Гамильтонова система аналитическая

Следует подчеркнуть, что интегрируемые случаи изолированы не всегда. Действительно, в 1 гл. П приведен пример аналитической гамильтоновой системы, аналитически зависящей от параметра , которая на всюду плотном множестве значений е является вполне интегрируемой и одновременно при значениях , принадлежащих другому всюду плотному множеству, не допускает даже непостоянных непрерывных интегралов. [c.293]

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке. [c.266]

Теорема 3. Предположим, что числа ai,...,a рационально несоизмеримы и в окрестности точки z = О гамильтонова система имеет п аналитических интегралов Gi = Н, Сг, , С , независимых почти всюду. Тогда найдется такое аналитическое каноническое преобразование z = Ф((), ( = ,т]), что Ф(0) = О и в новых переменных ( интегралы Gi,..., являются аналитическими функциями от + T]j 1 S п). [c.127]

Если гамильтонова система на поверхности Eh h > max V) вполне интегрируема и геометрически проста, то справедливы неравенства (1.2). Аналитически интегрируемые системы геометрически просты [155]. [c.137]

Теорема 4 [27]. Существует такой потенциал V ньютоновского тина с особенностями в точках гх,..., г , что гамильтонова система с гамильтонианом Н = Т + У имеет дополнительный аналитический интеграл, квадратичный но импульсам, причем [c.145]

Рассмотрение препятствий к интегрируемости аналитического характера мы начнем с анализа основной проблемы динамики по Пуанкаре. Речь пойдет о гамильтоновых системах с гамильтонианом [c.177]

Функции Яг 7 о, считаются аналитическими по х, у и 2тг-пе-риодическими по координатам ж, так что интегралы (1.2) являются однозначными функциями в фазовом пространстве системы (1.1). Гамильтоновы системы всегда допускают интег рал вида [c.178]

Возвращаясь к исходной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы, получаем, что уравнения вращения тяжелого несимметричного твердого тела с неподвижной точкой не имеют дополнительного интеграла, коммутирующего с интегралом площадей, в виде формального ряда по степеням е с однозначными и аналитическими во всем фазовом пространстве коэффициентами. Учитывая известную связь между формальными по е интегралами и полиномиальными интегралами обратимых систем (см. 1, гл. П), приходим к следующему результату в несимметричном случае нет дополнительных интегралов в виде многочленов по импульсам с аналитическими на группе 50(3) коэффициентами, коммутирующих с интегралом площадей. [c.189]

Теорема 1 . Пусть выполнены условия теоремы 11. Если гамильтонова система (4.1) имеет п—1 аналитический интеграл [c.198]

Множества Пуанкаре больших порядков определяются рекурсивно если существуют решения S1/S2,..., Sj) i первых р— уравнений системы (4.4), аналитические в (R (P U... UP )) х Т", то корректно определено множество Пуанкаре Р порядка р и справедливы теоремы 1р и 1 . В случае, когда возмущающая функция Н является тригонометрическим многочленом, каждое из множеств Р состоит лишь из конечного числа различных гиперплоскостей (т. е. рр = Pi ), и поэтому теоремы 1р (р = 1,2,...) не дают заключения об интегрируемости гамильтоновой системы (4.1). Подобная ситуация часто встречается в анализе. Например, имеются ряды, сходимость или расходимость которых нельзя установить бесконечной серией логарифмических признаков. [c.199]

Теорема 1 [97]. Предположим, что квадратичная форма Но положительно определена. Тогда гамильтонова система с функцией Гамильтона Но -Ь Hi имеет полный набор формально аналитических по первых интегралов, независимых при е = О, в том и только том случае, когда точки множества А расположены на d п прямых, ортогонально (в метрике (, )) пересекающихся в начале координат. [c.200]

Теорема 3. Пусть а и (3 — векторы из Д, удовлетворяющие условиям теоремы 2. Если гамильтонова система с гамильтонианом Но -Ь еНу имеет гг — 1 однозначный аналитический интеграл [c.203]

Теорема 1 допускает (с некоторыми уточнениями) обобщение на системы с n > 2 степенями свободы. Предположим, что все точки множества Д расположены на / n прямых, проходящих через начало координат, причем их направляющие векторы линейно независимы. Тогда можно утверждать, что гамильтонова система с функцией Г амильтона i/o + имеет п однозначных аналитических интегралов, независимых при всех достаточно малых значениях е, в том и только том случае, когда эти I прямых попарно ортогональны (в метрике (, )). При I = 1 система, очевидно, интегрируема. [c.215]

Пусть — трехмерное аналитическое многообразие и v — аналитическое векторное поле на М, не имеющее положений равновесия. Примером может служить гамильтонова система с двумя степенями свободы, ограниченная на регулярную трехмерную поверхность интеграла энергии. [c.260]

Из формулы (3.15) вытекает, в частности, трансверсальность пересечения сепаратрис А+, А и, как следствие, наличие стохастического слоя вблизи А+ и А . Б. В. Чириков [186] еще раньше установил наличие этого слоя с помощью численных расчетов и его увеличение с возрастанием е. При дальнейшем увеличении е этот слой сливается с другими стохастическими слоями такого же происхождения. Однако, основной результат В. Ф. Лазуткина заключается в получении асимптотической формулы (3.15), пока единственной в задачах подобного рода. Она получена с помощью продолжения отображения (3.13) в комплексную плоскость изменения переменных х, у. Было бы полезным перенести технику В. Ф. Лазуткина на аналитические гамильтоновы системы, у которых при нулевом значении возмущающего параметра отсутствуют гиперболические периодические решения (системы такого вида обсуждались в гл. IV). [c.276]

Следствие, В предположениях теоремы 1 гамильтонова система не допускает аналитического интеграла, независимого от функции Я, [c.297]

Пусть р-—положение равновесия аналитической гамильтоновой системы с вещественными различными характеристическими числами Л1 > О,..., А > О, -Ль. .., -Л . Между числами Л1,..., Л возможны резонансные соотношения [c.300]

Более точно, Зигель доказал существование бесконечного счетного множества аналитически независимых степенных рядов Ф Фг,... от бесконечного числа переменных /ц,, абсолютно сходящихся при /ц, < (для всех к, з) и таких, что если точка Н Е Н сходящимся преобразованием Биркгофа приводится к нормальной форме, то в этой точке почти все Фг (кроме, может быть, конечного числа) обращаются в нуль. Функции Фг аналитичны, поэтому решения нигде не плотны в Н. Следовательно, множество точек из Н, удовлетворяющих хотя бы одному уравнению Фг = О, имеет первую категорию в смысле Бэра. Если пытаться исследовать сходимость преобразования Биркгофа в какой-либо конкретной гамильтоновой системе, придется проверить выполнение бесконечного числа условий. Для этого не известно никакого конечного метода, хотя все коэффициенты рядов Фг можно явно вычислить. [c.310]

До сих пор неизвестно, имеются ли в топологическом пространстве (Н, Т) такие точки, что некоторые их окрестности состоят только из гамильтонианов с расходящимися преобразованиями Биркгофа. Отметим еще одну нерешенную задачу верно ли, что гамильтоновы системы, допускающие дополнительный аналитический интеграл, образуют в Н подмножество первой категории Бэра в топологии Т По-видимому, это утверждение истинно. [c.317]

Канонические, или гамильтоновы, системы стали с тех пор важным и удобным аппаратом аналитической небесной механики и получили также широкое распространение во многих других смежных или даже весьма далеких от небесной механики областях знания. [c.326]

Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными фактами динамики твердого тела). Достаточно, например, знакомства с учебником В. И. Арнольда Математические методы классической механики (М., Паука , 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувил-ля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвариантные торы, квазипериодические движения на торах, усреднение и т. д. [c.13]

В приложениях обычно имеют дело с аналитическими гамильтоновыми системами фазовое пространство наделено структурой аналитического многообразия, скобка Пуассона любых двух аналитических функций аналитична на нгжонец, гамильтониан также является аналитической функцией. В этой ситугщии наиболее естественно рассматривать задачу о наличии интегралов, являющихся аналитическими функциями на М ". Если аналитические функции независимы в одной точке, то они независимы почти всюду. Класс функций, аналитических на М, будем обозначать С М) (или просто С"). [c.64]

Однако следует учитывать, что аналитическая гамильтонова система может иметь интегралы класса С", но не иметь интегралов из класса " + (мы не исключаем значение г = 0 neripe-рывную функцию назовем интегралом, если она локально непостоянна и принимает постоянные значения на каждой траектории). Покажем это на примере неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы с функцией Г амильтона Н = ау + -j- f x,t), где а — вещественный параметр, / — аналитическая 2тг-периодическая функция переменных х и t. Так как Н периодична по X и i, то естественно принять прямое произведение IR х = [у X, t mod 2тг в качестве расширенного фазового пространства. [c.64]

J е Лд) задают г-мерные инвариантные торы возмущенной гамильтоновой системы с сильно несоизмеримыми частотами. Эти торы называются колмогоровскими они аналитически зависят от е. Колмогоровские торы являются г-мерными инвариантными лагранжевыми многообразиями, поскольку ковекторное поле / = dS/d(p потенциально (см. п. 3 2). [c.124]

Аналог теоремы 4 для гамильтоновых систем, зависящих от параметра, указан в [74]. В работе [142] рассмотрена задача о приводимости к нормальной форме Биркгофа гамильтоновых систем с параметром, допускающих интегралы с вырожденными квадратичными частями. Пусть г = 2 и коэффициенты ьаг в квадратичной форме гамильтониана (11.1) как функции е удовлетворяют условию ГП]а1 + гпгаг О для всех целых т, т2, не равных одновременно нулю. В [142] доказано, что если гамильтонова система допускает формальный интеграл Г = Гд + Гд+ +. .. д 2), аналитический по е, причем однородные формы Гд и Яг функционально независимы при всех е, то существует нормализующее преобразование Биркгофа, аналитически зависящее от е. [c.130]

Этот результат усиливает теоремы 1 и 2 1, так как любой интеграл, независимый с интегралом энергии, порождает нетривиальное поле симметрий, В частности, из теоремы 1 вытекает отсутствие многозначных аналитических интегралов. Основная трудность в доказательстве теоремы 1 состоит в том, чтобы установить линейную зависимость векторов и, v во всех точках Eh. Так как г О, то и = Xv. Известно (см. 3 гл, П), что Л — интеграл гамильтоновой системы на Eh. Поскольку Л — аналитическая функция и род М больше единицы, то Л = onst по теореме 2 из 1, [c.153]

Как уже говорилось во введении, постановка задачи об интегралах возмущенных гамильтоновых систем, аналитических по малому параметру, принадлежит Пуанкаре [225 146, гл. V]. Предполагая множество Р1 всюду плотным, Пуанкаре доказал отсутствие однозначных интегралов, независимых с интегралом энергии и аналитических по фазовым переменным и параметру е. В работе [75] показано, что предположение о плотности множества Р1 можно ослабить достаточно, чтобы Р1 было ключевым множеством для класса аналитических функций, В докладе автора на семинаре им. И, Г, Петровского [80] было дано распространение метода Пуанкаре на случай, когда интегралы разыскиваются в виде формальных рядов по степеням е с аналитическими или гладкими коэффициентами (см. теоремы 3 и 4). Распространение метода Пуанкаре на гамильтоновы системы с периодическим гамильтонианом содержится в [75]. Обобщения результатов Пуанкаре на негамильтоновы системы стандартного вида (1,1) (см. теоремы 1 и 2) в литературе, по-видимому, не обсуждались. [c.185]

Замечание. По-видимому, это утверждение справедливо и в более общем случае, когда потенциальная энергия Hi — произвольная аналитическая функция на Т" = х mod 2тг (а не только тригонометрический полином). М. Л. Бялый [39] доказал эту гипотезу в частном случае, когда гг = 2 и гамильтонова система имеет дополнительный полиномиальный интеграл не выше четвертой степени. Отметим, что задача о дополнительном полиномиальном интеграле заданной степени много проще задачи о наличии интеграла в виде полинома, степень которого заранее не фиксирована. [c.201]

Гамильтонова система с таким гамильтонианом интегрируется методом разделения переменных аналитические функции = = а ух — ау Н + к р2 = Ь у1 — Ьу2Н + 3111x2 составляют [c.213]

Тогда при малых ф О существует изоэнергетически невырожденное периодическое решение возмущенной гамильтоновой системы с периодом т оно аналитически зависит от г и при е = О совпадает с периодическим решением невозмущенной системы [c.226]

Этот результат распространяет на неавтономные системы теорему 2 из 10. Доказательство использует анализ классической схемы теории возмущений гамильтоновой системы с функцией Гамильтона (11.6), проведенный в [71], а также обобщенный вариант теоремы 1 из п. 3, касающийся аналитических гамильтонианов вида еЧ1г у) + Нк х, у. (р) + о е ). [c.249]

Предположим, что при е = О гамильтонова система вполне интегрируема существуют п аналитических интегралов Fi,..., Г , попарно находящихся в инволюции и почти всюду независимых. Так как гиперболический тор TJ нерезонансный, и поверхности Лд состоят целиком из асимгпчэтических траекторий, то функции Fj постоянны на Л . Таким образом, Aq содержатся в некотором замкнутом множестве [z Fi(z) = i,..., F (z) = с ], причем, согласно результатам 9 гл. И, точка с = (сь..., с ) G R" является критическим значением отображения F — R". [c.254]

Отсутствие аналитических интегралов в предположении о несовпадении пересекающихся асимптотических поверхностей фактически доказано Р. Кашменом [189] (он, правда, рассматривал неавтономные гамильтоновы системы с одной степенью свободы). Несуществование нетривиальных групп симметрий установлено в [101]. Ясно, что в гамильтоновом случае из результата об отсутствии групп симметрий вытекает результат об отсутствии новых интегралов. [c.262]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

Ввиду квазиоднородности гамильтониана (3.10) точно такая же картина трансверсальных сепаратрис имеется на всех энергетических поверхностях с положительным значением полной энергии. В качестве следствия получаем, что уравнения (3.11) не имеют дополнительного аналитического интеграла. Этот результат был получен ранее в работе С. Л. Зиглина [64] с использованием анализа ветвления решений системы (3.11) в плоскости комплексного времени. На самом деле из трансверсальности пересечения сепаратрис вытекает существенно более сильное утверждение об отсутствии нетривиального аналитического поля симметрий гамильтоновой системы (3.11). [c.275]

Пусть X = у = О — положние равновесия аналитической гамильтоновой системы с функцией Гамильтона [c.320]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Геометрический вариант теоремы Лиувилля о полной интегрируемости (см. теорему 1 4 гл. II) утверждает, что некритические совместные поверхности уровня п коммутирующих интегралов гамильтоновой системы с тг степенями свободы диффе-оморфны Т X (О < А,- тг), причем в некоторых переменных х, ...,хк mod 2тг, if +i,..., уравнения Гамильтона имеют совсем простой вид Xg — — onst. В компактном случае к = тг) имеется достаточно подробная теория поведения гамильтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых. Ниже, следуя работе [99], обсуждаются некоторые аналитические аспекты этой теории для некомпактного случая и ее связь с задачей о существовании полного набора независимых интегралов. [c.398]

В частности, системами оида (I), имеющими аналитический интеграл, являются так называемые гамильтоновы системы, о которых уже говорилось во введении [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...