Положение равновесия асимптотически устойчивое возмущениях

Д. Р. Меркин (1956) исследовал устойчивость линейной системы, находящейся под действием только гироскопических сил. Рассмотрением характеристического уравнения он доказал, что для устойчивости равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы гироскопических коэффициентов 0. Показано также, что если на систему помимо гироскопических действуют и диссипативные силы с полной диссипацией, то положение равновесия всегда устойчиво в первом приближении. В. В. Румянцев (1957) показал, что положение равновесия нелинейной системы при указанных условиях асимптотически устойчиво по отношению к скоростям q i. В. М. Матросов (1959) обобщил эти результаты, доказав, что положение равновесия нелинейной системы устойчиво относительно qi и а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия qi = i, q = О, причем устойчивость сохраняется и при параметрических возмущениях. [c.38]

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2, (3) или затухающие колебания (рис. 18.2, н), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво. [c.284]

Доказано, что если положение равновесия хо(0=0 системы (7.1.13) устойчиво в достаточно сильном смысле по отношению к возмущению начальных условий, то оно устойчиво и при постоянно действующих возмущениях [30]. Например, если положение равновесия равномерно асимптотически устойчиво, то это положение равновесия устойчиво относительно малых постоянно действующих возмущений. [c.459]

Непосредственной проверкой можно убедиться, что положение равновесия Х = Х2 = О системы (1.1.10) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво в целом по отношению к одной из переменных. А именно, в случае A i > О, Ь < О область начальных возмущений делится на 3-и части [c.32]

Устойчивость и асимптотическая устойчивость по части переменных. Введение в рассмотрение системы возмущенного движения позволяет, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматривать обладающую большой общностью единообразную задачу об устойчивости нулевого положения равновесия х = О системы (5.1.1). [c.251]

Теперь обсудим специфические для стационарных режимов определения устойчивости. Сразу заметим, что стационарный режим из-за наличия близких к нему иных стационарных режимов, в отличие от равновесий, никогда не бывает асимптотически устойчивым. Он может быть устойчивым по Ляпунову в случае систем с диссипацией (общего положения), когда его траектория асимптотически устойчива. В случае консервативных систем, когда траектории стационарных режимов не изолированны (заполняют целые подмногообразия в фазовом пространстве), устойчивость по Ляпунову возможна, но лишь как редкое исключение. Действительно, если начальное возмущение приводит к смежному стационарному режиму (с другой траекторией), то требуется, чтобы выполнялось некоторое условие изохронности этих стационарных движений. Например, когда они периодические, нужно, чтобы при таком возмущении период не изменялся. В ином случае возмущенные движения за конечное время разойдутся на расстояние порядка диаметра траектории. В ситуации общего положения это и происходит. Поэтому в общей теории естественны иные определения устойчивости. [c.251]

Таким образом, когда детерминистская модель сообщества имеет асимптотически устойчивое положение равновесия (сообщество обладает некоторым запасом устойчивости), то оно сохраняет асимптотическую устойчивость (по вероятности) под действием случайных факторов при условии, что норма (обобщенная интенсивность) возмущений не превосходит запаса устойчивости. [c.351]

Хг (х1,. . ., Хт) представляют решение уравнений дХЛдхг = О, то положение равновесия = О устойчиво, а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия Хд = 8, Хг = Хг ( 1,. . 1т) Матросов показал также, что если силовая функция и может принимать положительные значения при сколь угодно малых I 5 г I, то положение равновесия гироскопической системы с дис--сипацией неустойчиво. Аналогичный результат был получен также [c.39]

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости положения равновесия системы па примере системы с одной степенью сво боды при использовании фазового пространства. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения I — фазовая траектория движеиия, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Второе интересное направление связано с проблемой устойчивости сообщества в случайной среде. Как уже указывалось, метод функций Ляпунова разработан в основном для тех моделей, где флуктуации обращаются в нуль в положении равновесия. Такая ситуация характерна лишь для узкого класса задач, связанных с параметрическим шумом. Ясно, однако, что в реальных условиях случайные возмущения не исчезают, а продолжают действовать, даже если сообщество находится в равновесии. По-видимому, здесь нет асимптотической устойчивости по вероятности, но интересно бьшо бы получить условия устойчивости в среднем и среднем квадратическом, а также условия слабой устойчивости по вероятности. В некоторых случаях здесь может помочь анализ соответствующих стационарных распределений, но общая теория здесь отсутствует. Исключение составляет устойчивость в среднем, одаако использование этой концепции в реальных задачах весьма проблематично, так как здесь возможен значительный рост дисперсии флуктуаций. [c.354]

Для пракгики важно не только установить факт асимптотической тойчивости положения равновесия, но и оценить ту область началь возмущений, при которых справедливо предельное соотношение (1 По этой причине вводят понятия асимптотической устойчивости в бо шом и в целом. [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...