Деформация (относительная) в функции координат после деформации

Введение. Теория упругости изучает механику деформируемых тел, которые восстанавливают свою первоначальную форму, после того как удалены силы, вызывающие деформацию. Обсуждение явлений упругости встречается уже в работах Гука (1676 г.). Однако первые реальные попытки создания теории упругости, исходя из понятия сплошной среды, позволяющего игнорировать молекулярное строение тела и описывать макроскопические явления с помощью функций координат пространства, относятся к первой половине восемнадцатого столетия ). С тех пор было приложено много усилий к изучению математической теории упругости и ее приложений к физике и инженерному делу. Судя по большому числу опубликованных работ по изучаемому предмету, исключается возможность с одинаковой полнотой изложить весь предмет в объеме одной книги. Настоящая работа имеет более ограниченную цель. В ней делается попытка дать краткий обзор некоторых разделов теории упругости и вместе с тем обсудить достаточное количество отдельных задач для того, чтобы дать некоторые представления относительно математического аппарата, необходимого для решения подобных задач. Даже в пределах этих ограниченных рамок в книге имеются значительные пробелы. В ней ничего, например, не говорится о такой важной теме как теория упругой устойчивости или о таком важном разделе как вычисление упругих постоянных кристаллов с помощью теории кристаллических решеток. [c.7]

В среднюю плоскость пластинки, т. е. в плоскость, находящуюся посредине между параллельными наружными поверхностями, введем, при естественном состоянии пластинки, прямоугольную систему координат и обозначим через и координаты относительно этой системы точки Р средней плоскости. Далее мы представим себе три линейных элемента 1, 2, 3, выходящих из точки Р, из которых два первых параллельны осям 51 и 5г, а третий к ним перпендикулярен. Мы примем, что после деформации пластинки эти три линейных элемента определяют оси прямоугольной системы координат, к которой мы будем относить точки, лежащие вблизи Р. Предположим, что точка Р будет началом координат, линейный элемент 1 будет лежать на оси к, и плоскость элементов 1 и 2 образует плоскость X, у, тогда последняя будет касаться в точке Р искривленной деформацией средней плоскости, ось у образует бесконечно малый угол с элементом 2, ось же г — бесконечно малый угол с элементом 3. Пусть относительно этой системы координат х + и, у V, г гл) будут координатами материальной точки пластинки после деформации, в то время как X, у, г будут координатами той же точки относительно той же системы координат в естественном состоянии пластинки, когда линейные элементы 1, 2, 3 совпадают с осями х, у, г. Тогда а, о, щ будут такими функциями X, у, 2, ЧТО для л =0, г/ =0, 2 =0 должно быть [c.371]

Мы будем предполагать, что функции /1, /2, /з непрерывны в области V (т. е. что деформация происходит без разрывов). Точки х, г/, 2 ), соответствующие точкам (х, у, г) области У, заполнят некоторую область V эта последняя есть область, занятая телом после деформации. Мы будем предполагать, что, обратно, координаты х, у, 2 суть определенные функции координат х, у, ъ [иными словами, что уравнения (1) однозначно разрешаются относительно величин х, у, г,] и что х, у, г — также непрерывные функции от х, у, 2 в области V. [c.36]

Если в условиях ооевой симметрии обозначить через г, 0, цилиндрическую систему координат, то, как показал Г. Н. Положий [4], комбинацию 2fx (ги + iw), где и, W — компоненты вектора смещений в направлении осей г и можно выразить через две произвольные jo-ana л итические функции от г + с характеристикой р i /г по формуле, вполне аналогичной представлению Колосова — Мусхелишвили для случая плоской деформации. Эта формула после использования соответствующим образом определенных аналогов интегралов типа Коши для р-аналити-ческих функций позволяет свести решение основных граничных задач в рассматриваемом случае к решению некоторых одномерных интегральных уравнений относительно граничных значений р-аналитических функций комплексного переменного. [c.632]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...