Борелевское множество

Определение 5. Статистика х (х. В) —> -) (0, Bq) называется достаточной статистикой для семейства Р вероятностных распределений, если для любых борелевских множеств [c.507]

Напомним, что мера ц называется эргодической, если для всякого борелевского множества Е, такого, что Е = а- Е, ц( )=0 или 1. Мера ц называется перемешивающей, если [c.25]

Кь, для которых эго тоже верно. Более того, можно считать, что К, П V/ = 0 при i /. Далее, впишем каждое Vt в борелевское множество Vp также содержащееся в некотором элементе покрытия V. .. V и такое, что. ... — борелевское разбиение X. [c.50]

Опишем теперь метод построения мер с большой энтропией, который мы будем использовать несколько раз. Обозначим через 6 вероятностную меру с носителем в х , и пусть / ц А) = fj,(f (A)) для всякой борелевской меры , измеримого преобразования f и борелевского множества А. [c.189]

Предложение 20.3.6. Пусть f — гомеоморфизм компактного метрического пространства X и ц — такая f-инвариантная борелевская вероятностная мера, что для любых борелевских множеств Р и Q выполнены неравенства (20.3.3). Тогда f —перемешивающее отображение. [c.634]

Доказательство. Сначала покажем, что из левого неравенства в (20.3.3) следует эргодичность декартова квадрата /х/ относительно меры-произведения д X д. Пусть А, В, С, D с X —некоторые борелевские множества. Тогда [c.634]

Пусть Г] — произвольная предельная точка последовательности г/ в -слабой топологии. Если А, В сХ — замкнутые множества, то согласно (30.3.4) имеет место неравенство г](А х В) С(ц х ц) А х В). Рассматривая объединения непересекающихся произведений замкнутых множеств и используя аппроксимацию, мы заключаем, что г](Р) < х ц) Р) для любого борелевского множества Р с X х X и, следовательно, мера Г] абсолютно непрерывна относительно ц х ц. Так как мера т] является (/ X /)-инвариантной, а мера ц х i эргодическая, по предложению 5.1.2 выполнено равенство г] = цх ц, так что для любых замкнутых множеств А, В, ц(дА) = д(9В) = 0, мы имеем [c.635]

Предложение 20.5.14. Мера на М, полученная из (20.5.8) продолжением на борелевские множества, конечна и -инвариантна. [c.651]

Теорема П 6.2. Каждая сепарабельная неатомарная а-алгебра с вероятностной мерой изоморфна tr-алгебре борелевских множеств на [0,1] с мерой Лебега. [c.715]

За доказательством этой теоремы мы отсылаем читателя к теореме С из раздела 41 [111]. Каждая мера канонически продолжается до полной меры на пополнении 5. Например, отметим, что 7--алгебра измеримых по Лебегу множеств представляет собой пополнение относительно меры Лебега сг-алгебры борелевских множеств. Пусть (Х,5,ц) и (Y,T,v) — пространства с мерами. Тогда отображение f X - У (определенное п. в) называется изоморфизмом пространств с мерами X и У, если / индуцирует изоморфизм S - Т пополнений S и Т. Пространства с мерами могут быть, таким образом, классифицированы с точностью до изоморфизма, и они изоморфны тогда и только тогда, когда их измеримые сг-алгебры изоморфны. [c.715]

Нетрудно проверить, что так определенная на всех цилиндрах мера удовлетворяет условиям известной теоремы А. Н. Колмогорова, и тем самым р может быть продолжена на все борелевские множества в Автоморфизм (5) сохраняет площадь = цА, так как определи- [c.65]

Лемма. Ограниченный нормальный оператор Т, действующий в комплексном гильбертовом пространстве Н, однозначно определяет регулярную счетно-аддитивную самосопряженную спектральную меру Р на борелевских множествах комплексной плоскости. Мера Р обращается в нуль на резольвентном множестве р (Г) оператора Т и обладает тем свойством, что [c.146]

Теорема 22. Пусть 2 есть Т-алгебра, д — множество всех а-состояний на и О — множество всех самосопряженных элементов алгебры 2. Пусть 9 означает а-кольцо всех борелевских множеств на и 9 — множество всех операторов проектирования в 2. Тогда [c.193]

Определение множеств Бэра и борелевских множеств см. на стр. 188. Там же указана соответствующая литература. [c.279]

Ш.ИХСЯ борелевских множеств 0 1,. .., Оп с и и любых [c.239]

Борелевские множества образуются из открытых и замкнутых множеств взятием счетного числа их объединений и пересечений. Относительно этих операций борелевские множества образуют (т-алгебру. Иногда мы пользуемся обозначением [c.22]

Любая неотрицательная счетно-аддитивная функция т, заданная на этой (т-алгебре, называется (борелевской) мерой. Предполагается также, что мера любого ограниченного интервала конечна. Иногда к запасу борелевских множеств, на которых определена мера т, добавляют всевозможные подмножества всех множеств нулевой т-меры. В этом случае меру т [c.22]

Для борелевского множества У обозначим через ту Х) = т(Х П У) сужение т на У. Абсолютная непрерывность т на У по определению означает, что мера ту абсолютно непрерывна. Аналогичное соглашение применяется и по отношению к другим свойствам меры т. Отметим, что мера абсолютно непрерывна, если абсолютно непрерывны ее сужения на любые конечные интервалы. [c.24]

Наряду с обычными неотрицательными мерами мы рассматриваем произвольные вещественные (т-аддитивные функции (заряды) на борелевских множествах. Допускаются и комплексные меры. В этом случае через т обозначается полная вариация меры т. Мы часто отождествляем борелевские меры и их производящие функции—комплексные функции локально ограниченной вариации. Помимо мер на прямой нам [c.26]

Кроме энтропии в Э.т. существует ещё одно понятие, близкое к ней по смыслу, но непосредственно не связанное с инвариантной мерой. Речь идёт о топологич. энтропии— числовой характеристике топологич. ДС. Такая система представляет собой группу или полугруппу непрерывных преобразований метрич. пространства X. Задав на X вероятностную меру ц, инвариантную относительно рассматриваемого семейства преобразований, получим ДС в смысле Э. т. Эта система имеет энтропию h , зависящую, вообще говоря, от ц. Ехли фазовое пространство X компактно, то supA по всем инвариантным мерам совпадает с топологич. энтропией А, р. Отсюда следует, что А, р является инвариантом непрерывного изоморфизма топологич. ДС если между фазовыми пространствами двух таких систем имеется взаимно однозначное соответствие, при к-ром каждому борелевскому множеству в одном из них отвечает борелевское множество в другом, а преобразования, образующие ДС, переходят друг в друга, то эти системы имеют одинаковую топологич. энтропию. Мера ц, для к-рой h =htop, наз. мерой с макс. энтропией. Такова, напр., мера Лебега для авто орфизма тора. Но меры с макс. энтропией может и не быть. Задача об условиях существования и свойствах таких мер служит одним из звеньев, связывающих Э.т. со статистич. физикой. Под влиянием последней в Э. т. в 70-х гг. появилось обобщение топологич. энтропии, называемое топологич, давлением (см. ниже). [c.631]

Продолжение доказательства теоремы 1.22. Пусть v е sAia(S ) удовлетворяет равенству s (v) + (priv = Р. Предположим сначала, что v сингулярна по отношению к у.. Тогда существует борелевское множество В, такое, что а(В) = В, i(B) = 0, а v(B)=l. Пусть < т = W. .. [c.33]

Для п е N и максимального (тг, 2е)ч)Тделенного множества Е = x ,.... .х мы можем найти такое разбиение 95 = j3 xe Е на борелевские множества /3 ,, что Bf x, е, тг) с /3 , с В (ж, 2е, тг). А именно, поскольку X С и Bf(x, 2е, п), положим [c.620]

Рассмотрим для n е N и максимального (п, 2е)-отделенного множества такое борелевское множество /3 , что Bj x, е, n) f3 Bj x, 2е, n), 35 = /Jj, I а е — разбиение и (д и) дЪ ) = 0. Так как / — разделяющее отображение, diam0. следовательно, если f(B) = В сХ, [c.636]

Главная ндея, на которой основан этот результат, — наличие естественного соответствия между отрезком [О, 1] и nf, которое задается представлением в виде двоичной дроби, следовательно, взаимно однозначно вне Q и, таким образом, взаимно однозначно почти всюду относительно любой неатомарной меры. На отрезке [О, 1] базис М задается множествами В иррациональных чисел с нулем на t-м месте в их двоичном представлении. Наоборот, любая неатомарная сепарабельная вероятностная мера порождает неатомарную вероятностную меру на ilf, которая, согласно последнему замечанию, порождает неатомарную борелевскую (цилиндры являются борелевскими множествами) вероятностную меру на [О, 1]. Эта мера задается функцией распределения /(х) = ]) н, следовательно, изоморфна мере Лебега. Доказательство утверждения о полноте каждого базиса можно найти в [271. [c.715]

Определение П 6.6. Пусть X — сепарабельное локально компактное хаусдорфово пространство и В — сг-алгебра борелевских множеств, т. е. сг-алгебра, порожденная замкнутыми множествами. Тогда мера Бореля — это такая мера fi, определенная иа В, что fi B) <оо для компактных множеств В. [c.716]

В да 1ьнейшем мы будем предполагать, что йм достаточно богато множествами для того, чтобы можно было образовать обычным образом все борелевские множества в некотором топологическом пространстве, и что М является сужением на йм некоторой меры, определенной на борелевских множествах этого пространства. Это предположение более ограничительно, чем может показаться на первый взгляд, так как если М является мерой, определенной на борелевских множествах, то она аддитивна на дизъюнктных объединениях. Наша же основная аксиома М3 требует лишь аддитивности на соединениях отдельных тел. [c.25]

Совокупность борелевс/сид множеств в заданном топологическом пространстве представляет собой наименьшую а-алгебру, содержащую все открытые множества. В частности, борелевскими множествами являются все открытые множества, все замкнутые множества и все объединения и пересечения счетных совокупностей открытых или замкнутых множеств. То, что jf содержит все борелевские множества, важно для некоторых рассмотрений гл. III. к [c.25]

В этой книге мы будем исходить из предположения, уже упоминавшегося в конце 1.4, что й является совокупностью множеств, которая, будучи обычным образом расширена, включит в себя все борелевские множества. Таким образом, масса М является борелевской мерой или ее расширением типа меры Лебега. Мы будем предполагать также, что й = йм, исключая тем самым немассивные тела. Тогда с помощью обычной теории векторнозначных мер ) мож Ю ог еделить интегрирование по отношению к системе сил на (й X й)о таким образом, чтобы удовлетворялась аксиома Р4. [c.29]

В 1.4 мы условились, что под телом мы будем понимать борелевское множество в некотором пространстве й, на котором определена неотрицательная мера М, называемая массой. В действительности для большинства целей достаточно ограничиться применением термина тело к множествам, являющ,имся замыканиями открытых множеств. Элементы X т называются телами-точками. В механике сплошных сред мы предполагаем, что фактически гомеоморфно замыканию некоторой регулярной области ) пространства В 1.7 мы определили движение % тела а как отображение множества на область х(- >0 трехмерного эвклидова пространства Ж в момент 1 [c.81]

Прежде всего напомним читателю, что борелевские множества локально компактного хаусдорфова пространства Г мы определяли (стр. 79) как элементы сг-кольца Р (< ), порожденного всеми компактными подмножествами пространства Г. Подмножество 5 топологического пространства называется С б-под-множеством, если существует последовательность С/ открытых [c.188]

ПО алгебре функций на Г (которые в этом случае мы будем рассматривать как обобщенные наблюдаемые ), то естественным кандидатом будет С -алгебра S (Г) всех комплекснозначных ограниченных и измеримых по Бэру функций на Г. Поскольку пространство Г компактно и, следовательно, измеримо по Бэру, измеримость по Бэру функции / означает просто, что f М) есть множество Бэра, если М — борелевское множество в С. Заметим ), что всякая непрерывная функция на Г измерима по Бэру, вследствие чего (5 (Г) есть -подалгебра С -ал-гебры 2(Г). Если есть а-кольцо подмножеств пространства Г, то эквивалентны следующие условия [c.189]

Множество Бэра и борелевские множества на совпадают, и мера Пф сосредоточена на в смысле Бореля. То обстоятельство, что в общем случае мера сосредоточена на лишь в смысле Бэра, — это та цена, которую нам приходится платить за обобщение теории на случай С -алгебры Я, не сепарабельной в сильной топологии. [c.280]

V- f) = W, f°a) для всех выпуклых функций / на (т( р). Поскольку мера максимальна на множестве р, мера максимальна на компактном выпуклом метризуемом множестве сг ( р) и, стало быть, сосредоточена в смысле Бореля на крайних точках этого множества. Отсюда следует, что мера Цф сосредоточена в смысле Бореля на прообразе ст ( [ст( р)]) множества сг( р). Как нетрудно убедиться, Jf ( 9i )—борелевское множество Цф-меры 1, а поэтому — максимальная мера, сосредоточенная в смысле Бореля на Л ( 9i )сг ( [сг ( р)]). Учитывая то обстоятельство, что последовательность Л/ отделяет Jf ( Ш ) от , мы заключаем, что мера сосредоточена в смысле Бореля на [c.363]

Более слабая топология 78 Большая группа симметрии 240 Борелевское множество 79 Бореля мера 79 --, регулярная 79 [c.415]

Для любого набора попарно непересекаюш,ихся борелевских множеств 0 1,. случайные величины V0 ,. . взаимно независимы. [c.239]

Минимальный PH всегда можно выбрать принадлежащим зиррт. Однако 8 .ррт может не быть минимальным БН. Приведем простой пример такой меры. Рассмотрим сужение меры Лебега на борелевское множество С (по определению Х о — С П Х ). Для любого открытого множества С носитель такой меры есть замыкание С этого множества, а один из минимальных БН совпадает с самим С. Поэтому при 0 0 > О (а такие открытые множества существуют) С не является минимальным БН. [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...