Теорема Коши о вычетах

На основании теоремы Коши о вычетах получим [c.103]

Контур l охватывает разрез, но, деформируя его в два контура С2 + С3, мы приходим к двум интегралам, каждый из которых может быть вычислен с помощью теоремы Коши о вычетах. У подынтегрального выражения два полюса г = 0 и г = оо, так что мы можем написать [c.172]

Основная теорема Коши о вычетах гласит пусть [(г) аналитична в области G за исключением конечного числа изолированных особых точек Zo, zi,..., z и непрерывна вплоть до границы Г. Тогда [c.108]

Этот интеграл вычисляется с помощью теоремы Коши о вычетах, в которой используется подстановка [c.425]

Последний интеграл по лемме Жордана равен нулю. Согласно теореме Коши о вычетах интеграл по замкнутому контуру равен сумме вычетов [c.181]

Вычисляя интеграл в правой части (IX.24) при использовании теоремы Коши о вычетах [17], получаем при [c.194]

Теперь можно воспользоваться этими условиями. Проинтегрируем почленно уравнения (16.4.8) и (16.4.11) по z вдоль контура, представляющего собой небольшую окружность с центром в начале координат. Воспользуемся при этом теоремой Коши о вычетах ) [c.175]

Теорема Коши о вычетах. Пусть С—замкнутый контур, внутри н вне которого функция / (г) аналитическая, за исключением конечного [c.137]

Далее, если г находится в области Я, то, по теореме Коши о вычетах, С/(С — г) = О и, следовательно, из формулы (2) находим [c.139]

Отсюда по теореме Коши о вычетах находим [c.182]

Согласно теореме Коши о вычетах [5], [c.104]

Считая малым параметром, рассмотрим прямую х = ат + Ь как решение невозмущенной системы. Для завершения доказательства предложения остается воспользоваться теоремой Пуанкаре о разложении решений уравнений (2.4) в сходящиеся ряды по степеням и теоремой Коши о вычетах. Теорема 1—очевидное следствие этого утверждения. [c.337]

Если комплексный потенциал течения нам известен, то вычисление величины равнодействующей местных сил воздействия потока и нахождение линии ее действия сводится к вычислению интегралов от вполне определенных функций комплексного переменного. Так как на основании теоремы Коши о вычетах вычисление интегралов вида (77) и (80) сводится к определению ко- [c.300]

По теореме Коши о вычетах [c.301]

По теореме Коши о вычетах имеем [c.303]

Число -Г) берётся таким, что все числа g расположены вне "С, т. е. 7] < I по теореме Коши о вычетах [c.409]

Поскольку подынтегральное выражение в (5.39) не имеет других полюсов внутри L, то по теореме Коши о вычетах имеем [c.114]

По теореме Коши о вычетах (см. рис. 1.2) [c.17]

По теореме Коши о вычетах интеграл по /х здесь равен —Поэтому равенство (5) приводит к формуле следа [c.344]

Учитывая все вышесказанное, а также то, что точка Z, лежит внутри круга <1, из (6.177), на основании свойств интеграла Коши и теоремы о вычетах, получим [c.151]

Другой вывод интегральной теоремы Коши известен как теорема о вычете. Коэффициент а 1 при (г—а) в разложении аналитической функции в ряд Лорана называется вычетом функции в точке г = а. Теорема читается так если С есть простая замкнутая кривая и функция (г) однозначна и регулярна на кривой С и внутри нее, за исключением конечного числа особых точек внутри кривой, в которых вычеты составляют Яи Яп, то [c.144]

Подставляя это выражение в уравнение (40.6) и вычисляя оставшийся интеграл с помощью теоремы о вычетах Коши, найдем, что [c.116]

Теорема Коши и теорема о вычетах дают широкие возможности для преобразования интегралов и сумм, в частности для вычисления контурных интегралов при обращении преобразования Лапласа. Но так как большинство интегралов, встречающихся на практике, не вычисляются в конечном виде, то особое значение имеют различные методы асимптотических оценок некоторые из этих методов также приведены здесь. [c.523]

Как и в разд. (3.9), оценим внутренний интеграл в (281) при помощи теоремы Коши. Путь интегрирования в комплексной плоскости к опускаем на расстояние щ, т. е. величине приписываем отрицательную мнимую часть (—Хх), чтобы указанный интеграл стал величиной порядка О [ехр (—ЯхХ )]. С точностью до ошибки этого порядка интеграл будет равен произведению (—2л1) на сумму вычетов подинтегральной функции в каждом полюсе (где 5 = 0), через который проходит путь интегрирования в процессе его деформации (рис. 88). [c.441]

Покажем, что функция и р), определяемая выражением (5.11), имеет полюс в точке р = Чг- Действительно, в силу (5.11) м( /г)= /2tg(n/2)ii(—Va), а в точке р = —Чг функция и р), как видно из (5.10), регулярна. Отсюда следует, что первый член асимптотики решения (s) (5.5) уравнения (5.3) при s оо определяется в силу упомянутой выше теоремы Коши значением вычета (р) в точке р=Чг, т. е. [c.218]

Первые два результата следуют сразу же из интегральной теоремы Коши для единичного круга, когда обозначает точку пне его. Выражение для третьего интеграла следует из теоремы Коши для внешней области или из теоремы о вычетах для внутренней области. Отсюда 1 fio)da [c.226]

Пусть теперь I — контур (замкнутый путь) на плоскости комплексного времени t. Будем говорить, что аналитическая вектор-функция неоднозначна вдоль I, если она имеет ненулевое прира-шение (скачок) после обхода контура 7, Предположим, что все решения невозмушенной системы (1.2) однозначны на плоскости С = i . Тогда теорема Пуанкаре позволяет эффективно исследовать задачу о ветвлении решений системы (1.2) при малых ненулевых значениях параметра е. Все сводится к вычислению интегралов вида (1.4) по замкнутым контурам. В приложениях подынтегральные функции обычно являются мероморфными. Поэтому, согласно теореме Коши, задача о ветвлении решений сводится, по сушеству, к вопросу о наличии полюсов с ненулевыми вычетами, [c.330]

Понятие / -аналитических функций введено Г. Н. Положием в работе 1102] как одно из обобщений теории аналитических функций комплексного переменного. Свойства этих функций были подробно изучены в последующих работах того же автора и систематизированы в монографии [112]. Установлены аналоги теоремы Коши и формулы Коши, построена классификация особых точек и нулей, доказана теорема Лиувилля, построена теория вычетов, установлена изолированность 4-точек, в которых р-аналитическая функция принимает значения А == onst, доказана теорема о сохранении области, а так--же получены некоторые другие результаты. [c.435]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...