Функция перемещений и матрица деформаций — перемещений

Функция перемещений и матрица деформаций — перемещений [c.53]

Второе обстоятельство относится к некоторым аспектам двойственности характеристик функций напряжений и перемещений. Однородное дифференциальное уравнение для функции напряжений Эри совпадает с уравнением изгиба пластин для функции прогиба ш при нулевых распределенных нагрузках. Поэтому, если в (6.74а) функция напряжений заменяется на ш, а [Е1" — на [Е1, то интеграл оказывается равным энергии деформации изгибаемой тонкой пластины. Следовательно, определение функции напряжений (поля Ф) идентично отысканию поля прогибов (поля у) при изгибе пластин, а соответственные матрицы податливости и жесткости различаются лишь коэффициентами упругости заменой 1Е1 1 на [c.190]

Чтобы построить матрицу жесткости, рассмотрим функции перемещений и и V, соответствующие соотношениям (9.15). Это можно сделать, выражая деформации через напряжения с помощью уравнений состояния в виде 8=[Е] о и затем интегрируя уравнения, связывающие деформации и перемещения. Таким образом, получаем [c.295]

Теперь порядок построения матрицы жесткости соответствует изложенному в предыдущих главах. Выписанные поля перемещений дифференцируют согласно соотношениям между деформациями и перемещениями (10.2) и приходят к уравнениям вида е=[С1 а . Кроме того, в каждой из четырех вершин определяются функции перемещений и их первые производные. В результате получают 48 уравнений, записанных в виде Л =[В1 а , где А содержит степени свободы, представленные в (10.10) для поля и в аналогичных формулах для полей v и w. Следовательно, матрица жесткости дается формулой (10.8а) [c.314]

Поясним физический смысл компонентов матрицы 1Ф (6.14), входящей в представление (6.11), и компонентов матриц еФ и т. д. в представлении (6.15). Компонента 1ц, воздействующая на функцию Ф, — это с точностью до множителя, стоящего перед интегралом (6.11), перемещение точки (g, ф) поверхности оболочки в направлении г-й координаты от единичной сосредоточенной силы, приложенной в точке (gi, фц) в направлении /-й координаты. Направления г, /=1, 2, 3 соответствуют координатам g, ф и нормали п соответственно. Симметричность матрицы 1 соответствует согласию с принципом взаимности перемещений. Аналогичный физический смысл имеют матрицы деформаций, удельных усилий и удельных моментов (6.17). Первый индекс обозначает наименование де- [c.260]

Так же как и в случае изгиба пластин, здесь можно наметить два пути построения конечноэлементной модели оболочки. В первом варианте выполняется независимая аппроксимация функций Uf, Un (или Ux, Uy) и d, а e,g учитывается наряду с е , е в матрице деформаций. Другой подход основан на использовании гипотезы прямых нормалей, в соответствии с которой следует положить = 0. В этом случае аппроксимируются лишь перемещения (, (или Uy), а для вычисления д используется одно из равенств [c.250]

Основные результаты моментной теории термоупругости изложены в работах [3, 17Ь—с, 35g—1, 40b, 43а—Ь, 44Ь, 53Ь]. Выведены уравнения движения и сформулирован принцип сохранения энергии, из которого получены определяющие уравнения для среды с центральной симметрией при условии, что внутренняя энергия есть квадратичная функция от температуры и компонентов тензоров деформаций и кручения. С помощью определяющих уравнений уравнения движения записываются для температуры и векторов перемещения и вращения. Векторы перемещения и вращения представлены в форме Стокса для потенциальных и соленоидальных функций выписаны соответствующие уравнения. Решения последних определяют в пространстве волны расширения, вращения и искажения. Здесь также волны расширения затухают и диспергируют, остальные волны не взаимодействуют с температурным полем. Методом ассоциированных матриц решения уравнений движения для перемещений, вращений и температуры представлены с помощью функций напряжений, для которых получены раздельные уравнения. [c.245]

Используя функции перемещений (9.16), соотношения между деформациями и перемещениями (4.7) и формулы для жесткости элемента (9.7), получим матрицу жесткости элемента, представленную на рис. 9.15. [c.295]

Поскольку матрица В содержит теперь координаты г н г, деформации в элементе не будут постоянными, как в случаях плоского напряженного и плоского деформированного состояний. Это различие обусловлено членом ее. Если заданные узловые перемещения таковы, что и пропорционально г, то все деформации будут постоянны. Очевидно, что, поскольку только такие перемещения соответствуют постоянным деформациям, используемая функция перемещений удовлетворяет основному критерию гл. 2. [c.90]

Формулы (6.38) и (6.39) следует использовать при записи компонентов матриц Грина (6.18) для деформаций, удельных усилий и удельных моментов, а также для перемещений (6.14), которые после воздействия на функцию Ф в силу разложения (6.29) дадут тригонометрические ряды. Так, компоненты с четными по ф производными будут представлены рядами вида [c.265]

Матрица — ядро основания в случае плоских задач. Под плоскими будем понимать такие задачи, в которых контактируемое с линейно-деформируемым основанием тело обеспечивает условия плоской деформации для основания, т. е. перемещения поверхностных точек последнего являются функциями одной переменной, например х. Очевидно, это будет тогда, когда область контакта не ограничена вдоль оси у и заданные функции, входящие в математическую формулировку контактной задачи, являются функциями только одного х. [c.283]

Чтобы построить матрицу жесткости элемента, необходимо найти деформации, которые в свою очередь являются производными по л и г/ от перемещений. Однако теперь перемещения являются функциями от координат и т]. Следовательно, необходимо найти связь между производными пох и у и производными по I и т]. Это можно осуществить, применяя правило дифференцирования сложных функций. Получим [c.260]

Вид матрицы [В], определяющей связь между векторами деформаций и перемещений, зависит от типа используемого конечного элемента и принимаемых для него функций формы. При решении [c.26]

При малых перемещениях и упругих деформациях будет справедлив принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Этот принцип позволяет легко получить соотношения МГЭ для общего (пространственного) случая деформирования стержня. Для этого необходимо объединить уравнения (2.4), (2.9), (2.10), (2.11) и (2.20) путем квазидиагонализации матрицы фундаментальных функций. Общее уравнение [c.46]

Рассмотрим, например, вычисление условных двухточечных моментных функций поля напряжений в матрице вблизи межфазных поверхностей однонаправленных волокон композита. Пусть в локальной системе координат выполняется равенство = дт и одна из осей, например гз, совмещена с осью симметрии волокна, и — две точки в матрице вблизи межфазной поверхности волокна. Для полей перемещений и( ,>г ), деформаций и напряжений <т( ,х) имеем зависимости вида [c.135]

При малых перемещениях и упругих деформациях будет справедлив принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Этот принцип позволяет легко получить соотношения МГЭ для общего (пространственного) случая деформирования стержня. Для этого необходимо объединить уравнения (2.4), (2.9), (2.10), (2.11) и (2.19) путем квазидиагонализации матрицы фундаментальных функций. Общее уравнение МГЭ представлено ниже, где Аи, Акр, Ар, Ас - матрицы фундаментальных функций изгиба, кручения, растяжения и сдвига G (x, ), [c.33]

Так, например, используя формулу (11.9.4) для потенциала однородного эллипсоида, можно без труда решить задачу о тем-лературных напряжениях в теле, содержащем в себе мгновенно нагреваемую область, имеющую форму эллипсоида. Теперь перемещения будут определяться по формулам (11.9.5) с точностью до множителя, который читатель легко восстановит. Комбинируя формулы (11.9.5), мы найдем компоненты деформации, а следовательно,— напряжения. Производные от потенциала тяготения представляют собою силы тяготения, которые убывают по мере удаления от начала координат как 1/г , следовательно, напряжения убывают как 1/г , т. е. так же как перемещения и напряжения от центра расширения. Поэтому формулы ы,- = i]),,- дают полное решение для неограниченной среды. В 8.14 было разъяснено, что центр расширения моделирует напряжения, возникающие при выпадении новой фазы. Очевидно, что изменение объема может быть вызвано не только изменениями температуры, но и фазовыми превращениями, поэтому формулы (11.9.5) могут быть применены к тому случаю, когда частица выпавшей фазы имеет форму эллипсоида эти выражения пригодны как для точек, принадлежащих внутренности включения (при и = 0), так и для точек матрицы (и =/= 0). Заметим, что внутри включения перемещения представляют собою линейные функции координат [c.384]

Остальные матрицы, содержащие тригонометрические функции разложения, приводились для выражений (5.33), (5.34). Амплитудные значения составляющих векторов разложения деформаций и углов поворота могут быть выраженьГчерез амплитудные значения векторов разложения обобщенных перемещений и производных [c.212]

Дадим теоретическую оценку погрешности изложенного выше метода. Будем считать коэффициенты при дифференциальных операторах в матрице L, овязываюш ей деформации с перемещениями (1.6), и коэффициенты симметричной положительно определенной матрицы соотношений упругости С (1.11) ограниченными. Рассмотрим случай когда Uo=0 на S . Для меры функций би введем энергетическую норму би , которую определим следующим образом [c.12]

Пусть В цилиндрической системе координат г,(р,г) задан цилиндр г К, г Ь из нелинейного упругого изотропного материала. Цилиндр предварительно подвергнут однородному осевому растяжению или сжатию и закреплен торцами между гладкими жесткими поверхностями таким образом, что отсутствуют нормальные перемещения и касательные напряжения. На описанную деформацию, которая считается конечной, накладывается малая осесимметричная деформация, вызванная внедрением в поверхность цилиндра при 2 а жесткого бандажа. Трение между цилиндром и бандажом отсутствует, а бандаж имеет радиус К-6, (5 > 0. В работе [47] для добавочной деформации получены линеаризованные уравнения и выписаны соответствующие граничные условия. Известным приемом полученная краевая задача была сведена к парному ряду-уравнению вида (33), в котором nQ = 0, К2 = К, а К(и) — известная функция [47]. Решение парного ряда, как и в предыдущей задаче, было получено путем сведения его к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей. Был проведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп — цилиндр Р для материала Муни. Анализ расчетов показывает, что с увеличением параметра предварительного напряжения в сторону растяжения жесткость Р увеличивается. Существует также такое сочетание геометрических параметров, при которых жесткость Р возрастает и с увеличением предварительного сжатия (с уменьшением Л при Л < 1). [c.170]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

Формулы (7.2) —(7.5) можно взять за основу при выводе жесткостных характеристик конечных элементов, оеуществт ляя при этом независимую аппроксимацию функций Uz, Х и 9у по их узловым значениям. Как следует из (7.1), совместность перемещений обеспечивается, если каждая из этих функций непрерывна на границах между элементами. Так же как и в случае плоской задачи теории упругости, выполнить это условие можно, например, с помощью изопараметрической формулировки конечных элементов. Следовательно, здесь открываются широкие возможности для введения конечных элементов произвольной формы, в том числе криволинейных. Но применение подобных элементов к расчету тонких пластин до последнего времени было ограниченным из-за чрезмерной жесткости элементов, которая обусловлена ложными деформациями поперечного сдвига и появляющимися при чистом изгибе пластины. В работе [38] показано, что и в случае изгиба пластин эффективным средством борьбы с ложными деформациями поперечного сдвига является использование минимально допустимого порядка интегрирования соответствующих членов при вычислении матрицы жесткости элемента. Несколько конечных элементов, полученных таким способом, представлено в следующем параграфе. Они могут успешно использоваться при расчете как тонких, так и сравнительно толстых пластин. [c.230]

Матрицы, а также функции со значениями в пространстве матриц обозначаются символами, начинающимися с прописной жирной буквы, например Т, Е и), I, О, Diag(i(, of Л, Х( ). Исключение составляют (градиент деформации), Vu (градиент перемещений), dWfdF (градиент функции W Q с= М - R), е и) (линеаризованный тензор деформации). [c.25]

Теперь можно изучить вопросы использования изопараметриче-ских элементов при построении матрицы жесткости элемента. Соотношения между деформациями и перемещениями имеют обычный вид е=[0] 4 , где деформации е относятся к декартовой системе координат х, у). Поэтому [О] содержит производные функций формы по декартовым координатам. Для плоского состояния имеем, согласно (5.22), [c.261]

Основная проверка определенности состоит в обнаружении пробных функций, которые при численном интегрировании теряют всю свою энергию деформации. Практически это выясняется из ранга матрицы жесткости элемента если единственное нулевое собственное значение появляется от перемещений твердого тела, то квадратурная формула правильна. Если еще есть нулевые собственные значения, то квадратурная формула может все же быть приемлемой надо проверить, можно ли собрать полиномы, грешащие на отдельных элементах, в пробную функцию обладающую слишком малой энергией на всей области (как в случае кручения, описанного выше). Например, четырехтЬчечная формула Гаусса (2X2) не удовлетворяет нашему условию устойчивости для биквадратичных функций с девятью параметрами. Для гауссовых узлов ( , ) на квадрате с центром в начале координат функция (л — 1 ) ( 2 — 2 имеет нулевую энергию деформации этот шаблон можно передвигать и тогда трудности будут на всей области. (Матрица К на самом деле может не быть вырожденной, если эта схема не отвечает краевым условиям (скажем, и = 0) задачи. В этом случае можно рискнуть и испытать такую четырехточечную формулу интегрирования, даже если К намного ближе к вырождению, чем позволено теорией.) [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...