Функция многомерных операторов

Характеристические функции многомерных операторов. До сих пор во всех определениях характеристических функций предполагалось, что рассматриваемый оператор является одномерным, т. е. имеется только один входной и один выходной параметр. Поскольку многие технологические объекты имеют по несколько входных и выходных параметров, необходимо рассмотреть, как определяются характеристические функции многомерных операторов. [c.75]

Отметим, что характеристические функции многомерного оператора обладают всеми свойствами характеристических функций, описанными ранее в этом разделе. Например, соотношения "(2.2.74) 76 [c.76]

Приведенный пример показывает, что функциональный оператор объекта, математическая модель которого включает систему уравнений в частных производных, является многомерным оператором. Если система состоит из п уравнений первого порядка, то в математическую модель должно входить п граничных условий, которые содержат п входных функций. Таким образом, пространство задания оператора U будет пространством -мерных вектор-функций. Это обстоятельство существенно усложняет исследование функционального оператора. Поскольку все методы исследования, излагаемые далее, относятся только к одномерным операторам, возникает необходимость сведения задачи исследования многомерного оператора объекта к задаче исследования одномерных операторов. [c.46]

Обычно вместо многомерного оператора А, действующего из пространства п-мерных входных вектор-функций u t) в пространство й-мерных. выходных вектор-функций v(t) рассматривают систему одномерных операторов Aij Ui t) - Vj(t), i=l, 2,. .., n / = 1, 2,. .., k. Каждый оператор Л ,- описывает отдельный канал связи между входным ui t) и выходным Vj t) параметрами объекта. Всего таких каналов (соответственно, операторов Aij) в объекте будет nk. С физической точки зрения замена оператора А системой операторов Л,/ означает, что исследование изменения выходных параметров объекта в условиях, когда все входные его параметры одновременно меняются во времени, заменяется изучением таких п режимов, в которых меняется во времени лишь один из п входных параметров При этом в каждом из режимов последовательно исследуется реакция выходных параметров v, V2, , vn, [c.46]

Прежде чем рассмотреть конкретные примеры линейных и нелинейных операторов и объектов, отметим одно важное свойство линейных многомерных операторов. Пусть область задания U линейного оператора А есть пространство -мерных вектор-функций [c.49]

Экспериментальное исследование нелинейных объектов также связано с рядом трудностей. Для нелинейных операторов не выполняется ни дискретный принцип суперпозиции (2.2.1), ни интегральный принцип суперпозиции (2.2.33), (2.2.34). Поэтому если имеется многомерный нелинейный оператор с несколькими входными параметрами, то, определив реакцию объекта на изменение отдельных параметров, нельзя предсказать поведение объекта при одновременном изменении всех параметров. Напомним, что для линейного оператора такое предсказание всегда возможно, и это является основой исследования линейного многомерного оператора путем его замены эквивалентной системой одномерных операторов, описывающих отдельные каналы связи в объекте. Кроме того, при исследовании нелинейных объектов нельзя ограничиться изучением реакции объекта на одно какое-нибудь стандартное воздействие. Знание отклика объекта на входное воздействие одного вида недостаточно для предсказания поведения объекта при воздействии произвольного вида. Действительно, поскольку для нелинейного объекта не выполнен принцип суперпозиции, то представление входной функции в интегральном виде (2.2.33) не дает возможности утверждать о возможности аналогичного интегрального представления (2.2.34) для выходной функции. Это означает, что для нелинейного оператора невозможно ввести характеристические функции, которые определяли бы все свойства оператора. [c.77]

Характеристические функции объектов с сосредоточенными параметрами, описываемых многомерными операторами. Выясним теперь, как можно получить характеристические функции стационарных объектов с сосредоточенными параметрами, которые имеют по несколько входных и выходных параметров, т. е. описываются многомерными функциональными операторами. Эти операторы задаются с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет вид (3.1,1). Исследование таких систем в общем виде будет достаточно громоздким, поэтому для простоты [c.93]

Аналогично одномерному случаю разностным функциям, которые мы будем считать принадлежащими некоторому конечномерному пространству Н , с помощью оператора восстановления Rh будут ставиться в соответствие непрерывные функции, принадлежащие некоторому функциональному пространству Н. Многомерные операторы сдвига и разностных производных будут помечаться индексами соответствующей переменной. Так, например, [c.165]

Будем описывать распространение волн в среде с помощью передаточной функции, представленной многомерным оператором [c.74]

Как И В одномерном случае, передаточные функции стационарного объекта имеют дробно-рациональный вид. Отметим одну характерную особенность передаточных функций объекта, описываемого многомерным функциональным оператором. Передаточная функция стационарного объекта, описываемого одним уравнением вида (3.1.1) с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональное выражение (3.1.35), в числителе которого стоит многочлен порядка т, где т — наивысший порядок дифференцирования в правой части уравнения (3.1.1). В том случае, когда в правую часть (3.1.1) входит только функция u t), а не ее производные, этот многочлен вырождается в константу, и передаточная функция принимает вид (3.1.45). В многомерном случае, когда объект имеет по несколько входных и выходных параметров, все передаточные функции также являются дробно-рациональными. Однако порядок многочлена, стоящего в числителе этих дробно рациональных функций, отличен от нуля даже тогда, когда в уравнения входят только параметры Ui i) и не входят их производные. [c.96]

В заключение опишем процедуру определения характеристических функций объекта, математическая модель которого включает систему дифференциальных уравнений в частных производных. Функциональный оператор такого объекта является многомерным. Математическая модель многих химико-технологических объектов включает два дифференциальных уравнения в частных производных первого порядка [c.103]

Если применить оператор Р (р) к функции ф (л , х), то в общем случае получим функцию типа Д- (xi,. . ., д ). Применяя к этой функции статистическую линеаризацию как к многомерной, получим [c.152]

Наибольшей универсальностью обладает метод конечных разностей (сеток) [Л. 54], пригодный для решения как линейных, так н нелинейных уравнений в частных производных с различным числом независимых координат. Метод сеток основан на замене производных по всем направлениям конечными разностями, подсчитываемыми по значениям искомых функций в узлах многомерной координатной сетки, покрывающей всю область решения. Шаг изменения координат должен быть приспособлен к границам области. Аппроксимируются соответствующими разностными операторами и граничные условия. В результате система уравнений в частных про-82 [c.82]

Сформулированная задача построения динамической модели одномерного технологического процесса статистическими методами легко обобщается на многомерные процессы (см. рис. 10.2). По результатам реализаций, полученным при нормальном функционировании объекта, для вектора входных X (s) и выходных Y t) переменных определяют оптимальную оценку At истинного оператора At в смысле минимума математического ожидания функции потерь. В этом случае уравнение объекта для любой выходной переменной Yj t) имеет вид [c.322]

С помощью функции det [(Л + В) (А — В)] естественным образом определяется отображение множества 5 на единичную окружность с центром в начале координат. Степень этого отображения и есть индекс оператора /С. Это предложение есть теорема Нетера—Мусхелишвили. Она допускает обобщение и на многомерный случай. [c.197]

Если при оптимизации многомерных систем с конечной памятью по рассматриваемому критерию используются простейшие функционалы сложности вида (/С,), Л п, / необходимые и достаточные условия минимума определяются соответственно уравнениями (44), (46). Рассмотрим эти уравнения в следующих предположениях пусть Rxy. (t) L2 [О, Toi ядро оператора В является суммируемым с квадратом (тогда оператор В отображает пространство L" Ю, Тд] в себя), / 0. Имеет место лемма. В сформулированных выше условиях задача решения каждого из уравнений (44), 46) для любого 9,- >Q корректно поставлена по Адамару в пространстве [О, Тц]. [c.101]

Наличие оператора К качественно меняет структуру уравнения (163). Это уравнение перестает быть обратимым диффузия по скоростям, сколь бы медленной она ни была, делает уравнение (163) параболическим с возрастанием энтропии только в одну сторону — от прошлого к будущему. Согласно (163) вероятность IV не просто переносится вдоль траекторий, но еще и слабо диффундирует в пространстве скоростей. В результате этого и появляется возможность говорить о "молекулярном хаосе", т.е. о "размешивании" функции распределения IV в многомерном фазовом пространстве. [c.171]

Оператор А является многомерным оператором, поскольку и пространство и, на котором он задан, и пространство V, в которое он переводит функции из и, являются пространствами вектор-функций. Пространство U состоит из четырехмерных вектор-функций u(i)= Г, sy(i), T2sxU), W2(i) , где Tinit), w t), — непрерывные функции, a V состоит из двумерных [c.46]

Такой подход, использующий свойства симметрии молекул (метод неприводимых тензорных операторов [33]) в течение многих лет успешно используется для анализа спектров молекул тетраэдрической и октаэдрической симметрии. Наличие у этих молекул дважды и трижды вырожденных колебаний существенно усложняет расчеты, выполняемые в рамках обычной теории возмущений. В то же время формализм неприводимых тензорных систем позволяет сводить задачу вычисления рядов теории возмущений к вычислению стандартных сумм произведений коэффициентов Клебша—Гордана. Следует заметить, что формализм неприводимых тензорных систем особенно эффективен, когда функции и операторы преобразуются по многомерным представлениям группы симметрии молекулы. С этой точки зрения несомненный интерес представляет использование формализма неприводимых тензорных операторов для анализа спектров молекул и более низкой симметрии, чем Та (в частности Спу, /)пу, Опа и других, в которых имеются многомерные колебания), в особенности при наличии случайных резонансов. Принципиальная возможность подобного подхода достаточно понятна и обсуждалась, например, в работе [36]. Однако необходимость корректного количественного описания спектров высокого и сверхвысокого разрешения (в том числе и описания всевозможных расщеплений и случайных резонансов) различного типа молекул требует решения задачи в принципиальном плане и в плане получения конкретных рас- [c.42]

В том случае, когда либо множество U, либо множество V, 4ибо и то и другое множество являются множествами вектор-функций, оператор А принято называть многомерным. Если же [c.40]

На основании приведенных рассуждений можно теперь сказать, что рассматриваемая задача определения показателей надежности изделий сводится к задаче о пересечении непрерывной векторной случайной функцией некоторой заданной (случайной или неслучайной) многомерной допусковой области. В общем случае функция показателя надежности Я (О связана с вектором X двумя операторами [c.10]

Статья посвящена вопросам анализа информационного вг эимодействия подсистем, входящих в системы СПИД — оператор и стенд — измерительно-регистрирующий комплекс-исследователь. Разработаны обобщенные структурные схемы систем, формализованы и описаны с помощью многомерных логических векторов функции подсистем. Выявлена и доказана возможность представления и количественных оценок результатов экспериментальных НИР с помощью разработанных моделей. Библ, 4 назв. Илл. 2. [c.390]

Большое число новых важных понятий и соображений было внесено в теорию рассяния в связи с исследованием дифференциальных операторов. В одномерном случае разложение по собственным функциям непрерывного спектра было построено еще в классической статье Г.Вейля [138]. Принципиально труднее многомерный случай. Здесь решающий прорыв произошел уже в пионерской работе А.Я.Повзнера [73. В ней установлено существование решений задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Построение таких решений основывается в [73] на предварительном исследовании с помощью альтернативы Фредгольма интегрального уравнения для резольвенты оператора Шредингера. Это позволило отказаться от принятого в [97] условия малости возмущения. В [74 [c.401]

Решение гидродинамичеекой задачи о фильтрационном поле в среде со случайной неоднородностью связано с построением некоторого нелинейного оператора p x)=A k x) и последующего вычисления его многомерной функции распределения или статистических моментов (здесь р — давление й(лг)— проницаемость среды — функция точки (Xj, х ,. з). Очевидно, структура оператора А над функцией k x) зависит не только от геометрии области течения, но и от краевых условий, заданных на границе потока. Это приводит, в частности, к тому, что эффективные параметры— проницаемость, толщина и т. д. оказываются, вообще говоря, различными для одной и той же области и среды, но разных краевых условий. Поскольку построение Л легко осуществить для одномерных течений, ниже изучаются две задачи 1 — задание детерминированных дебита и давления на одной из галерей 2 — задание детерминированных давлений на галереях. [c.35]

Поведение многомерного случайного процесса, определяемого динамическими уравнениями (5.2), полностью описывается многомерной функцией плотности переходной вероятности, получение которой в общем виде затруднительно. Если понимать уравнение (5.2) в смысле Стратоновича, то соответствующий инфи-нитезимальный оператор запишем в следующем виде [c.344]

Управляющее устройство робота второго поколения (рис. 2.28) алгоритмически делится на два. Первое устройство реализует многомерную неадаптивную систему управления. В памяти робота записан набор программ для выполнения типовых элементарных действий, которые задаются оператором. Второе управляющее устройство воздействует на первое путем смены его программ в функции времени и внешней ситуации, воспринимаемой сенсорами. Этим осуществляется адаптация робота и реализуется заданная программа. [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...