Частота колебаний систем со многими степенями свободы

Свободные незатухающие колебания в системах с двумя степенями свободы. Нормальные колебания (моды). Парциальные и нормальные частоты. Биения. Понятие спектра колебаний. Методика анализа колебаний двух связанных осцилляторов. Затухание колебаний и диссипация энергии. Вынужденные колебания. Резонанс. Колебания систем со многими степенями свободы. Дисперсионное соотношение. [c.47]

При определении характеристик собственных колебаний сложных систем со многими степенями свободы путем резонансных испытаний необходимо провести детализацию систем [14]. При резонансных испытаниях с многоточечным возбуждением путем соответствующего выбора сил возбуждения выделяют поочередно собственные тона и регистрируют соответствующие формы, частоты и величины, по которым определяют обобщенные массы (или жесткости) и коэффициент демпфирования. Возбуждение осуществляется гармоническими силами с относительными фазовыми сдвигами О или 180° и различными амплитудами. [c.354]

Спектр собственных частот на рис. 63 имеет характерные зоны, одна из которых выделена кривой S. В общем случае колебательных систем со многими степенями свободы наличие таких зон указывает на связь между различными нормальными колебаниями [89], Это обстоятельство необходимо иметь в виду, приступая к анализу форм колебаний. Формы колебаний, соответствующие определенному типу движений, проявляются только для частот, достаточно удаленных от зон взаимодействия. [c.187]

Взаимодействие краевой моды (кривая Е на рис. 84) с системой кривых, соответствующих планарным колебаниям (7 -модам), рассматривалось выше. При изучении спектральных кривых для колебательных систем со многими степенями свободы установлено, что расстояние между ними в зонах расталкивания пропорционально степени связанности между парциальными системами. Один из интересных результатов, полученных в 3 данной главы, заключается в том, что в случае взаимодействия планарных движений с краевой модой прямая пропорциональная зависимость между величиной коэффициента Пуассона, как возможной характеристикой величины связанности двух указанных типов движений, и расстоянием между спектральными кривыми не прослеживается. Более того, при определенном значении v фО снова возникают кратные частоты (пересечение спектральных кривых), соответствующие планарным и краевой модам. [c.220]

Численное интегрирование полученной системы уравнений не представляет затруднений, тем более, что эта система распадается на две независимые системы, описывающие поперечные и продольные колебания упругой шарнирной цепи. Как видно из полученных уравнений, нелинейность существенным образом влияет на амплитуды и частоты поперечных колебаний, в то время как амплитуды продольных колебаний такого влияния не испытывают. Поэтому в дальнейшем уравнения, описывающие продольные колебания масс цепочки, могут быть проинтегрированы самостоятельно в линейной постановке. Затем, подставляя решение для в систему уравнений, описывающих поперечные колебания масс цепи, приходим к задаче о воздействии на нелинейную колебательную систему со многими степенями свободы возмущающей силы с несколькими частотами. Поскольку правые части (102) не зависят от р,, ф , то первое и третье уравнения этой системы удобны для исследования амплитуд М,-, NI- [c.41]

Для произвольной системы с двумя степенями свободы всегда можно определить ее частоты и формы колебаний так, как было показано выше для системы, изображенной на рис. 3.1, а. Поскольку уравнения движения любых систем со многими степенями свободы имеют одинаковую форму с точки зрения математики, получением дальнейших решений пока заниматься не будем. Это будет сделано систематическим образом матричными методами ниже в этой главе, а также в гл. 4. [c.195]

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, демпфирование становится исключительно важным в том случае, когда периодические возмущения имеют частоту, близкую к одной из частот собственных колебаний системы со многими степенями свободы. Вопрос об установившихся вынужденных колебаниях систем с двумя степенями свободы исследовался в п. 3.8 с помощью метода передаточных функций. Этот подход может быть легко распространен на системы с п степенями свободы, при этом основные соотношения [см. выражения (3.51) и (3.52) J сохраняют свою форму неизменной. Однако решение в рамках указанного подхода требует обращения матрицы порядка п X п, содержащей комплексные числа. Если собственные значения и собственные векторы системы предварительно были определены тем или иным способом, подходу с использованием передаточных функций лучше предпочесть метод нормальных форм колебаний. Зная частоту изменения возмущений и собственную частоту колебаний системы, можно непосредственным путем определить динамические перемещения по формам колебаний, чьи частоты близки к частоте возмущения. Ниже, будут рассмотрены возмущения, имеющие вид либо одной гармонической функции, либо произвольного вида периодических функций, при этом будет предполагаться, что система имеет либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по формам колебаний, аналогичное тому, о котором говорилось в предыдущем параграфе. [c.306]

Итерационный метод вычисления частот и форм колебаний для линейных систем со многими степенями свободы был описан в п. 4.7. Рекуррентными формулами для определения главного собственного значения и соответствующего собственного вектора являются выражения (4.100)—(4.102), соответствующие формулы для задачи на собственные значения, колеблющейся системы, суть (4.103)—(4.105). Кроме того, введение ограничений на формы колебаний и использование выметающих матриц для нахождения первой и второй форм колебаний приводит к алгоритму, использующему выражения (4.106)—(4.109). Все эти выражения включены в программу [c.456]

Метод упрощения систем со многими степенями свободы до уровня эквивалентных [3] основан на разбиении исходной системы на парциальные подсистемы, каждая из которых имеет одну степень свободы подсчете парциальных частот рщ, сравнении их с наивысшей граничной частотой сотах и последующем перераспределении параметров тех из парциальных подсистем, для которых Рпц сйтах. Часть общей математической модели, описанная дифференциальными уравнениями, имеющими переменную структуру, не подлежит упрощению. Упростить можно только ту часть математической модели, которая описывает угловые колебания трансмиссии, так как ее построение обычно осуществляется формально, исходя из рассмотрения кинематических схем [c.325]

Из обсуждений, приведенных в гл. 3, видно, что в соотношении (4.3) матрицу жесткости 8 можно заменить либо дополнить матрицей О сил тяжести [см. выражение (3.10)]. Аналогично в соотношении (4.7) матрицу податливости Р можно заменить матрицей псевдоподатливости, отражающей влияние силы тяжести (см. пример 3 в п. 3.3). В любом случае расчеты значительно упростятся, если матрица М будет диагональной, а не произвольного вида. Теперь проиллюстрируем определение собственных частот и форм колебаний на отдельных примерах систем со многими степенями свободы. [c.248]

Итерационный процесс понижения числа степеней свободы системы, описанный выше, теоретически можно применять многократно до тех пор, пока не будут определены все частоты и формы колебаний системы со многими степенями свободы. Однако каждое собственное значение и собственный вектор, определяемые таким образом, являются только приближенными. Поэтому проводимая на каждом шаге ортогонализация будет неполной. Более того, каждое понижение числа степеней свободы сопровождается ошибками округления, которые накапливаются с каждым шагом. С вопросом о точности связано и то обстоятельство, что для получения большого числа частот и форм колебаний требуется выполнять необычно большое число арифметических операций, Следовательно, как об этом уже говорилось в начале данного параграфа, итерационный метод лучше всего использовать в том случае, когда требуется определить только несколько низших форм колебаний. Кроме того, необходимость выполнения большого числа арифметических операций в случае систем с очень большим числом степеней свободы требует применения ЭВМ, особенно тогда, когда трудно предугадать формы колебаний. Поэтому в приложении к книге дан текст программы на языке БЕЙСИК, под названием ЕШ1ТЗ, которая позволяет вычислять три первые собственные значения и собственные векторы матрицы с помощью итерационного метода. [c.298]

Выражения (5.89) совпадают с аналогичными выражениями, полученными в работах [4, 12, 98] методом разложения в ряд по малому параметру решения исходного уравнения и преобразованием Лапласа. Преимуществом изложенной методики является то обстоятельство, что она без принципиальных трудностей переносится на системы со многими степенями свободы, нелинейные системы и позволяет определить требуемые вероятностные характеристики обобщенных координат. При этом охватывается случай исследования устойчивости динамических систем, содержащих перекрестные нелинейные связи. Отметим, что при Sj ( 2) = onst результаты совпадают с данными работы [108]. Исследование частных случаев (5.73) в детерминированной постановке задачи для комбинационного резонанса описано во многих работах [10, 19, 95 и др. ]. Приведенные выше результаты показывают, что, как и в детерминированном случае, спектр частот, при которых возникают параметрические колебания, состоит из ряда малых интервалов. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возмущений и стягиваются к нулю, когда амплитуда стремится к нулю. При этом возрастание амплитуды колебаний системы происходит по показательному закону. Выражение (5.89) в этом случае определяет степень опасности комбинационного резонанса, когда спектральные плотности параметрических возмущений соответствуют, например, сейсмическим воздействиям в виде многоэкстремальных функций несущих частот, что особенно часто встречается на практике. [c.219]

Автоколебания самовозбуждаются в процессе резания. При этом пульсирующая сила, ответственная за характер колебательного процесса, создается и управляется внутри системы. Автоколебания могут возникать при отсутствии внешней возмущающей периодической силы, и частота вибраций не зависит от геометрических параметров инструментов и режимов резания. Она характеризуется собственной частотой системы. Автоколебания при резании появляются вследствие различных причин а) возникновение в системе физических явлений, создающих возбуждение (например, изменение сил внешнего и внутреннего трения, периодическое изменение сил резания и деформированного объема материала, возникновение тре-щинообразования при отделении стружек, изменение величины нароста и периодический его срыв, уменьшение силы резания с увеличением скорости нагружения, вибрационные следы предыдущих проходов и т. п.) б) изменение состояния упругой системы (со многими степенями свободы) приводит к тому, что в процессе резания режущая кромка инструмента описывает в плоскости, перпендикулярной ей, замкнутую эллиптическую траекторию. Накладываясь на заранее заданное движение инструмента, это возмущенное колебательное движение создает автоколебание системы инструмент — деталь. Необходимо от-.адетить, что вынужденные колебания и автоколебания находятся во взаимосвязи и одновременно воздействуют на технологическую систему. Упругая система, реагируя на изменение усилий резания, изменяет величины деформаций отдельных своих звеньев и таким образом способствует возбуждению колебаний различной частоты и амплитуды. Эти колебания режущего инструмента вызывают, в свою очередь, периодическое изменение площади сечения стружки. На обработанной поверхности детали и на наружной поверхности стружки появляются шероховатости (мелкие пилообразные зубчики разной высоты и формы). Колебания режущей кромки могут иметь частоту [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...