, общая формула для па.хождения количества различимых положений тела [c.89]

Для молекул с осью симметрии третьего порядка (точечные группы Сз, Сз , Сз/,, / з, Z>3rf, Z>3 ), находящихся полностью в симметричном электрон ном и колебательном состоянии (основном состоянии), уровни с А = О, 3, 6, 9.. имеют больший статистический вес, чем уровни с —Л, 2, 4, 5, 7,8..., т. е имеется следующее чередование уровней интенсивный, слабый, слабый, ин [c.40]

Точечные группы и О. Точечная группа кубической симметрии (к которой принадлежат молекулы, подобные СН4) имеет четыре оси симметрии третьего порядка. Невырожденные колебания или собственные функции могут быть по отношению к этим осям только симметричными (см. стр. 96), но могут являться симметричными или антисимметричными по отношению к шести плоскостям симметрии проходящим через оси симметрии Сд, и, следовательно, также по отношению к трем зеркально поворотным осям четвертого порядка 4. Таким образом, мы имеем два тта симметрии (Л1 и А< ) невырожденных колебаний или собственных функций. Более строгий анализ с помощью теории групп (см. Вигнер [923]) показывает, что в данном случае имеется именно один дважды вырожденный тип симметрии Ё, как и д,1я точечной группы и два трижды вырожденных типа симметрии и Их характеры даны без дальнейшего доказательства в табл. 28. [c.137]

Ось симметрии бесконечного порядка 14 второго порядка 12 третьего порядка 12 четвертого порядка 12, 13 Ось симметричного волчка и ее прецессия [c.618]

Доказано, что существует всего 32 вида геометрической симметрии кристаллов, объединенных в семь сингоний, носящих названия 1) триклинная, 2) моноклинная, 3) ромбическая, 4) тетрагональная, 5) тригональная, 6) гексагональная и 7) кубическая. Всякий натуральный кристалл обладает одним из 32-х видов симметрии и может быть отнесен к одной из семи сингоний [33]. Что касается классов упругой симметрии, то их значительно меньше, так как одна и та же форма уравнений обобщенного закона Гука имеет место для нескольких видов геометрической симметрии. По упругим свойствам все кристаллы могут быть разбиты только на девять классов или групп. Выражения упругого потенциала (а следовательно, и уравнений обобщенного закона Гука) для этих девяти классов можно найти, например, в курсе А. Лява [24] (гл. 6, п. 109) и в ряде работ, упоминающихся ниже, а поэтому мы, не занимаясь специально упругостью кристаллов, можем их не приводить. Отметим только, что упругие постоянные кристаллических веществ — монокристаллов, минералов и горных пород, определялись экспериментальным путем многими исследователями. В первую очередь нужно назвать классические исследования Фойгта, изложенные в его курсе кристаллофизики [38]. Приводим найденные Фойгтом значения упругих постоянных кварца (горного хрусталя), образующего кристаллы тригональной сингонии (12 неравных нулю постоянных aij (ось z направлена по оси симметрии третьего порядка, ось х — по оси второго порядка) [c.56]

Приведем еще один интересный пример, иллюстрирующий отличие процессов отражения упругих волн в кристаллах от изотропного случая. Пусть свободная граница кристалла расположена параллельно акустической оси, не являющейся направлением высокой симметрии. Для ряда таких осей возможна так называемая внутренняя коническая рефракция [2, 5, 6], заключающаяся в том, что при повороте поляризации распространяющихся вдоль них сдвиговых волн вектор Умова — Пойнтинга описывает конус (аналогичное явление известно и в кристаллооптике). Рассмотрим случай, когда волновая нормаль падающей сдвиговой волны ориентирована вдоль оси симметрии третьего порядка тригонального кристалла (ось 1), являющейся акустической осью, а вектор поляризации повернут приблизительно на 45° относительно поверхности (рис. 9.6) [12]. При этом вектор групповой скорости ориентирован под углом к поверхности и волна с ней взаимодействует. Решение соответствующей граничной задачи и экспериментальное исследование показывают [121, что вектор поляризации отраженной волны того же типа, что и падающая, поворачивается на 90° относительно первоначальной ориентации. Это соответствует тому, что нормальная составляющая вектора Умова — Пойнтинга меняет знак, т. е. поток энергии отраженной волны отходит от поверхности (рис. 9.6). Сказанное нужно иметь в виду при проведении акустических экспериментов, [c.226]

Рубин представляет собой кристалл корунда AI2O3 (оптически анизотропный), имеющий ромбоэдрическую решетку с добавкой СГ2О3. Элементарная ячейка корунда содержит две молекулы AI2O3. Ось симметрии третьего порядка, совпадающая с главной диагональю единичной ячейки, является оптической осью кристалла (с-ось.) Вектор напряженности электрического поля Е обыкновенного [c.70]

Точечные группы Ор группы диэдра). Если молекула имеет ось симметрии Ср порядка р и р осей второго порядка перпендикулярных к оси Ср и образующих между собой равные углы ), то она принадлежит к точечной группе Ър. Группа /),, конечно, эквивалентна группе С . Ее не относят к группе и р. Группа часто называется группой V (от немецкого слова Vieгergruppe — четверная группа). Она имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка (и не имеет других элементов симметрии). Примером могла бы явиться молекула С Н , если бы обе группы СН были повернуты относительно друг друга на угол, отличный от 90° (фиг. 2, и). В точечной группе >з мы имеем одну ось симметрии третьего порядка и три оси второго порядка, перпендикулярные ей. Примером может служить молекула С2Н5, в которой обе группы СН3 повернуты относительно друг друга, как показано на фиг. 2, к, на угол, отличный от 60° или 120° (в противном случае молекула будет обладать более высокой симметрией, см. ниже). [c.18]

Точечные группы Если молекула имеет ось симметрии порядка р и, р осей симметрии второго порядка, перпендикулярных оси С , как в точечных группах Dp, и, кроме того, р (вертикальных) плоскостей симметрии о , делящих пополам 5 гол между двумя соседними осями второго порядка и проходящих через ось симметрии порядка р, то она принадлежит к точечной группе (й — начальная буква слова diagonal — диагональ). Точечной группы вовсе ие существует, так как при этом отсутствует угол, который делился бы пополам плоскостью симметрии. Группа обычно называется группой Vj. Эта группа имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка, как это имело место в случае группы Ve D . Кроме того, здесь имеются две плоскости симметрии, делящие пополам угол между двумя осями С,. Следствием этого является то, что третья ось С, служит одновременно зеркально поворотной осью четвертого порядка S . Примером является молекула аллена (Н С = С — СН. ), в которой плоскости обеих групп СН. взаимно перпендикулярны (фиг. 2, н). Другим примером может служить перпендикулярная (однако неустойчивая) форма молэкулы С.2Н4. Легко заметить, что эти две молекулы обладают всеми перечисленными элементами симметрии. Для точэчной группы мы имеем одну ось симметрии третьего порядка [c.19]

Одна зеркально поворотнач ось шестого порядка, в, одна ось симметрии третьего порядка С 1, совпадающая с 5е, центр симметрии /. [c.23]

Одна ось симметрии третьего порядка С п три оси второго порядка Са, ( косиСц), зеркально поворотная ось шестого порядка Л в (совпадающая с осью Са), центр симметрии I, три диагональные плоскости симметрии 9ф [c.23]

Одна ось симметрии третьего порядка Сл, три оси второго порядка С , ( I к С ), три плоскости симметрии .у, одна плоскость спмметр1и1 (тд. [c.23]

Таким образом, сумма Од-д.симметрична по отношению к повороту на уголр=360°/р вокруг оси симметрии порядка р. Аналогичным образом, применяя вместо преобразования (2,75) преобразование (2,76) можно показать, что сумма axx -другим элементам симметрии таким образом, сумма ахх -ауу полносимметрична. С другой стороны, как видно из сравнения (3,48) и (3,46), разность а д. — Оуу образует вместе с 2од.у вырожденную пару, характеризующуюся углом 2р вместо угла Р следовательно, эта пара принадлежит к типу симметрии .. В точечных группах с р = 3 (ось симметрии третьего порядка) тип симметрии E совпадает с типом симметрии Е (стр. 102). В точечных группах с р = 4 (ось симметрии четвертого порядка) тип симметрии E расщепляется на два невырожденных типа симметрии В. В самом деле, если р = 90°. то из (3,46) и (3,48) следует, что = — ху [c.277]

Метилхлорид, СН3С1. Как было показано выше, молекула СН4 имеет тетраэдрическую симметрию. Поэтому следует ожидать, что молекула СН3С1 имеет ось симметрии третьего порядка (ось С-—С1)т. е., что она принадлежит к точечной группе Сз ,. Этот [c.336]

Выберем систему координат так, чтобы ось симметрии третьего порядка (т. е. оптическая ось) была осью г, а ось симметрии второго порядка (т. е. электрическая ось) была осью х. Для правого кварца будем пользоваться правой системой координат, для левого — левой. В этой системе координат матрицы упругих и упругоопти-ческих констант будут иметь следующий вид [c.381]

Например, у пропана две —СНз группы по концам цепи. Каждая имеет ось симметрии третьего порядка. Вращение этих внутренних групп дает ощ = = (3) (3), равное числу перестановок. Итак, рассматриваемая молекула имеет единственную ось симметрии второго порядка, поэтому Oext = 2. Тогда а — = (2) (3 ) = 18. Некоторые дополнительные примеры [c.252]

Две оставшиеся компоненсы Е ч з , характеризующие влияние поперечных к плоскости 2 3 касательных напряжений на деформации в ней, зависят от угла поворота осей ф, что потребовало к свойству осевой симметрии материала добавить приставку квази . Между компонентами Е и "П, относящимися к координатным плоскостям 1 2 и 13, должен существовать взаимный переход их значении при угле поворота, меньшем чем л/2. Так как ось 1 является осью симметрии третьего порядка (упругие свойства материала при повороте вокруг нее на 120° сохраняются), угол между компонентами Е и т) равен я/6. Дейст вительно, преобразованием компонент тензора податливости нетрудно убедиться, что [c.193]

Точечные группы. В общем случае молекула обладает несколькими из перечисленных выше элементов симметрии (см. примеры фиг. 1). Комбинируя все большее и большее число элементов симметрии, мы получаем системы, обладающие все большей и большей степенью симметрии. Однако возможны не любые комбинации элементов симметрии, а лишь вполне определенные. Например, молекула не может иметь в одном и том же направлении ось симметрии третьего и ось симметрии четвертого порядка. С другой стороны, существование известных элементов симметрии часто обусловливает существование некоторых других если молекула имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (ХУ , фиг. 1,а), то линия их пересечения обязательно является осью симметрии второго порядка. Если молекула имеет ось симметрии второго порядка (С ) и плоскость симметрии, перпендикулярную к этой оси, она обязательно должна также обладать центром симметрии (см. молекулы типа ХзУз25 на фиг. 1,г). В самом деле, поворот на 180°, например, вокруг оси г (Сз) превращает д в — д и в —у, а последующее отражение меняет знак г, следовательно, в результате х, у л г превращаются в—х,—у, — г, т. е. имеет место инверсия. [c.15]

Точечная группа О (октаэдрическая группа). Если молекула имеет/иргг взаимно перпендикулярные оси симметрии четвертого порядка и четыре оси симметрии третьего порядка, которые так же ориентированы относительно друг друга, как и оси второго и третьего порядка в точечной группе Т, то она принадлежит к октаэдрической точечной группе О. Следствием существования указанных осей является существование шести осей второго порядка (кроме трех осей второго порядка, совпадающих с осями четвертого порядка). Правильный октаэдр и куб (см. фиг. 3, г и 3, д) как р з и обладают этими осями симметрии. Однако они имеют еще ряд плоскостей симметрии, которыми не обладают молекулы, относящиеся к точечной группе О. [c.22]

Три взаимно перпендикулярных оси симметрии четвертого порядка С4, четыре оси симметрии третьего порядка Сл, центр симметрии I, три зеркально поворотных оси четвертого порядка 4 и ось второго порядка Са (совпацающие с С4), шесть осей слмметрш второго порядка С , девять плоскостей симметрии т, четыре зеркально поворотных оси шестого порядка 5в (совпадающие с Сз). [c.24]

Члены с коафициентом /Зуд- обусловливают очень малое расщепление каждой линии на составляющие, характеризующиеся различными К- Такую структуру, однако, еще не удалось разрешить. Усреднение членов с коэфициентами Ьуд- и Dj приводит к небольшому систематическому изменению расстояний между последовательными линиями, а такмсе к тому, что четные линии ветвей / уже не совпадают в точности с линиями 5. Последнее обстоятельство, хотя тоже не приводит к заметному расщеплению, но проявляется в том, что нечетные линии R не расположены точно посредине между соседними линиями S. Это видно нз табл. 6, которая также ясно показывает систематическое изменение расстояний между линиями. Учитывая поправочные члены, Льюис и Гаустон [576] получили из экспериментально наблюденных комбинационных частот, приведенных в табл. 6, для вращательной постоянной В значение 9,92 см", которое очень хорошо совпадает со значением 6=9,945 m S полученным из инфракрасного вращательного спектра (см. стр. 46). Такое количественное совпадение, а также качественная структура спектра (в частности, появлений лишь линий, для которых ДЛ =0) с несомненностью показывает, что молекула NHj является симметричным волчком, ось которого совпадает с осью симметрии (осью симметрии третьего порядка). [c.49]

Если молекула имеет две или несколько осей симметрии третьего или более высокого порядка, то существуют две или несколько различных плоскостей, каждая из которых при пересечении эллипсоида инерции дает круг (см. стр. 35). Ясно, что это может быть только в том случае, когда эллипсоид инерции превращается в сферу. Следовательно, моменты инерции относительно всех осей, проходящих через центры тяжести, точно равны друг другу. Молекула является сферическим волчком. Все молекулы кубической симметрии яв-.чяются сферическими волчками, например, молекулы СНд, СОр если они имеют тетраэдрическую структуру (принадлежат к группе / ), или молекула если она имеет октаэдрическую структуру (принадлежит к группе О/,). Конечно, молекула может иметь случайно равными друг другу все три главных момента инерции, даже и в том случае, когда она обладает более низкой симметрией, чем кубическая. Например, ири тле между связью N — Н и осью, равном 52° 3, молекула НН,, была бы сферическим волчком, несмотря на наличие одной лишь оси симметрии третьего порядка. [c.51]

Так как в этом с.тучае атом У может двигаться в том же направлении, что и соседний атом X, либо в противоположном направлении, то мы имеем два полносимметричных колебания и V, имеются два колебания, симметричных относительно оси симметрии Сз, но антисимметричных по отношению к трем плоскостям симметрии вращение вокруг оси Св (которое является ненастоящим колебанием и поэтому не показано) и колебание имеются два вырожденных колебания с а = - -120°, а именно, колебания Иа и и два вырожденных колебания о = — 120°, а именно, переносы, перпендикулярные к оси Сз, представляющие ненастоящее колебание (не показанное) и настоящее колебание V,. Этими колебаниями молекула обладает помимо колебаний, параллельных оси симметрии третьего порядка, которые будут рассмотрены ниже. Заметим, что колебания ва> оь, ш и ие могут быть получены как линейные комбинации колебаний V5a и 1 1,, т. е. колтоания V и V в общем случае имеют частоты, отличные от частоты колебания V5. [c.104]

Рассмотрим в качестве иллюстрации молекулу, принадлежащую к точечной группе и имеющую ось симметрии второго порядка С (г) и две плоскости симметрии о (л 2) и а (уг), проходящие через ось. В данном случае мы имеем четыре типа симметрии Л,, Л .. 6, и (см. табл. 13). Атому, не лежащему ни на одной из плоскостей, соответствуют три других атома, расположенных симметрично. Согласно изложенному выше, при наличии т таких совокупностей, состоящих из четырех атомов, для каждого типа симметрии получается Зт степеней свободы. Если имеется атом, лежащий в плоскости (хг), то должен существовать и другой атом, получающийся при отражении в плоскости От,(уг). Подобной совокупности из двух ядер будет соответствовать число степеней свободы меньше трех. В случае, если движение одного из таких атомов будет симметричным по отношению к обеим плоскостям симметрии (тип симметрии Л1), то оно должно происходить обязательно в плоскости о (л г ), и поэтому ему соответствуют для типа симметрии Л, только две степени свободы в случае движения антисимметричного по отношению к обеим плоскостям симметрии (тип симметрии Л ) оно должно обязательно происходить по прямой, перпендикулярной к плоскости а (хг), т. е. этой со-вокупностй атомов соответствует для типа симметрии Л, только одна степень свободы. Аналогично, данной совокупности соответствует только одна степень свободы для Типа симметрии В и две степени свободы для типа симметрии При налйЧии т г совокупностей атомов, лежащих в плоскости Х2, для каждого типа симметрии получается число степеней свободы, приведенное в третьем столбце табл. 34. [c.150]

Г. Поведение частот симметричной системы при изменении параметров, сохраняющем симметрию. Предположим теперь, что наша симметричная система зависит общим образом от некоторого числа параметров, причем симметрия не нарушается при изменении параметров. Тогда собственные частоты различных кратностей также будут зависеть от параметров, и возникает вопрос о столкновениях собственных частот. Я ограничусь формулировкой результата для простейшего случая систем с поворотной симметрией третьего порядка (для поворотной симметрии любого порядка п Ъ ответ такой же). Подробности можно найти в статьях Арнольд В.И. Моды и квазимоды // Функциональный анализ и его приложения.— 1972.— Т. 6, № 2.— [c.403]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...